MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodntriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodntriv 15916
Description: A non-triviality lemma for finite sequences. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodntriv.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodntriv.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodntriv.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
Assertion
Ref Expression
fprodntriv (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐ต,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘ฆ,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodntriv
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodntriv.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
2 fprodntriv.1 . . . . 5 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
31, 2eleqtrdi 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 peano2uz 12913 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
53, 4syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
65, 2eleqtrrdi 2836 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘)
7 ax-1ne0 11205 . . 3 1 โ‰  0
8 eqid 2725 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))
9 eluzelz 12860 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
109, 2eleq2s 2843 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
111, 10syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1211peano2zd 12697 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
13 seqex 13998 . . . . 5 seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โˆˆ V)
15 1cnd 11237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
16 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
17 fprodntriv.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐ด โІ (๐‘€...๐‘))
1911ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2019zred 12694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2119peano2zd 12697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
2221zred 12694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
23 elfzelz 13531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2423adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
2524zred 12694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
2620ltp1d 12172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
27 elfzle1 13534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ + 1) โ‰ค ๐‘š)
2920, 22, 25, 26, 28ltletrd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘ < ๐‘š)
3020, 25ltnled 11389 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (๐‘ < ๐‘š โ†” ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3129, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โ‰ค ๐‘)
3231intnand 487 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘))
3332intnand 487 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
34 elfz2 13521 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†” ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰ค ๐‘š โˆง ๐‘š โ‰ค ๐‘)))
3533, 34sylnibr 328 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘))
3618, 35ssneldd 3975 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ยฌ ๐‘š โˆˆ ๐ด)
3736iffalsed 4535 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = 1)
38 fzssuz 13572 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ + 1)...๐‘›) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))
395adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
40 uzss 12873 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4241, 2sseqtrrdi 4024 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โІ ๐‘)
4338, 42sstrid 3984 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โІ ๐‘)
4443sselda 3972 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐‘)
45 ax-1cn 11194 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
4637, 45eqeltrdi 2833 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
47 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜๐‘š
48 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘š โˆˆ ๐ด
49 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต
50 nfcv 2892 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜1
5148, 49, 50nfif 4554 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
52 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘š โˆˆ ๐ด))
53 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5452, 53ifbieq1d 4548 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
55 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
5647, 51, 54, 55fvmptf 7020 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ ๐‘ โˆง if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
5744, 46, 56syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = if(๐‘š โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
58 elfzuz 13527 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
5958adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)))
60 1ex 11238 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ V
6160fvconst2 7211 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
6259, 61syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š) = 1)
6337, 57, 623eqtr4d 2775 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โˆง ๐‘š โˆˆ ((๐‘ + 1)...๐‘›)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))โ€˜๐‘š) = (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1})โ€˜๐‘š))
6416, 63seqfveq 14021 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›))
658prodf1 15867 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
6665adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1)) ร— {1}))โ€˜๐‘›) = 1)
6764, 66eqtrd 2765 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)))โ€˜๐‘›) = 1)
688, 12, 14, 15, 67climconst 15517 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)
69 neeq1 2993 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” 1 โ‰  0))
70 breq2 5147 . . . . 5 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1))
7169, 70anbi12d 630 . . . 4 (๐‘ฆ = 1 โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (1 โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1)))
7260, 71spcev 3586 . . 3 ((1 โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
737, 68, 72sylancr 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
74 seqeq1 13999 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))))
7574breq1d 5153 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
7675anbi2d 628 . . . 4 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
7776exbidv 1916 . . 3 (๐‘› = (๐‘ + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)))
7877rspcev 3602 . 2 (((๐‘ + 1) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq(๐‘ + 1)( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
796, 73, 78syl2anc 582 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  โฆ‹csb 3885   โІ wss 3940  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141   < clt 11276   โ‰ค cle 11277  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  ...cfz 13514  seqcseq 13996   โ‡ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  fprodss  15922
  Copyright terms: Public domain W3C validator