Theorem eulerpartlemsv3 34493

Description: Lemma for eulerpart 34514. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv3	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 34488	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		fzssuz 13508	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		nnuz 12816	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	sseqtrri 3966	. . . 4 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ)
8	1, 2	eulerpartlemelr 34489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
11	7	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	10, 11	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14	11	nncnd 12179	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
16	1, 2	eulerpartlems 34492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))) → (𝐴‘𝑡) = 0)
17	16	ralrimiva 3127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
18		fveqeq2 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑡) = 0))
19	18	cbvralvw 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0)
21	1, 2	eulerpartlemsf 34491	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
22	21	ffvelcdmi 7024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0)
23		nndiffz1 32847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
25	20, 24	raleqtrrdv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0)
26	25	r19.21bi 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
27	26	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))))
29	28	eldifad 3897	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	30	mul02d 11333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
32	27, 31	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
33	5	eqimssi 3977	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	7, 15, 32, 34	sumss 15675	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	3, 35	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2713  ∀wral 3049   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5155  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  Σcsu 15637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  34494