Theorem 2prm 16847

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12709	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12496	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 13027	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4454	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13679	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3917	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13711	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3318	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16838	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182   < clt 11324   − cmin 11522  2c2 12378  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-prm 16827

This theorem is used by:  2mulprm  16848  ge2nprmge4  16857  isoddgcd1  16887  3lcm2e6  16888  pythagtriplem4  16977  pc2dvds  17037  oddprmdvds  17061  prmo2  17198  prmgaplem3  17211  lt6abl  20089  2logb9irr  27105  2logb3irr  27107  ppi2  27479  cht2  27481  1sgm2ppw  27509  perfectlem1  27538  perfectlem2  27539  perfect  27540  bpos1  27592  lgs2  27623  lgsdir2  27639  lgseisenlem2  27685  lgsquad2lem1  27693  lgsquad2lem2  27694  lgsquad3  27696  m1lgs  27697  2lgs  27716  2lgsoddprm  27725  dchrisum0flb  27819  fltne  27957  flt4lem5a  27964  flt4lem5b  27965  flt4lem5c  27966  flt4lem5d  27967  flt4lem5e  27968  numclwwlk5lem  30970  constrext2chnlem  34364  2sqr3minply  34394  2sqr3nconstr  34395  cos9thpinconstrlem2  34404  hgt750lemd  35260  12gcd5e1  43021  goldbachthlem2  48575  odz2prm2pw  48592  fmtnoprmfac1  48594  fmtnoprmfac2  48596  lighneallem2  48635  lighneallem3  48636  lighneallem4  48639  proththd  48643  ppivalnnnprm  48657  isodd7  48707  gcd2odd1  48710  perfectALTV  48765  7gbow  48814  sbgoldbalt  48823  sgoldbeven3prm  48825  sbgoldbo  48829  nnsum3primes4  48830  nnsum3primesle9  48836  zlmodzxznm  49553