Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemsv3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemsv3 33348
Description: Lemma for eulerpart 33369. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemsv3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑓,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)
Proof of Theorem eulerpartlemsv3
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . 3 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
31, 2eulerpartlemsv1 33343 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
4 fzssuz 13538 . . . . 5 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
64, 5sseqtrri 4018 . . . 4 (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•
76a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (1...(π‘†β€˜π΄)) βŠ† β„•)
81, 2eulerpartlemelr 33344 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
98simpld 495 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
117sselda 3981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11ffvelcdmd 7084 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12530 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1411nncnd 12224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1513, 14mulcld 11230 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) ∈ β„‚)
161, 2eulerpartlems 33347 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
1716ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
18 fveqeq2 6897 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
1918cbvralvw 3234 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘‘) = 0)
2017, 19sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
211, 2eulerpartlemsf 33346 . . . . . . . . . 10 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
2221ffvelcdmi 7082 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
23 nndiffz1 31984 . . . . . . . . 9 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
2524raleqdv 3325 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))(π΄β€˜π‘˜) = 0))
2620, 25mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))(π΄β€˜π‘˜) = 0)
2726r19.21bi 3248 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
2827oveq1d 7420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = (0 Β· π‘˜))
29 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))))
3029eldifad 3959 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
3130nncnd 12224 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3231mul02d 11408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
3328, 32eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ π‘˜ ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 0)
345eqimssi 4041 . . . 4 β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
3534a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ β„• βŠ† (β„€β‰₯β€˜1))
367, 15, 33, 35sumss 15666 . 2 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
373, 36eqtr4d 2775 1 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  33349
  Copyright terms: Public domain W3C validator