Theorem 2prm 16628

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12593	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12382	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12902	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4512	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13541	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		df-ss 3965	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13573	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3323	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16619	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 709	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   < clt 11247   − cmin 11443  2c2 12266  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483   ∥ cdvds 16196  ℙcprime 16607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-prm 16608

This theorem is referenced by:  2mulprm  16629  ge2nprmge4  16637  isoddgcd1  16666  3lcm2e6  16667  pythagtriplem4  16751  pc2dvds  16811  oddprmdvds  16835  prmo2  16972  prmgaplem3  16985  lt6abl  19762  2logb9irr  26297  2logb3irr  26299  ppi2  26671  cht2  26673  1sgm2ppw  26700  perfectlem1  26729  perfectlem2  26730  perfect  26731  bpos1  26783  lgs2  26814  lgsdir2  26830  lgseisenlem2  26876  lgsquad2lem1  26884  lgsquad2lem2  26885  lgsquad3  26887  m1lgs  26888  2lgs  26907  2lgsoddprm  26916  dchrisum0flb  27010  numclwwlk5lem  29637  hgt750lemd  33655  12gcd5e1  40863  fltne  41387  flt4lem5a  41395  flt4lem5b  41396  flt4lem5c  41397  flt4lem5d  41398  flt4lem5e  41399  goldbachthlem2  46204  odz2prm2pw  46221  fmtnoprmfac1  46223  fmtnoprmfac2  46225  lighneallem2  46264  lighneallem3  46265  lighneallem4  46268  proththd  46272  isodd7  46323  gcd2odd1  46326  perfectALTV  46381  7gbow  46430  sbgoldbalt  46439  sgoldbeven3prm  46441  sbgoldbo  46445  nnsum3primes4  46446  nnsum3primesle9  46452  zlmodzxznm  47168