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Theorem fprodntriv 15349
 Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fprodntriv.2 (𝜑𝑁𝑍)
fprodntriv.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fprodntriv (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝑦,𝑛,𝑁   𝑘,𝑍,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem fprodntriv
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
31, 2eleqtrdi 2862 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 peano2uz 12346 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
65, 2eleqtrrdi 2863 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
7 ax-1ne0 10649 . . 3 1 ≠ 0
8 eqid 2758 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
9 eluzelz 12297 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
109, 2eleq2s 2870 . . . . . 6 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
111, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1211peano2zd 12134 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
13 seqex 13425 . . . . 5 seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ∈ V)
15 1cnd 10679 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
16 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
1911ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2019zred 12131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2119peano2zd 12134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2221zred 12131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
23 elfzelz 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
2423adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
2524zred 12131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
2620ltp1d 11613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
27 elfzle1 12964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑚)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 10843 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑁 < 𝑚)
3020, 25ltnled 10830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (𝑁 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑁))
3129, 30mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝑁)
3231intnand 492 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ (𝑀𝑚𝑚𝑁))
3332intnand 492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
34 elfz2 12951 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑚𝑚𝑁)))
3533, 34sylnibr 332 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁))
3618, 35ssneldd 3897 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
3736iffalsed 4434 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
38 fzssuz 13002 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ (ℤ‘(𝑁 + 1))
395adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
40 uzss 12310 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ𝑀))
4241, 2sseqtrrdi 3945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ 𝑍)
4338, 42sstrid 3905 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)...𝑛) ⊆ 𝑍)
4443sselda 3894 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚𝑍)
45 ax-1cn 10638 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
4637, 45eqeltrdi 2860 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
47 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
48 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑚𝐴
49 nfcsb1v 3831 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
50 nfcv 2919 . . . . . . . . . 10 𝑘1
5148, 49, 50nfif 4453 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1)
52 eleq1w 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
53 csbeq1a 3821 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
5452, 53ifbieq1d 4447 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
55 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)) = (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
5647, 51, 54, 55fvmptf 6784 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑍 ∧ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
5744, 46, 56syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 1))
58 elfzuz 12957 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
5958adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
60 1ex 10680 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
6160fvconst2 6962 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6259, 61syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚) = 1)
6337, 57, 623eqtr4d 2803 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑁 + 1)...𝑛)) → ((𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))‘𝑚) = (((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1})‘𝑚))
6416, 63seqfveq 13449 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛))
658prodf1 15300 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
6665adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , ((ℤ‘(𝑁 + 1)) × {1}))‘𝑛) = 1)
6764, 66eqtrd 2793 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))‘𝑛) = 1)
688, 12, 14, 15, 67climconst 14953 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)
69 neeq1 3013 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
70 breq2 5039 . . . . 5 (𝑦 = 1 → (seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1))
7169, 70anbi12d 633 . . . 4 (𝑦 = 1 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1)))
7260, 71spcev 3527 . . 3 ((1 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 1) → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
737, 68, 72sylancr 590 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
74 seqeq1 13426 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) = seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))))
7574breq1d 5045 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦 ↔ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
7675anbi2d 631 . . . 4 (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
7776exbidv 1922 . . 3 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)))
7877rspcev 3543 . 2 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq(𝑁 + 1)( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
796, 73, 78syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘𝑍 ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  Vcvv 3409  ⦋csb 3807   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719  ℤcz 12025  ℤ≥cuz 12287  ...cfz 12944  seqcseq 13423   ⇝ cli 14894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-fz 12945  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898 This theorem is referenced by:  fprodss  15355
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