Theorem fzssuz 13726

Description: A finite set of sequential integers is a subset of an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzssuz	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

Proof of Theorem fzssuz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13679	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	ssriv 3917	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-neg 11571  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667

This theorem is used by:  ltwefz  14133  seqcoll2  14637  caubnd  15555  climsup  15866  summolem2a  15910  fsumss  15920  fsumsers  15923  isumclim3  15954  binomlem  16027  prodmolem2a  16130  fprodntriv  16138  fprodss  16144  iprodclim3  16196  fprodefsum  16290  isprm3  16887  2prm  16896  prmreclem5  17127  4sqlem11  17162  gsumval3  20151  telgsums  20237  fz2ssnn0  33447  elrgspnlem2  33874  esumpcvgval  34780  esumcvg  34788  eulerpartlemsv3  35063  ballotlemfc0  35195  ballotlemfcc  35196  ballotlemiex  35204  ballotlemsima  35218  ballotlemrv2  35224  fsum2dsub  35306  erdszelem4  36126  erdszelem8  36130  volsupnfl  38775  sdclem2  38868  geomcau  38885  diophin  43976  irrapxlem1  44022  fzssnn0  46536  iuneqfzuzlem  46551  fzossuz  46597  uzublem  46645  climinf  46823  sge0uzfsumgt  47659  iundjiun  47675  caratheodorylem1  47741