Theorem fzssuz 13612

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13566	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3944	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-neg 11462  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  ltwefz  14019  seqcoll2  14522  caubnd  15436  climsup  15747  summolem2a  15792  fsumss  15802  fsumsers  15805  isumclim3  15836  binomlem  15909  prodmolem2a  16014  fprodntriv  16022  fprodss  16028  iprodclim3  16080  fprodefsum  16174  isprm3  16766  2prm  16775  prmreclem5  17005  4sqlem11  17040  gsumval3  20008  telgsums  20094  fz2ssnn0  33167  elrgspnlem2  33594  esumpcvgval  34499  esumcvg  34507  eulerpartlemsv3  34783  ballotlemfc0  34915  ballotlemfcc  34916  ballotlemiex  34924  ballotlemsima  34938  ballotlemrv2  34944  fsum2dsub  35026  erdszelem4  35707  erdszelem8  35711  volsupnfl  38357  sdclem2  38434  geomcau  38451  diophin  43544  irrapxlem1  43590  fzssnn0  46076  iuneqfzuzlem  46091  fzossuz  46137  uzublem  46185  climinf  46363  sge0uzfsumgt  47199  iundjiun  47215  caratheodorylem1  47281