Theorem fzssuz 13567

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13522	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3940	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Syntax hints:   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by:  ltwefz  13973  seqcoll2  14475  caubnd  15369  climsup  15680  summolem2a  15725  fsumss  15735  fsumsers  15738  isumclim3  15769  binomlem  15842  prodmolem2a  15947  fprodntriv  15955  fprodss  15961  iprodclim3  16013  fprodefsum  16108  isprm3  16700  2prm  16709  prmreclem5  16939  4sqlem11  16974  gsumval3  19930  telgsums  20016  fz2ssnn0  32937  elrgspnlem2  33385  esumpcvgval  34336  esumcvg  34344  eulerpartlemsv3  34619  ballotlemfc0  34751  ballotlemfcc  34752  ballotlemiex  34760  ballotlemsima  34774  ballotlemrv2  34780  fsum2dsub  34865  erdszelem4  35508  erdszelem8  35512  volsupnfl  38128  sdclem2  38205  geomcau  38222  diophin  43317  irrapxlem1  43363  fzssnn0  45859  iuneqfzuzlem  45874  fzossuz  45920  uzublem  45968  climinf  46146  sge0uzfsumgt  46982  iundjiun  46998  caratheodorylem1  47064