Theorem lincresunit2 48835

Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
3	2	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5		lincresunit.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
6		mptexg 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
9	5	funmpt2 6539	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝐺
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11		lincresunit.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6856	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
17		simpll 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
18		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠 ∈ 𝑆)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠 ∈ 𝑆)
20		lincresunit.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		lincresunit.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		lincresunit.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
23		lincresunit.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24		lincresunit.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
25		lincresunit.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26		lincresunit.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
27		lincresunit.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 48833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
29	16, 17, 19, 28	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
30	29	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
31	5	fnmpt 6640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸 → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33		elmapfn 8814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
36	32, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37		difssd 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38		simpr1 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ V)
40	37, 38, 39	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V))
41		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑥))
42	41	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
43		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
45		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
47		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑆)
50	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 48833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
51	44, 46, 49, 50	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
52	5, 42, 43, 51	fvmptd3 6973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
53		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ))
54	21	lmodring 20831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55	54	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
57	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem1 48832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
58	57	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
59	22, 27, 11	ringrz 20241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
60	56, 58, 59	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
62	53, 61	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = 0 )
63	52, 62	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = 0 )
64	63	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
65	64	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
66		suppfnss 8141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
67	66	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
68	36, 40, 65, 67	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
69	68	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70		suppssfifsupp 9295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
71	8, 10, 13, 15, 69, 70	syl32anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
72	71	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 ))
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 )))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75	74	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
76	75	impcom 407	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192  0_gc0g 17371  inv_gcminusg 18876  Ringcrg 20180  Unitcui 20303  inv_rcinvr 20335  LModclmod 20823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-lmod 20825

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  48837  lincresunit3  48838  isldepslvec2  48842