Theorem 2prm 16788

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12654	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12441	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12972	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4457	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13624	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3920	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13656	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2787	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3319	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16779	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129   < clt 11271   − cmin 11469  2c2 12323  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-prm 16768

This theorem is used by:  2mulprm  16789  ge2nprmge4  16798  isoddgcd1  16828  3lcm2e6  16829  pythagtriplem4  16917  pc2dvds  16977  oddprmdvds  17001  prmo2  17138  prmgaplem3  17151  lt6abl  20028  2logb9irr  27040  2logb3irr  27042  ppi2  27414  cht2  27416  1sgm2ppw  27444  perfectlem1  27473  perfectlem2  27474  perfect  27475  bpos1  27527  lgs2  27558  lgsdir2  27574  lgseisenlem2  27620  lgsquad2lem1  27628  lgsquad2lem2  27629  lgsquad3  27631  m1lgs  27632  2lgs  27651  2lgsoddprm  27660  dchrisum0flb  27754  numclwwlk5lem  30875  constrext2chnlem  34268  2sqr3minply  34298  2sqr3nconstr  34299  cos9thpinconstrlem2  34308  hgt750lemd  35164  12gcd5e1  42877  fltne  43498  flt4lem5a  43506  flt4lem5b  43507  flt4lem5c  43508  flt4lem5d  43509  flt4lem5e  43510  goldbachthlem2  48457  odz2prm2pw  48474  fmtnoprmfac1  48476  fmtnoprmfac2  48478  lighneallem2  48517  lighneallem3  48518  lighneallem4  48521  proththd  48525  ppivalnnnprm  48539  isodd7  48589  gcd2odd1  48592  perfectALTV  48647  7gbow  48696  sbgoldbalt  48705  sgoldbeven3prm  48707  sbgoldbo  48711  nnsum3primes4  48712  nnsum3primesle9  48718  zlmodzxznm  49435