Theorem 2prm 16775

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12644	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12431	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12961	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4464	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13612	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3926	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13644	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3324	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16766	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1c1 11119   < clt 11261   − cmin 11459  2c2 12313  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-prm 16755

This theorem is used by:  2mulprm  16776  ge2nprmge4  16785  isoddgcd1  16815  3lcm2e6  16816  pythagtriplem4  16904  pc2dvds  16964  oddprmdvds  16988  prmo2  17125  prmgaplem3  17138  lt6abl  19996  2logb9irr  26997  2logb3irr  26999  ppi2  27371  cht2  27373  1sgm2ppw  27401  perfectlem1  27430  perfectlem2  27431  perfect  27432  bpos1  27484  lgs2  27515  lgsdir2  27531  lgseisenlem2  27577  lgsquad2lem1  27585  lgsquad2lem2  27586  lgsquad3  27588  m1lgs  27589  2lgs  27608  2lgsoddprm  27617  dchrisum0flb  27711  numclwwlk5lem  30775  constrext2chnlem  34171  2sqr3minply  34201  2sqr3nconstr  34202  cos9thpinconstrlem2  34211  hgt750lemd  35066  12gcd5e1  42810  fltne  43416  flt4lem5a  43424  flt4lem5b  43425  flt4lem5c  43426  flt4lem5d  43427  flt4lem5e  43428  goldbachthlem2  48338  odz2prm2pw  48355  fmtnoprmfac1  48357  fmtnoprmfac2  48359  lighneallem2  48398  lighneallem3  48399  lighneallem4  48402  proththd  48406  ppivalnnnprm  48420  isodd7  48470  gcd2odd1  48473  perfectALTV  48528  7gbow  48577  sbgoldbalt  48586  sgoldbeven3prm  48588  sbgoldbo  48592  nnsum3primes4  48593  nnsum3primesle9  48599  zlmodzxznm  49317