Theorem gsum2dlem1 20035

Description: Lemma 1 for gsum2d 20037. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2dlem1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2dlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		imaexg 7906	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
7		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑗 ∈ V
8		vex 3459	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	7, 8	elimasn 6092	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
10		df-ov 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
11		gsum2d.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12	11	ffvelcdmda 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
14	9, 13	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)):(𝐴 “ {𝑗})⟶𝐵)
16		gsum2d.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
17	16	fsuppimpd 9325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
18		rnfi 9293	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
20	9	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
21	7, 8	opelrn 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ))
22	21	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	20, 22	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )) → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
24		eldif 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )))
25		eldif 3915	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )) ↔ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
26	23, 24, 25	3imtr4i 295	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
27		ssidd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
28	2	fvexi 6895	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	11, 27, 4, 29	suppssr 8187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
31	10, 30	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
32	26, 31	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
33	32, 6	suppss2 8192	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ⊆ ran (𝐹 supp 0 ))
34	19, 33	ssfid 9225	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ∈ Fin)
35	1, 2, 3, 6, 15, 34	gsumcl2 19979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  Rel wrel 5666  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  Basecbs 17264  0_gc0g 17487   Σ_g cgsu 17488  CMndccmn 19845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-cntz 19382  df-cmn 19847

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  20036  gsum2d  20037