MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsers Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsers 15620
Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
fsumsers.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
fsumsers.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumsers.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumsers (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fsumsers
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 fsumsers.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3 eluzel2 12775 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
42, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 fsumsers.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝑀...𝑁))
6 fzssuz 13489 . . . 4 (𝑀...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
75, 6sstrdi 3961 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 fsumsers.1 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 𝐡, 0))
9 fsumsers.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
101, 4, 7, 8, 9zsum 15610 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)))
11 fclim 15442 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚
12 ffun 6676 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ βŸΆβ„‚ β†’ Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
148, 2, 9, 5fsumcvg2 15619 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
15 funbrfv 6898 . . 3 (Fun ⇝ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
1613, 14, 15mpsyl 68 . 2 (πœ‘ β†’ ( ⇝ β€˜seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
1710, 16eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  ifcif 4491   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  fsumser  15622
  Copyright terms: Public domain W3C validator