Theorem fsuppmapnn0ub 13918

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
2	1	fsuppimpd 9272	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
3	2	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4		elmapfn 8802	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝐹 Fn ℕ0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6		nn0ex 12407	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
9		suppvalfn 8110	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍})
11	10	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12		rabssnn0fi 13909	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
13		nne 2936	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	13	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
15	14	ralbii 3082	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
16	15	rexbii 3083	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
17	12, 16	sylbb 219	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
18	11, 17	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))
19	3, 18	syld 47	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  13919  nn0gsumfz  19913  mptcoe1fsupp  22156  coe1ae0  22157  gsummoncoe1  22252  mptcoe1matfsupp  22746  mp2pm2mplem4  22753  pm2mp  22769  cayhamlem4  22832