MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2a 15600
Description: Lemma for summo 15602. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
summolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
summolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
summolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
summolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
summolem2a (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐵,𝑓,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2 summo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 summolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 summolem2.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
5 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 summolem2.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
75, 6hasheqf1od 14253 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘𝐴))
8 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
127, 11eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑁)
1312oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁))
14 isoeq4 7265 . . . . . . . . 9 ((1...(♯‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
164, 15mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
17 isof1o 7268 . . . . . . 7 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
19 f1of 6784 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
21 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
228, 21eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
23 eluzfz2 13449 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
2520, 24ffvelcdmd 7036 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
263, 25sseldd 3945 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
273sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
28 f1ocnvfv2 7223 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
2918, 28sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
30 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
31 f1of 6784 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
3332ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁))
34 elfzle2 13445 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
3616adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
37 fzssuz 13482 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
38 uzssz 12784 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
39 zssre 12506 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4038, 39sstri 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4137, 40sstri 3953 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
42 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
4341, 42sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
453adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
46 uzssz 12784 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
4746, 39sstri 3953 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4845, 47sstrdi 3956 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4948, 42sstrdi 3956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5024adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
51 leisorel 14359 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5236, 44, 49, 33, 50, 51syl122anc 1379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
5335, 52mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁))
5429, 53eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ≤ (𝐾𝑁))
55 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
5627, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
57 eluzelz 12773 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5826, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
60 eluz 12777 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6156, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6254, 61mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛))
63 elfzuzb 13435 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛)))
6427, 62, 63sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
6564ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
6665ssrdv 3950 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
671, 2, 26, 66fsumcvg 15597 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
68 addid2 11338 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (0 + 𝑚) = 𝑚)
6968adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (0 + 𝑚) = 𝑚)
70 addid1 11335 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
7170adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
72 addcl 11133 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
7372adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
74 0cnd 11148 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7524, 13eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(♯‘𝐴)))
76 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
7776adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
7877, 2eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
7978ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
80 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
81 0cn 11147 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
8280, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8379, 82pm2.61d1 180 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8483adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8584, 1fmptd 7062 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
86 elfzelz 13441 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
87 ffvelcdm 7032 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
8885, 86, 87syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
89 fveqeq2 6851 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
90 eldifi 4086 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))))
9190elfzelzd 13442 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
92 eldifn 4087 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
9392, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
9493, 81eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
951fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
9691, 94, 95syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
9796, 93eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
9889, 97vtoclga 3534 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
9998adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(♯‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 0)
100 isof1o 7268 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
101 f1of 6784 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1024, 100, 1013syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
103102ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
104103iftrued 4494 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
1053adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
106105, 103sseldd 3945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
107 eluzelz 12773 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
108106, 107syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
109 nfv 1917 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
110 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
111 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
112 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
113110, 111, 112nfif 4516 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0)
114113nfel1 2923 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
115109, 114nfim 1899 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
116 fvex 6855 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
117 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
118 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
119117, 118ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
120119eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
121120imbi2d 340 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)))
122115, 116, 121, 83vtoclf 3516 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
123122adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
124 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
125 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
126124, 125ifbieq1d 4510 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
127 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
128 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
129 nfcsb1v 3880 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
130128, 129, 112nfif 4516 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
131 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
132 csbeq1a 3869 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
133131, 132ifbieq1d 4510 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
134127, 130, 133cbvmpt 5216 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
1351, 134eqtri 2764 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
136126, 135fvmptg 6946 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
137108, 123, 136syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
138 elfznn 13470 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
139104, 123eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
140 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑥))
141140csbeq1d 3859 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
142 summolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
143141, 142fvmptg 6946 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
144138, 139, 143syl2an2 684 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
145104, 137, 1443eqtr4rd 2787 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
14669, 71, 73, 74, 4, 75, 3, 88, 99, 145seqcoll 14363 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
147 summo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
1488, 8jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1491, 2, 147, 142, 148, 6, 18summolem3 15599 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
150146, 149eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
15167, 150breqtrd 5131 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  csb 3855  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  chash 14230  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  summolem2  15601  zsum  15603
  Copyright terms: Public domain W3C validator