Theorem eulerpartlemsv3 34381

Description: Lemma for eulerpart 34402. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv3	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 34376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		fzssuz 13471	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		nnuz 12781	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	sseqtrri 3979	. . . 4 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ)
8	1, 2	eulerpartlemelr 34377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
11	7	sselda 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	10, 11	ffvelcdmd 7024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14	11	nncnd 12147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
16	1, 2	eulerpartlems 34380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))) → (𝐴‘𝑡) = 0)
17	16	ralrimiva 3124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
18		fveqeq2 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑡) = 0))
19	18	cbvralvw 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0)
21	1, 2	eulerpartlemsf 34379	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
22	21	ffvelcdmi 7022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0)
23		nndiffz1 32776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
25	20, 24	raleqtrrdv 3296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0)
26	25	r19.21bi 3224	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
27	26	oveq1d 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))))
29	28	eldifad 3909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	30	mul02d 11317	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
32	27, 31	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
33	5	eqimssi 3990	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	7, 15, 32, 34	sumss 15637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	3, 35	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13413  Σcsu 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  34382