Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit2 48395
Description: Property 2 of a specially modified restriction of a linear combination containing a unit as scalar. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   𝐺(𝑠)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 5329 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
213ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
32adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5 lincresunit.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
6 mptexg 7241 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))) ∈ V)
75, 6eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 ∈ V)
95funmpt2 6605 . . . . . . . 8 Fun 𝐺
109a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → Fun 𝐺)
11 lincresunit.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
1211fvexi 6920 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 0 ∈ V)
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
1514fsuppimpd 9409 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
16 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
17 simpll 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
18 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑠𝑆)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑠𝑆)
20 lincresunit.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝑀)
21 lincresunit.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
22 lincresunit.e . . . . . . . . . . . . . 14 𝐸 = (Base‘𝑅)
23 lincresunit.u . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 = (Unit‘𝑅)
24 lincresunit.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (0g𝑀)
25 lincresunit.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (invg𝑅)
26 lincresunit.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
27 lincresunit.t . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r𝑅)
2820, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 48393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑠𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
2916, 17, 19, 28syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
3029ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸)
315fnmpt 6708 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) ∈ 𝐸𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}))
33 elmapfn 8905 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹 Fn 𝑆)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝑆)
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 Fn 𝑆)
3632, 35jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆))
37 difssd 4137 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
38 simpr1 1195 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
3912a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 0 ∈ V)
4037, 38, 393jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V))
41 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑥 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑥))
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑥 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
43 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
44 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
45 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
47 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑆)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑆)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥𝑆)
5020, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem2 48393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
5144, 46, 49, 50syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) ∈ 𝐸)
525, 42, 43, 51fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)))
53 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = 0 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ))
5421lmodring 20866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
55543ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
5720, 21, 22, 23, 11, 24, 25, 26, 27, 5lincresunitlem1 48392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5857ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸)
5922, 27, 11ringrz 20291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) ∈ 𝐸) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6056, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · 0 ) = 0 )
6253, 61sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑥)) = 0 )
6352, 62eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺𝑥) = 0 )
6463ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
6564ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ))
66 suppfnss 8214 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) → (∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )))
6766imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 Fn (𝑆 ∖ {𝑋}) ∧ 𝐹 Fn 𝑆) ∧ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆𝑆 ∈ 𝒫 𝐵0 ∈ V)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})((𝐹𝑥) = 0 → (𝐺𝑥) = 0 )) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6836, 40, 65, 67syl21anc 838 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
6968adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
70 suppssfifsupp 9420 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ Fun 𝐺0 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 0 ) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → 𝐺 finSupp 0 )
718, 10, 13, 15, 69, 70syl32anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐺 finSupp 0 )
7271ex 412 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) ∧ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 ))
7372ex 412 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹 finSupp 0𝐺 finSupp 0 )))
7473com23 86 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 0 → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 )))
75743impia 1118 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 ) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝐺 finSupp 0 ))
7675impcom 407 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484  invgcminusg 18952  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  invrcinvr 20387  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  48397  lincresunit3  48398  isldepslvec2  48402
  Copyright terms: Public domain W3C validator