Theorem eulerpartlemsv3 35035

Description: Lemma for eulerpart 35056. Value of the sum of a finite partition 𝐴 (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemsv3	⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem eulerpartlemsv3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		eulerpartlems.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘))
3	1, 2	eulerpartlemsv1 35030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
4		fzssuz 13699	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ (ℤ≥‘1)
5		nnuz 13004	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	sseqtrri 3957	. . . 4 ⊢ (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (1...(𝑆‘𝐴)) ⊆ ℕ)
8	1, 2	eulerpartlemelr 35031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (◡𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
11	7	sselda 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	10, 11	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
14	11	nncnd 12351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15	13, 14	mulcld 11329	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) ∈ ℂ)
16	1, 2	eulerpartlems 35034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))) → (𝐴‘𝑡) = 0)
17	16	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
18		fveqeq2 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴‘𝑘) = 0 ↔ (𝐴‘𝑡) = 0))
19	18	cbvralvw 3240	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0 ↔ ∀𝑡 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑡) = 0)
20	17, 19	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1))(𝐴‘𝑘) = 0)
21	1, 2	eulerpartlemsf 35033	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆:((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
22	21	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0)
23		nndiffz1 33420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))) = (ℤ≥‘((𝑆‘𝐴) + 1)))
25	20, 24	raleqtrrdv 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))(𝐴‘𝑘) = 0)
26	25	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
27	26	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = (0 · 𝑘))
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴))))
29	28	eldifad 4051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
30	29	nncnd 12351	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
31	30	mul02d 11508	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → (0 · 𝑘) = 0)
32	27, 31	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆‘𝐴)))) → ((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = 0)
33	5	eqimssi 3968	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℤ≥‘1)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → ℕ ⊆ (ℤ≥‘1))
35	7, 15, 32, 34	sumss 15890	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴‘𝑘) · 𝑘))
36	3, 35	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((ℕ0 ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑆‘𝐴))((𝐴‘𝑘) · 𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854

This theorem is used by:  eulerpartlemgc  35036