Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemsv3 33001
Description: Lemma for eulerpart 33022. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑓,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
31, 2eulerpartlemsv1 32996 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4 fzssuz 13489 . . . . 5 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
64, 5sseqtrri 3986 . . . 4 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•)
81, 2eulerpartlemelr 32997 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
98simpld 496 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
109adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
117sselda 3949 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1411nncnd 12176 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11182 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
161, 2eulerpartlems 33000 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
1716ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
18 fveqeq2 6856 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
1918cbvralvw 3228 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
211, 2eulerpartlemsf 32999 . . . . . . . . . 10 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
2221ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
23 nndiffz1 31731 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2524raleqdv 3316 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0))
2620, 25mpbird 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
2726r19.21bi 3237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7377 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
29 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))))
3029eldifad 3927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3130nncnd 12176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3231mul02d 11360 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3328, 32eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
345eqimssi 4007 . . . 4 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3534a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
367, 15, 33, 35sumss 15616 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
373, 36eqtr4d 2780 1 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  33002
  Copyright terms: Public domain W3C validator