Theorem fsuppmapnn0ub 13643

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9065	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4		elmapfn 8611	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6		nn0ex 12169	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		suppvalfn 7956	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
11	10	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12		rabssnn0fi 13634	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
13		nne 2946	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	13	imbi2i 335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
15	14	ralbii 3090	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
16	15	rexbii 3177	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
17	12, 16	sylbb 218	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
18	11, 17	syl6bi 252	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))
19	3, 18	syld 47	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  13644  nn0gsumfz  19500  mptcoe1fsupp  21296  coe1ae0  21297  gsummoncoe1  21385  mptcoe1matfsupp  21859  mp2pm2mplem4  21866  pm2mp  21882  cayhamlem4  21945