Theorem fsuppmapnn0ub 14046

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9439	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4		elmapfn 8923	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6		nn0ex 12559	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		suppvalfn 8209	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
11	10	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12		rabssnn0fi 14037	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
13		nne 2950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	13	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
15	14	ralbii 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
16	15	rexbii 3100	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
17	12, 16	sylbb 219	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
18	11, 17	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))
19	3, 18	syld 47	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  14047  nn0gsumfz  20026  mptcoe1fsupp  22238  coe1ae0  22239  gsummoncoe1  22333  mptcoe1matfsupp  22829  mp2pm2mplem4  22836  pm2mp  22852  cayhamlem4  22915