Theorem fzssuz 13702

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13655	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3912	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11547  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643

This theorem is used by:  ltwefz  14109  seqcoll2  14613  caubnd  15531  climsup  15842  summolem2a  15886  fsumss  15896  fsumsers  15899  isumclim3  15930  binomlem  16003  prodmolem2a  16106  fprodntriv  16114  fprodss  16120  iprodclim3  16172  fprodefsum  16266  isprm3  16863  2prm  16872  prmreclem5  17103  4sqlem11  17138  gsumval3  20126  telgsums  20212  fz2ssnn0  33423  elrgspnlem2  33850  esumpcvgval  34756  esumcvg  34764  eulerpartlemsv3  35039  ballotlemfc0  35171  ballotlemfcc  35172  ballotlemiex  35180  ballotlemsima  35194  ballotlemrv2  35200  fsum2dsub  35282  erdszelem4  36045  erdszelem8  36049  volsupnfl  38676  sdclem2  38769  geomcau  38786  diophin  43876  irrapxlem1  43922  fzssnn0  46424  iuneqfzuzlem  46439  fzossuz  46485  uzublem  46533  climinf  46711  sge0uzfsumgt  47547  iundjiun  47563  caratheodorylem1  47629