MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0ub 13356
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21fsuppimpd 8832 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
32ex 413 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4 elmapfn 8422 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅m0) → 𝐹 Fn ℕ0)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6 nn0ex 11895 . . . . . 6 0 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍𝑉)
9 suppvalfn 7831 . . . . 5 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
105, 7, 8, 9syl3anc 1365 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
1110eleq1d 2901 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12 rabssnn0fi 13347 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
13 nne 3024 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1413imbi2i 337 . . . . . 6 ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1514ralbii 3169 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1615rexbii 3251 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1712, 16sylbb 220 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1811, 17syl6bi 254 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
193, 18syld 47 1 ((𝐹 ∈ (𝑅m0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  Vcvv 3499   class class class wbr 5062   Fn wfn 6346  cfv 6351  (class class class)co 7151   supp csupp 7824  m cmap 8399  Fincfn 8501   finSupp cfsupp 8825   < clt 10667  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  13357  nn0gsumfz  19027  mptcoe1fsupp  20303  coe1ae0  20304  gsummoncoe1  20392  mptcoe1matfsupp  21329  mp2pm2mplem4  21336  pm2mp  21352  cayhamlem4  21415
  Copyright terms: Public domain W3C validator