Theorem fzssuz 13679

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13633	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3935	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-neg 11525  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621

This theorem is used by:  ltwefz  14086  seqcoll2  14590  caubnd  15506  climsup  15817  summolem2a  15861  fsumss  15871  fsumsers  15874  isumclim3  15905  binomlem  15978  prodmolem2a  16081  fprodntriv  16089  fprodss  16095  iprodclim3  16147  fprodefsum  16241  isprm3  16838  2prm  16847  prmreclem5  17078  4sqlem11  17113  gsumval3  20101  telgsums  20187  fz2ssnn0  33359  elrgspnlem2  33786  esumpcvgval  34692  esumcvg  34700  eulerpartlemsv3  34976  ballotlemfc0  35108  ballotlemfcc  35109  ballotlemiex  35117  ballotlemsima  35131  ballotlemrv2  35137  fsum2dsub  35219  erdszelem4  35928  erdszelem8  35932  volsupnfl  38551  sdclem2  38644  geomcau  38661  diophin  43736  irrapxlem1  43782  fzssnn0  46275  iuneqfzuzlem  46290  fzossuz  46336  uzublem  46384  climinf  46562  sge0uzfsumgt  47398  iundjiun  47414  caratheodorylem1  47480