MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0fiublem 13961
Description: Lemma for fsuppmapnn0fiub 13962 and fsuppmapnn0fiubex 13963. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiublem ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiublem
StepHypRef Expression
1 fsuppmapnn0fiub.u . . . 4 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
2 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
3 nfra1 3279 . . . . . . . 8 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
4 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑓 𝑈 ≠ ∅
53, 4nfan 1900 . . . . . . 7 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
62, 5nfan 1900 . . . . . 6 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
7 suppssdm 8166 . . . . . . . 8 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
8 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
9 elmapfn 8863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅m0) → 𝑓 Fn ℕ0)
10 fndm 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
11 eqimss 4041 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
138, 9, 123syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
1413ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0))
15143ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0))
1615adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0))
1716imp 405 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
187, 17sstrid 3994 . . . . . . 7 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1918ex 411 . . . . . 6 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0))
206, 19ralrimi 3252 . . . . 5 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
21 iunss 5049 . . . . 5 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0 ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
2220, 21sylibr 233 . . . 4 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
231, 22eqsstrid 4031 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑈 ⊆ ℕ0)
24 ltso 11300 . . . . 5 < Or ℝ
2524a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → < Or ℝ)
26 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
27 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
2827fsuppimpd 9373 . . . . . . . 8 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
2928ralimi 3081 . . . . . . 7 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
31 iunfi 9344 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
3226, 30, 31syl2an 594 . . . . 5 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
331, 32eqeltrid 2835 . . . 4 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑈 ∈ Fin)
34 simprr 769 . . . 4 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑈 ≠ ∅)
358, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
3635ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
37363ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
3938imp 405 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
40 nn0ssre 12482 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ
4139, 40eqsstrdi 4037 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
427, 41sstrid 3994 . . . . . . 7 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
4342ex 411 . . . . . 6 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
446, 43ralrimi 3252 . . . . 5 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
451sseq1i 4011 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ℝ ↔ 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
46 iunss 5049 . . . . . 6 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
4745, 46bitri 274 . . . . 5 (𝑈 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
4844, 47sylibr 233 . . . 4 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
49 fsuppmapnn0fiub.s . . . . 5 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
50 fisupcl 9468 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ⊆ ℝ)) → sup(𝑈, ℝ, < ) ∈ 𝑈)
5149, 50eqeltrid 2835 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ 𝑈 ⊆ ℝ)) → 𝑆𝑈)
5225, 33, 34, 48, 51syl13anc 1370 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆𝑈)
5323, 52sseldd 3984 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5453ex 411 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wss 3949  c0 4323   ciun 4998   class class class wbr 5149   Or wor 5588  dom cdm 5677   Fn wfn 6539  (class class class)co 7413   supp csupp 8150  m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  supcsup 9439  cr 11113   < clt 11254  0cn0 12478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-nn 12219  df-n0 12479
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  13962  fsuppmapnn0fiubex  13963
  Copyright terms: Public domain W3C validator