Theorem fzssuz 13624

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13578	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3938	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-neg 11472  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566

This theorem is used by:  ltwefz  14031  seqcoll2  14534  caubnd  15450  climsup  15761  summolem2a  15805  fsumss  15815  fsumsers  15818  isumclim3  15849  binomlem  15922  prodmolem2a  16027  fprodntriv  16035  fprodss  16041  iprodclim3  16093  fprodefsum  16187  isprm3  16779  2prm  16788  prmreclem5  17018  4sqlem11  17053  gsumval3  20040  telgsums  20126  fz2ssnn0  33264  elrgspnlem2  33691  esumpcvgval  34596  esumcvg  34604  eulerpartlemsv3  34880  ballotlemfc0  35012  ballotlemfcc  35013  ballotlemiex  35021  ballotlemsima  35035  ballotlemrv2  35041  fsum2dsub  35123  erdszelem4  35781  erdszelem8  35785  volsupnfl  38422  sdclem2  38500  geomcau  38517  diophin  43625  irrapxlem1  43671  fzssnn0  46157  iuneqfzuzlem  46172  fzossuz  46218  uzublem  46266  climinf  46444  sge0uzfsumgt  47280  iundjiun  47296  caratheodorylem1  47362