MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodntriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodntriv 15892
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodntriv.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodntriv.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
Assertion
Ref Expression
fprodntriv (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘ฆ,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodntriv
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
31, 2eleqtrdi 2837 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 peano2uz 12889 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
65, 2eleqtrrdi 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
7 ax-1ne0 11181 . . 3 1 โ‰  0
8 eqid 2726 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))
9 eluzelz 12836 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109, 2eleq2s 2845 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
111, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1211peano2zd 12673 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
13 seqex 13974 . . . . 5 seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V)
15 1cnd 11213 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1911ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2019zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2119peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2221zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
23 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2524zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
2620ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
27 elfzle1 13510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < ๐‘š)
3020, 25ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ < ๐‘š โ†” ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3129, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘)
3231intnand 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3332intnand 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
34 elfz2 13497 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
3533, 34sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3618, 35ssneldd 3980 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ ๐ด)
3736iffalsed 4534 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = 1)
38 fzssuz 13548 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ + 1)...๐‘›) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))
395adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
40 uzss 12849 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4241, 2sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ ๐‘)
4338, 42sstrid 3988 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โІ ๐‘)
4443sselda 3977 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘)
45 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
4637, 45eqeltrdi 2835 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
47 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘š
48 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘š โˆˆ ๐ด
49 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต
50 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜1
5148, 49, 50nfif 4553 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
52 eleq1w 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘š โˆˆ ๐ด))
53 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5452, 53ifbieq1d 4547 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
55 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
5647, 51, 54, 55fvmptf 7013 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆง if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
5744, 46, 56syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
58 elfzuz 13503 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
5958adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
60 1ex 11214 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
6160fvconst2 7201 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
6259, 61syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
6337, 57, 623eqtr4d 2776 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š))
6416, 63seqfveq 13997 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›))
658prodf1 15843 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
6665adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
6764, 66eqtrd 2766 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = 1)
688, 12, 14, 15, 67climconst 15493 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)
69 neeq1 2997 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0))
70 breq2 5145 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1))
7169, 70anbi12d 630 . . . 4 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (1 โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)))
7260, 71spcev 3590 . . 3 ((1 โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
737, 68, 72sylancr 586 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
74 seqeq1 13975 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
7574breq1d 5151 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
7675anbi2d 628 . . . 4 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
7776exbidv 1916 . . 3 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
7877rspcev 3606 . 2 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
796, 73, 78syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888   โІ wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  fprodss  15898
  Copyright terms: Public domain W3C validator