Theorem fsuppmapnn0ub 13899

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9253	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4		elmapfn 8789	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6		nn0ex 12384	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		suppvalfn 8098	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
11	10	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12		rabssnn0fi 13890	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
13		nne 2932	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	13	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
15	14	ralbii 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
16	15	rexbii 3079	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
17	12, 16	sylbb 219	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
18	11, 17	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))
19	3, 18	syld 47	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5091   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245   < clt 11143  ℕ₀cn0 12378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  13900  nn0gsumfz  19894  mptcoe1fsupp  22126  coe1ae0  22127  gsummoncoe1  22221  mptcoe1matfsupp  22715  mp2pm2mplem4  22722  pm2mp  22738  cayhamlem4  22801