Theorem fprodntriv 15877

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodntriv.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodntriv.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodntriv	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝑦,𝑛,𝑁   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntriv

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		fprodntriv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		peano2uz 12826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	5, 2	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7		ax-1ne0 11107	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
9		eluzelz 12773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 2	eleq2s 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13		seqex 13938	. . . . 5 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15		1cnd 11139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
19	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	19	peano2zd 12611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
22	21	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23		elfzelz 13452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zred 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
26	20	ltp1d 12084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27		elfzle1 13455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 11305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
30	20, 25	ltnled 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ 𝑁)
32	31	intnand 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁))
33	32	intnand 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
34		elfz2 13442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
35	33, 34	sylnibr 329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
36	18, 35	ssneldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
37	36	iffalsed 4492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) = 1)
38		fzssuz 13493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
39	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		uzss 12786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
42	41, 2	sseqtrrdi 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
43	38, 42	sstrid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ 𝑍)
44	43	sselda 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
45		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	37, 45	eqeltrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
47		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
48		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
49		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
50		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘1
51	48, 49, 50	nfif 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1)
52		eleq1w 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
53		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
54	52, 53	ifbieq1d 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
55		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
56	47, 51, 54, 55	fvmptf 6971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
57	44, 46, 56	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
58		elfzuz 13448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
60		1ex 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
61	60	fvconst2 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
63	37, 57, 62	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
64	16, 63	seqfveq 13961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
65	8	prodf1 15826	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
66	65	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
67	64, 66	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
68	8, 12, 14, 15, 67	climconst 15478	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
69		neeq1 2995	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
70		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
71	69, 70	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
72	60, 71	spcev 3562	. . 3 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
73	7, 68, 72	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
74		seqeq1 13939	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))))
75	74	breq1d 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
76	75	anbi2d 631	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
77	76	exbidv 1923	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
78	77	rspcev 3578	. 2 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
79	6, 73, 78	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  fprodss  15883