Theorem lincresunit2 47243

Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
3	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5		lincresunit.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
6		mptexg 7225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
9	5	funmpt2 6587	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝐺
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11		lincresunit.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
17		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
18		eldifi 4126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠 ∈ 𝑆)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠 ∈ 𝑆)
20		lincresunit.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		lincresunit.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		lincresunit.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
23		lincresunit.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24		lincresunit.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
25		lincresunit.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26		lincresunit.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
27		lincresunit.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 47241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
29	16, 17, 19, 28	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
30	29	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
31	5	fnmpt 6690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸 → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33		elmapfn 8861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
36	32, 35	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37		difssd 4132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38		simpr1 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ V)
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V))
41		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑥))
42	41	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
43		simplr 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
45		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
47		eldifi 4126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑆)
50	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 47241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
51	44, 46, 49, 50	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
52	5, 42, 43, 51	fvmptd3 7021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
53		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ))
54	21	lmodring 20483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55	54	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
57	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem1 47240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
58	57	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
59	22, 27, 11	ringrz 20110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
60	56, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
62	53, 61	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = 0 )
63	52, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = 0 )
64	63	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
65	64	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
66		suppfnss 8176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
67	66	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
68	36, 40, 65, 67	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70		suppssfifsupp 9380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
71	8, 10, 13, 15, 69, 70	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
72	71	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 ))
73	72	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 )))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75	74	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
76	75	impcom 408	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  ._rcmulr 17200  Scalarcsca 17202  0_gc0g 17387  inv_gcminusg 18822  Ringcrg 20058  Unitcui 20173  inv_rcinvr 20205  LModclmod 20475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-lmod 20477

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  47245  lincresunit3  47246  isldepslvec2  47250