Theorem eulerpartlemsv3 34531

Description: Lemma for eulerpart 34552. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv3	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 34526	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		fzssuz 13486	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		nnuz 12795	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	sseqtrri 3984	. . . 4 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ)
8	1, 2	eulerpartlemelr 34527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
11	7	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	10, 11	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14	11	nncnd 12166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
16	1, 2	eulerpartlems 34530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))) → (𝐴‘𝑡) = 0)
17	16	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
18		fveqeq2 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑡) = 0))
19	18	cbvralvw 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0)
21	1, 2	eulerpartlemsf 34529	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
22	21	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0)
23		nndiffz1 32869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
25	20, 24	raleqtrrdv 3301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0)
26	25	r19.21bi 3229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
27	26	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))))
29	28	eldifad 3914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	30	mul02d 11336	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
32	27, 31	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
33	5	eqimssi 3995	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	7, 15, 32, 34	sumss 15652	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	3, 35	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888  0cc0 11031  1c1 11032   + caddc 11034   · cmul 11036  ℕcn 12150  ℕ₀cn0 12406  ℤ_≥cuz 12756  ...cfz 13428  Σcsu 15614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15615

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgc  34532