Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemsv3 34051
Description: Lemma for eulerpart 34072. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑓,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
31, 2eulerpartlemsv1 34046 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4 fzssuz 13574 . . . . 5 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 nnuz 12895 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
64, 5sseqtrri 4015 . . . 4 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•)
81, 2eulerpartlemelr 34047 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
98simpld 493 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
117sselda 3977 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11ffvelcdmd 7092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12564 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1411nncnd 12258 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11264 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
161, 2eulerpartlems 34050 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
1716ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
18 fveqeq2 6903 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
1918cbvralvw 3225 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
211, 2eulerpartlemsf 34049 . . . . . . . . . 10 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
2221ffvelcdmi 7090 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
23 nndiffz1 32611 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2524raleqdv 3315 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0))
2620, 25mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
2726r19.21bi 3239 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7432 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
29 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))))
3029eldifad 3957 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3130nncnd 12258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3231mul02d 11442 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3328, 32eqtrd 2765 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
345eqimssi 4038 . . . 4 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3534a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
367, 15, 33, 35sumss 15702 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
373, 36eqtr4d 2768 1 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3942   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  34052
  Copyright terms: Public domain W3C validator