Theorem gsum2dlem1 19907

Description: Lemma 1 for gsum2d 19909. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d.r	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
gsum2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
gsum2d.s	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐷)
gsum2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsum2d.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2dlem1	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐷,𝑗,𝑘   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑗,𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2dlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		imaexg 7892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ {𝑗}) ∈ V)
7		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑗 ∈ V
8		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑘 ∈ V
9	7, 8	elimasn 6064	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
10		df-ov 7393	. . . . 5 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
11		gsum2d.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
12	11	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) ∈ 𝐵)
13	10, 12	eqeltrid 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
14	9, 13	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗})) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
15	14	fmpttd 7090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)):(𝐴 “ {𝑗})⟶𝐵)
16		gsum2d.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
17	16	fsuppimpd 9327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
18		rnfi 9298	. . . 4 ⊢ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
20	9	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴)
21	7, 8	opelrn 5910	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ))
22	21	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 ) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	20, 22	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )) → (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
24		eldif 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) ↔ (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ran (𝐹 supp 0 )))
25		eldif 3927	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )) ↔ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )))
26	23, 24, 25	3imtr4i 292	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 )))
27		ssidd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
28	2	fvexi 6875	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
30	11, 27, 4, 29	suppssr 8177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
31	10, 30	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
32	26, 31	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝐴 “ {𝑗}) ∖ ran (𝐹 supp 0 ))) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
33	32, 6	suppss2 8182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ⊆ ran (𝐹 supp 0 ))
34	19, 33	ssfid 9219	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘)) supp 0 ) ∈ Fin)
35	1, 2, 3, 6, 15, 34	gsumcl2 19851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 “ {𝑗}) ↦ (𝑗𝐹𝑘))) ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644  Rel wrel 5646  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-cntz 19256  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  gsum2dlem2  19908  gsum2d  19909