MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2a 15691
Description: Lemma for summo 15693. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
summolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
summolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
summolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
summolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
summolem2a (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐵,𝑓,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2 summo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 summolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 summolem2.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
5 fzfid 13968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 summolem2.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
75, 6hasheqf1od 14342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
8 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 nnnn0 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 14335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
127, 11eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1312oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
14 isoeq4 7323 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
164, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
17 isof1o 7326 . . . . . . 7 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
19 f1of 6833 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
21 nnuz 12893 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
228, 21eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
23 eluzfz2 13539 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2520, 24ffvelcdmd 7089 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
263, 25sseldd 3973 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
273sselda 3972 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
28 f1ocnvfv2 7281 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
2918, 28sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
30 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
31 f1of 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3332ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁))
34 elfzle2 13535 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3616adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
37 fzssuz 13572 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
38 uzssz 12871 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
39 zssre 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4038, 39sstri 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4137, 40sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
42 ressxr 11286 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4341, 42sstri 3982 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
453adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
46 uzssz 12871 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4746, 39sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4845, 47sstrdi 3985 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4948, 42sstrdi 3985 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5024adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
51 leisorel 14451 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5236, 44, 49, 33, 50, 51syl122anc 1376 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5335, 52mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁))
5429, 53eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ≤ (𝐾𝑁))
55 eluzelz 12860 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
5627, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12860 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5826, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5958adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
60 eluz 12864 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6156, 59, 60syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6254, 61mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛))
63 elfzuzb 13525 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛)))
6427, 62, 63sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6564ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6665ssrdv 3978 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
671, 2, 26, 66fsumcvg 15688 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
68 addlid 11425 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (0 + 𝑚) = 𝑚)
6968adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (0 + 𝑚) = 𝑚)
70 addrid 11422 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
7170adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
72 addcl 11218 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
74 0cnd 11235 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7524, 13eleqtrrd 2828 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
76 iftrue 4530 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
7776adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
7877, 2eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
7978ex 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
80 iffalse 4533 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
81 0cn 11234 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
8280, 81eqeltrdi 2833 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8379, 82pm2.61d1 180 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8483adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8584, 1fmptd 7118 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
86 elfzelz 13531 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
87 ffvelcdm 7085 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
8885, 86, 87syl2an 594 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
89 fveqeq2 6900 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
90 eldifi 4119 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
9190elfzelzd 13532 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
92 eldifn 4120 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
9392, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
9493, 81eqeltrdi 2833 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
951fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
9691, 94, 95syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
9796, 93eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
9889, 97vtoclga 3556 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
9998adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 0)
100 isof1o 7326 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
101 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1024, 100, 1013syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
103102ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
104103iftrued 4532 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
1053adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
106105, 103sseldd 3973 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
107 eluzelz 12860 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
108106, 107syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
109 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
110 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
111 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
112 nfcv 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
113110, 111, 112nfif 4554 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0)
114113nfel1 2909 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
115109, 114nfim 1891 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
116 fvex 6904 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
117 eleq1 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
118 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
119117, 118ifbieq1d 4548 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
120119eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
121120imbi2d 339 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)))
122115, 116, 121, 83vtoclf 3542 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
123122adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
124 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
125 csbeq1 3888 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
126124, 125ifbieq1d 4548 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
127 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
128 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
129 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
130128, 129, 112nfif 4554 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
131 eleq1 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
132 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
133131, 132ifbieq1d 4548 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
134127, 130, 133cbvmpt 5254 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
1351, 134eqtri 2753 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
136126, 135fvmptg 6997 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
137108, 123, 136syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
138 elfznn 13560 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
139104, 123eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
140 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑥))
141140csbeq1d 3889 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
142 summolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
143141, 142fvmptg 6997 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
144138, 139, 143syl2an2 684 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
145104, 137, 1443eqtr4rd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
14669, 71, 73, 74, 4, 75, 3, 88, 99, 145seqcoll 14455 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
147 summo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
1488, 8jca 510 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1491, 2, 147, 142, 148, 6, 18summolem3 15690 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
150146, 149eqtr4d 2768 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
15167, 150breqtrd 5169 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  csb 3885  cdif 3937  wss 3940  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ccnv 5671  wf 6538  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  cc 11134  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  *cxr 11275   < clt 11276  cle 11277  cn 12240  0cn0 12500  cz 12586  cuz 12850  ...cfz 13514  seqcseq 13996  chash 14319  cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  summolem2  15692  zsum  15694
  Copyright terms: Public domain W3C validator