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Theorem lincresunit2 47159
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincresunit.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincresunit.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
lincresunit.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   Β· ,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5328 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
32adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
6 mptexg 7223 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ ))) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 ∈ V)
95funmpt2 6588 . . . . . . . 8 Fun 𝐺
109a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ Fun 𝐺)
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
1211fvexi 6906 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 0 ∈ V)
14 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9369 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
17 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
18 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
20 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
21 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
22 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
23 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
24 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
25 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
26 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
27 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2820, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 47157 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
2916, 17, 19, 28syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
3029ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
315fnmpt 6691 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘  ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸 β†’ 𝐺 Fn (𝑆 βˆ– {𝑋}))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐺 Fn (𝑆 βˆ– {𝑋}))
33 elmapfn 8859 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
3534adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹 Fn 𝑆)
3632, 35jca 513 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 Fn (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37 difssd 4133 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆)
38 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
3912a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ 0 ∈ V)
4037, 38, 393jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 0 ∈ V))
41 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘₯))
4241oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) = ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
44 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
45 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
47 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
5020, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 47157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐸)
5144, 46, 49, 50syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐸)
525, 42, 43, 51fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))
53 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· 0 ))
5421lmodring 20479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5720, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem1 47156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) ∈ 𝐸)
5857ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) ∈ 𝐸)
5922, 27, 11ringrz 20108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· 0 ) = 0 )
6056, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· 0 ) = 0 )
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· 0 ) = 0 )
6253, 61sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = 0 )
6352, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0 )
6463ex 414 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0 ))
6564ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})((πΉβ€˜π‘₯) = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0 ))
66 suppfnss 8174 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Fn (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 0 ∈ V)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})((πΉβ€˜π‘₯) = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0 ) β†’ (𝐺 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 )))
6766imp 408 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 Fn (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 0 ∈ V)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})((πΉβ€˜π‘₯) = 0 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0 )) β†’ (𝐺 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
6836, 40, 65, 67syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
6968adantr 482 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝐺 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
70 suppssfifsupp 9378 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
718, 10, 13, 15, 69, 70syl32anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
7271ex 414 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐹 finSupp 0 β†’ 𝐺 finSupp 0 ))
7372ex 414 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹 finSupp 0 β†’ 𝐺 finSupp 0 )))
7473com23 86 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐹 finSupp 0 β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 finSupp 0 )))
75743impia 1118 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝐺 finSupp 0 ))
7675impcom 409 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  invgcminusg 18820  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  LModclmod 20471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-lmod 20473
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  47161  lincresunit3  47162  isldepslvec2  47166
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