Theorem 2prm 16872

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12731	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12518	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 13049	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4453	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13702	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 4094	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13734	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3317	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16863	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204   < clt 11346   − cmin 11544  2c2 12400  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642   ∥ cdvds 16427  ℙcprime 16851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-prm 16852

This theorem is used by:  2mulprm  16873  ge2nprmge4  16882  isoddgcd1  16912  3lcm2e6  16913  pythagtriplem4  17002  pc2dvds  17062  oddprmdvds  17086  prmo2  17223  prmgaplem3  17236  lt6abl  20114  2logb9irr  27128  2logb3irr  27130  ppi2  27502  cht2  27504  1sgm2ppw  27532  perfectlem1  27561  perfectlem2  27562  perfect  27563  bpos1  27615  lgs2  27646  lgsdir2  27662  lgseisenlem2  27708  lgsquad2lem1  27716  lgsquad2lem2  27717  lgsquad3  27719  m1lgs  27720  2lgs  27739  2lgsoddprm  27748  dchrisum0flb  27842  fltne  27980  flt4lem2  27982  flt4lem5a  27987  flt4lem5b  27988  flt4lem5c  27989  flt4lem5d  27990  flt4lem5e  27991  numclwwlk5lem  30993  constrext2chnlem  34428  2sqr3minply  34458  2sqr3nconstr  34459  cos9thpinconstrlem2  34468  hgt750lemd  35323  12gcd5e1  43146  goldbachthlem2  48724  odz2prm2pw  48741  fmtnoprmfac1  48743  fmtnoprmfac2  48745  lighneallem2  48784  lighneallem3  48785  lighneallem4  48788  proththd  48792  ppivalnnnprm  48806  isodd7  48856  gcd2odd1  48859  perfectALTV  48914  7gbow  48963  sbgoldbalt  48972  sgoldbeven3prm  48974  sbgoldbo  48978  nnsum3primes4  48979  nnsum3primesle9  48985  zlmodzxznm  49702