Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit2 46549
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5284 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
213ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
32adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
6 mptexg 7171 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
95funmpt2 6540 . . . . . . . 8 Fun 𝐺
109a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
1211fvexi 6856 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9312 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
17 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
18 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠𝑆)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠𝑆)
20 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑀)
21 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (Base‘𝑅)
23 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0g𝑀)
25 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (invg𝑅)
26 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
27 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r𝑅)
2820, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 46547 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
2916, 17, 19, 28syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
3029ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
315fnmpt 6641 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33 elmapfn 8803 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
3534adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
3632, 35jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37 difssd 4092 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38 simpr1 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3912a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 0 ∈ V)
4037, 38, 393jca 1128 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V))
41 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑥))
4241oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
43 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
45 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
47 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑆)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑆)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥𝑆)
5020, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 46547 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
5144, 46, 49, 50syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
525, 42, 43, 51fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
53 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ))
5421lmodring 20330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55543ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
5720, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem1 46546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5857ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5922, 27, 11ringrz 20012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6253, 61sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = 0 )
6352, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = 0 )
6463ex 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
6564ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
66 suppfnss 8120 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
6766imp 407 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6836, 40, 65, 67syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6968adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70 suppssfifsupp 9320 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
718, 10, 13, 15, 69, 70syl32anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
7271ex 413 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 ))
7372ex 413 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 )))
7473com23 86 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75743impia 1117 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
7675impcom 408 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321  invgcminusg 18749  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  invrcinvr 20100  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-lmod 20324
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  46551  lincresunit3  46552  isldepslvec2  46556
  Copyright terms: Public domain W3C validator