Theorem 2prm 16629

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12594	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12383	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12903	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 710	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4513	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13542	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		df-ss 3966	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13574	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2763	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3324	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16620	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 710	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   < clt 11248   − cmin 11444  2c2 12267  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  2mulprm  16630  ge2nprmge4  16638  isoddgcd1  16667  3lcm2e6  16668  pythagtriplem4  16752  pc2dvds  16812  oddprmdvds  16836  prmo2  16973  prmgaplem3  16986  lt6abl  19763  2logb9irr  26300  2logb3irr  26302  ppi2  26674  cht2  26676  1sgm2ppw  26703  perfectlem1  26732  perfectlem2  26733  perfect  26734  bpos1  26786  lgs2  26817  lgsdir2  26833  lgseisenlem2  26879  lgsquad2lem1  26887  lgsquad2lem2  26888  lgsquad3  26890  m1lgs  26891  2lgs  26910  2lgsoddprm  26919  dchrisum0flb  27013  numclwwlk5lem  29640  hgt750lemd  33660  12gcd5e1  40868  fltne  41386  flt4lem5a  41394  flt4lem5b  41395  flt4lem5c  41396  flt4lem5d  41397  flt4lem5e  41398  goldbachthlem2  46214  odz2prm2pw  46231  fmtnoprmfac1  46233  fmtnoprmfac2  46235  lighneallem2  46274  lighneallem3  46275  lighneallem4  46278  proththd  46282  isodd7  46333  gcd2odd1  46336  perfectALTV  46391  7gbow  46440  sbgoldbalt  46449  sgoldbeven3prm  46451  sbgoldbo  46455  nnsum3primes4  46456  nnsum3primesle9  46462  zlmodzxznm  47178