Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit2 47060
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5325 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
32adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
6 mptexg 7217 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
95funmpt2 6583 . . . . . . . 8 Fun 𝐺
109a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
1211fvexi 6901 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9364 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
17 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
18 eldifi 4124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠𝑆)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠𝑆)
20 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑀)
21 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (Base‘𝑅)
23 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0g𝑀)
25 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (invg𝑅)
26 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
27 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r𝑅)
2820, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 47058 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
2916, 17, 19, 28syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
3029ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
315fnmpt 6686 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33 elmapfn 8854 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
3534adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
3632, 35jca 513 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37 difssd 4130 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3912a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 0 ∈ V)
4037, 38, 393jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V))
41 fveq2 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑥))
4241oveq2d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
45 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
47 eldifi 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑆)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑆)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥𝑆)
5020, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 47058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
5144, 46, 49, 50syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
525, 42, 43, 51fvmptd3 7016 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
53 oveq2 7411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ))
5421lmodring 20466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
5720, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem1 47057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5857ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5922, 27, 11ringrz 20097 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6056, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6253, 61sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = 0 )
6352, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = 0 )
6463ex 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
6564ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
66 suppfnss 8168 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
6766imp 408 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6836, 40, 65, 67syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6968adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70 suppssfifsupp 9373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
718, 10, 13, 15, 69, 70syl32anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
7271ex 414 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 ))
7372ex 414 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 )))
7473com23 86 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75743impia 1118 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
7675impcom 409 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  cdif 3943  wss 3946  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5146  cmpt 5229  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  cfv 6539  (class class class)co 7403   supp csupp 8140  m cmap 8815  Fincfn 8934   finSupp cfsupp 9356  Basecbs 17139  .rcmulr 17193  Scalarcsca 17195  0gc0g 17380  invgcminusg 18815  Ringcrg 20046  Unitcui 20157  invrcinvr 20189  LModclmod 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-oppr 20138  df-dvdsr 20159  df-unit 20160  df-invr 20190  df-lmod 20460
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  47062  lincresunit3  47063  isldepslvec2  47067
  Copyright terms: Public domain W3C validator