Theorem fprodntriv 15908

Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodntriv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fprodntriv.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodntriv.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fprodntriv	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝑦,𝑛,𝑁   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntriv

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodntriv.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
2		fprodntriv.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	1, 2	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		peano2uz 12860	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	5, 2	eleqtrrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7		ax-1ne0 11137	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
9		eluzelz 12803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9, 2	eleq2s 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	1, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13		seqex 13968	. . . . 5 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15		1cnd 11169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
17		fprodntriv.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
19	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	19	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
22	21	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23		elfzelz 13485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
25	24	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
26	20	ltp1d 12113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27		elfzle1 13488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
29	20, 22, 25, 26, 28	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
30	20, 25	ltnled 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ 𝑁))
31	29, 30	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ 𝑁)
32	31	intnand 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁))
33	32	intnand 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
34		elfz2 13475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ 𝑁)))
35	33, 34	sylnibr 329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
36	18, 35	ssneldd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
37	36	iffalsed 4499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) = 1)
38		fzssuz 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
39	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
40		uzss 12816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
42	41, 2	sseqtrrdi 3988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
43	38, 42	sstrid 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ 𝑍)
44	43	sselda 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
45		ax-1cn 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
46	37, 45	eqeltrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
47		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
48		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
49		nfcsb1v 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
50		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘1
51	48, 49, 50	nfif 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1)
52		eleq1w 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
53		csbeq1a 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
54	52, 53	ifbieq1d 4513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
55		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
56	47, 51, 54, 55	fvmptf 6989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝑍 ∧ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
57	44, 46, 56	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 1))
58		elfzuz 13481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
59	58	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
60		1ex 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
61	60	fvconst2 7178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
62	59, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
63	37, 57, 62	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
64	16, 63	seqfveq 13991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
65	8	prodf1 15857	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
66	65	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ≥‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
67	64, 66	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
68	8, 12, 14, 15, 67	climconst 15509	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
69		neeq1 2987	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
70		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
71	69, 70	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
72	60, 71	spcev 3572	. . 3 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
73	7, 68, 72	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
74		seqeq1 13969	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))))
75	74	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
76	75	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
77	76	exbidv 1921	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
78	77	rspcev 3588	. 2 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
79	6, 73, 78	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  ⦋csb 3862   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  seqcseq 13966   ⇝ cli 15450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454

This theorem is referenced by:  fprodss  15914