Theorem lincresunit2 45819

Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
2	1	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
3	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5		lincresunit.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
6		mptexg 7097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
9	5	funmpt2 6473	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝐺
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11		lincresunit.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6788	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
17		simpll 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
18		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠 ∈ 𝑆)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠 ∈ 𝑆)
20		lincresunit.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		lincresunit.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		lincresunit.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
23		lincresunit.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24		lincresunit.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
25		lincresunit.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26		lincresunit.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
27		lincresunit.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 45817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
29	16, 17, 19, 28	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
30	29	ralrimiva 3103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
31	5	fnmpt 6573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸 → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33		elmapfn 8653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
36	32, 35	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37		difssd 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38		simpr1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ V)
40	37, 38, 39	3jca 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V))
41		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑥))
42	41	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
43		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
45		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
47		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑆)
50	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 45817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
51	44, 46, 49, 50	syl21anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
52	5, 42, 43, 51	fvmptd3 6898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
53		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ))
54	21	lmodring 20131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55	54	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
57	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem1 45816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
58	57	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
59	22, 27, 11	ringrz 19827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
60	56, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
62	53, 61	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = 0 )
63	52, 62	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = 0 )
64	63	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
65	64	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
66		suppfnss 8005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
67	66	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
68	36, 40, 65, 67	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70		suppssfifsupp 9143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
71	8, 10, 13, 15, 69, 70	syl32anc 1377	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
72	71	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 ))
73	72	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 )))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75	74	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
76	75	impcom 408	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965  0_gc0g 17150  inv_gcminusg 18578  Ringcrg 19783  Unitcui 19881  inv_rcinvr 19913  LModclmod 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-lmod 20125

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  45821  lincresunit3  45822  isldepslvec2  45826