Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemsv3 33917
Description: Lemma for eulerpart 33938. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑓,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
31, 2eulerpartlemsv1 33912 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4 fzssuz 13566 . . . . 5 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 nnuz 12887 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
64, 5sseqtrri 4015 . . . 4 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•)
81, 2eulerpartlemelr 33913 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
98simpld 494 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
117sselda 3978 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11ffvelcdmd 7089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12556 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1411nncnd 12250 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11256 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
161, 2eulerpartlems 33916 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
1716ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
18 fveqeq2 6900 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
1918cbvralvw 3229 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
211, 2eulerpartlemsf 33915 . . . . . . . . . 10 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
2221ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
23 nndiffz1 32538 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2524raleqdv 3320 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0))
2620, 25mpbird 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
2726r19.21bi 3243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7429 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
29 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))))
3029eldifad 3956 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3130nncnd 12250 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3231mul02d 11434 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3328, 32eqtrd 2767 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
345eqimssi 4038 . . . 4 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3534a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
367, 15, 33, 35sumss 15694 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
373, 36eqtr4d 2770 1 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  Ξ£csu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  33918
  Copyright terms: Public domain W3C validator