Theorem lincresunit2 48724

Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 5274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
3	2	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5		lincresunit.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
6		mptexg 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠))) ∈ V)
7	5, 6	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
9	5	funmpt2 6531	. . . . . . . 8 ⊢ Fun 𝐺
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11		lincresunit.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	11	fvexi 6848	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
15	14	fsuppimpd 9272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
17		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
18		eldifi 4083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠 ∈ 𝑆)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠 ∈ 𝑆)
20		lincresunit.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21		lincresunit.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22		lincresunit.e	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
23		lincresunit.u	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24		lincresunit.z	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
25		lincresunit.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26		lincresunit.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
27		lincresunit.t	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 48722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
29	16, 17, 19, 28	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
30	29	ralrimiva 3128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸)
31	5	fnmpt 6632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) ∈ 𝐸 → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33		elmapfn 8802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
36	32, 35	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37		difssd 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
39	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ V)
40	37, 38, 39	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V))
41		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑥))
42	41	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
43		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
45		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
47		eldifi 4083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ∈ 𝑆)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝑆)
50	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem2 48722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
51	44, 46, 49, 50	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐸)
52	5, 42, 43, 51	fvmptd3 6964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)))
53		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ))
54	21	lmodring 20819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55	54	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
57	20, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5	lincresunitlem1 48721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
58	57	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸)
59	22, 27, 11	ringrz 20229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
60	56, 58, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · 0 ) = 0 )
62	53, 61	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑥)) = 0 )
63	52, 62	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹‘𝑥) = 0 ) → (𝐺‘𝑥) = 0 )
64	63	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
65	64	ralrimiva 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ))
66		suppfnss 8131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
67	66	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹‘𝑥) = 0 → (𝐺‘𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
68	36, 40, 65, 67	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
69	68	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70		suppssfifsupp 9283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺 ∧ 0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
71	8, 10, 13, 15, 69, 70	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
72	71	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 ))
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 finSupp 0 → 𝐺 finSupp 0 )))
74	73	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75	74	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
76	75	impcom 407	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359  inv_gcminusg 18864  Ringcrg 20168  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323  LModclmod 20811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-lmod 20813

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  48726  lincresunit3  48727  isldepslvec2  48731