MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2prm 16028
Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
2prm 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm
StepHypRef Expression
1 2z 12006 . . 3 2 ∈ ℤ
2 1lt2 11800 . . 3 1 < 2
3 eluz2b1 12311 . . 3 (2 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
41, 2, 3mpbir2an 707 . 2 2 ∈ (ℤ‘2)
5 ral0 4458 . . 3 𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6 fzssuz 12941 . . . . . 6 (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2)
7 df-ss 3955 . . . . . 6 ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1)))
86, 7mpbi 231 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = (2...(2 − 1))
9 uzdisj 12973 . . . . 5 ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ‘2)) = ∅
108, 9eqtr3i 2850 . . . 4 (2...(2 − 1)) = ∅
1110raleqi 3418 . . 3 (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
125, 11mpbir 232 . 2 𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13 isprm3 16019 . 2 (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
144, 12, 13mpbir2an 707 1 2 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  cin 3938  wss 3939  c0 4294   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  1c1 10530   < clt 10667  cmin 10862  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885  cdvds 15599  cprime 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-dvds 15600  df-prm 16008
This theorem is referenced by:  2mulprm  16029  ge2nprmge4  16037  isoddgcd1  16063  3lcm2e6  16064  pythagtriplem4  16148  pc2dvds  16207  oddprmdvds  16231  prmo2  16368  prmgaplem3  16381  lt6abl  18937  2logb9irr  25288  2logb3irr  25290  ppi2  25663  cht2  25665  1sgm2ppw  25692  perfectlem1  25721  perfectlem2  25722  perfect  25723  bpos1  25775  lgs2  25806  lgsdir2  25822  lgseisenlem2  25868  lgsquad2lem1  25876  lgsquad2lem2  25877  lgsquad3  25879  m1lgs  25880  2lgs  25899  2lgsoddprm  25908  dchrisum0flb  26002  numclwwlk5lem  28082  hgt750lemd  31807  fltne  39139  goldbachthlem2  43542  odz2prm2pw  43559  fmtnoprmfac1  43561  fmtnoprmfac2  43563  lighneallem2  43605  lighneallem3  43606  lighneallem4  43609  proththd  43613  isodd7  43664  gcd2odd1  43667  perfectALTV  43722  7gbow  43771  sbgoldbalt  43780  sgoldbeven3prm  43782  sbgoldbo  43786  nnsum3primes4  43787  nnsum3primesle9  43793  zlmodzxznm  44386
  Copyright terms: Public domain W3C validator