Theorem fzssuz 13604

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13558	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3944	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℤ_≥cuz 12872  ...cfz 13545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-neg 11454  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546

This theorem is used by:  ltwefz  14010  seqcoll2  14513  caubnd  15421  climsup  15732  summolem2a  15777  fsumss  15787  fsumsers  15790  isumclim3  15821  binomlem  15894  prodmolem2a  15999  fprodntriv  16007  fprodss  16013  iprodclim3  16065  fprodefsum  16159  isprm3  16751  2prm  16760  prmreclem5  16990  4sqlem11  17025  gsumval3  19987  telgsums  20073  fz2ssnn0  33145  elrgspnlem2  33576  esumpcvgval  34481  esumcvg  34489  eulerpartlemsv3  34764  ballotlemfc0  34896  ballotlemfcc  34897  ballotlemiex  34905  ballotlemsima  34919  ballotlemrv2  34925  fsum2dsub  35007  erdszelem4  35698  erdszelem8  35702  volsupnfl  38348  sdclem2  38425  geomcau  38442  diophin  43535  irrapxlem1  43581  fzssnn0  46067  iuneqfzuzlem  46082  fzossuz  46128  uzublem  46176  climinf  46354  sge0uzfsumgt  47190  iundjiun  47206  caratheodorylem1  47272