Theorem 2prm 16406

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12361	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12153	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12668	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4444	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13306	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		df-ss 3905	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13338	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2769	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3347	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16397	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 708	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065   ∩ cin 3887   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  1c1 10881   < clt 11018   − cmin 11214  2c2 12037  ℤcz 12328  ℤ_≥cuz 12591  ...cfz 13248   ∥ cdvds 15972  ℙcprime 16385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-dvds 15973  df-prm 16386

This theorem is referenced by:  2mulprm  16407  ge2nprmge4  16415  isoddgcd1  16444  3lcm2e6  16445  pythagtriplem4  16529  pc2dvds  16589  oddprmdvds  16613  prmo2  16750  prmgaplem3  16763  lt6abl  19505  2logb9irr  25954  2logb3irr  25956  ppi2  26328  cht2  26330  1sgm2ppw  26357  perfectlem1  26386  perfectlem2  26387  perfect  26388  bpos1  26440  lgs2  26471  lgsdir2  26487  lgseisenlem2  26533  lgsquad2lem1  26541  lgsquad2lem2  26542  lgsquad3  26544  m1lgs  26545  2lgs  26564  2lgsoddprm  26573  dchrisum0flb  26667  numclwwlk5lem  28760  hgt750lemd  32637  12gcd5e1  40018  fltne  40488  flt4lem5a  40496  flt4lem5b  40497  flt4lem5c  40498  flt4lem5d  40499  flt4lem5e  40500  goldbachthlem2  45009  odz2prm2pw  45026  fmtnoprmfac1  45028  fmtnoprmfac2  45030  lighneallem2  45069  lighneallem3  45070  lighneallem4  45073  proththd  45077  isodd7  45128  gcd2odd1  45131  perfectALTV  45186  7gbow  45235  sbgoldbalt  45244  sgoldbeven3prm  45246  sbgoldbo  45250  nnsum3primes4  45251  nnsum3primesle9  45257  zlmodzxznm  45849