Theorem 2prm 16634

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12599	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12388	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12908	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4512	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13547	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		df-ss 3965	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13579	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3322	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16625	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 708	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11115   < clt 11253   − cmin 11449  2c2 12272  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489   ∥ cdvds 16202  ℙcprime 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-prm 16614

This theorem is referenced by:  2mulprm  16635  ge2nprmge4  16643  isoddgcd1  16672  3lcm2e6  16673  pythagtriplem4  16757  pc2dvds  16817  oddprmdvds  16841  prmo2  16978  prmgaplem3  16991  lt6abl  19805  2logb9irr  26537  2logb3irr  26539  ppi2  26911  cht2  26913  1sgm2ppw  26940  perfectlem1  26969  perfectlem2  26970  perfect  26971  bpos1  27023  lgs2  27054  lgsdir2  27070  lgseisenlem2  27116  lgsquad2lem1  27124  lgsquad2lem2  27125  lgsquad3  27127  m1lgs  27128  2lgs  27147  2lgsoddprm  27156  dchrisum0flb  27250  numclwwlk5lem  29908  hgt750lemd  33959  12gcd5e1  41175  fltne  41689  flt4lem5a  41697  flt4lem5b  41698  flt4lem5c  41699  flt4lem5d  41700  flt4lem5e  41701  goldbachthlem2  46513  odz2prm2pw  46530  fmtnoprmfac1  46532  fmtnoprmfac2  46534  lighneallem2  46573  lighneallem3  46574  lighneallem4  46577  proththd  46581  isodd7  46632  gcd2odd1  46635  perfectALTV  46690  7gbow  46739  sbgoldbalt  46748  sgoldbeven3prm  46750  sbgoldbo  46754  nnsum3primes4  46755  nnsum3primesle9  46761  zlmodzxznm  47266