Theorem fzssuz 13605

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13560	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3987	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Syntax hints:   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  ltwefz  14004  seqcoll2  14504  caubnd  15397  climsup  15706  summolem2a  15751  fsumss  15761  fsumsers  15764  isumclim3  15795  binomlem  15865  prodmolem2a  15970  fprodntriv  15978  fprodss  15984  iprodclim3  16036  fprodefsum  16131  isprm3  16720  2prm  16729  prmreclem5  16958  4sqlem11  16993  gsumval3  19925  telgsums  20011  fz2ssnn0  32787  elrgspnlem2  33247  esumpcvgval  34079  esumcvg  34087  eulerpartlemsv3  34363  ballotlemfc0  34495  ballotlemfcc  34496  ballotlemiex  34504  ballotlemsima  34518  ballotlemrv2  34524  fsum2dsub  34622  erdszelem4  35199  erdszelem8  35203  volsupnfl  37672  sdclem2  37749  geomcau  37766  diophin  42783  irrapxlem1  42833  fzssnn0  45329  iuneqfzuzlem  45345  fzossuz  45392  uzublem  45441  climinf  45621  sge0uzfsumgt  46459  iundjiun  46475  caratheodorylem1  46541