Theorem 2prm 16659

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12557	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12345	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12867	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 717	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4433	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13517	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3908	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 231	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13549	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2765	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3296	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 232	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16650	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 717	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   < clt 11177   − cmin 11375  2c2 12234  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  2mulprm  16660  ge2nprmge4  16669  isoddgcd1  16699  3lcm2e6  16700  pythagtriplem4  16788  pc2dvds  16848  oddprmdvds  16872  prmo2  17009  prmgaplem3  17022  lt6abl  19868  2logb9irr  26784  2logb3irr  26786  ppi2  27158  cht2  27160  1sgm2ppw  27188  perfectlem1  27217  perfectlem2  27218  perfect  27219  bpos1  27271  lgs2  27302  lgsdir2  27318  lgseisenlem2  27364  lgsquad2lem1  27372  lgsquad2lem2  27373  lgsquad3  27375  m1lgs  27376  2lgs  27395  2lgsoddprm  27404  dchrisum0flb  27498  numclwwlk5lem  30482  constrext2chnlem  33941  2sqr3minply  33971  2sqr3nconstr  33972  cos9thpinconstrlem2  33981  hgt750lemd  34839  12gcd5e1  42495  fltne  43101  flt4lem5a  43109  flt4lem5b  43110  flt4lem5c  43111  flt4lem5d  43112  flt4lem5e  43113  goldbachthlem2  48031  odz2prm2pw  48048  fmtnoprmfac1  48050  fmtnoprmfac2  48052  lighneallem2  48091  lighneallem3  48092  lighneallem4  48095  proththd  48099  ppivalnnnprm  48113  isodd7  48163  gcd2odd1  48166  perfectALTV  48221  7gbow  48270  sbgoldbalt  48279  sgoldbeven3prm  48281  sbgoldbo  48285  nnsum3primes4  48286  nnsum3primesle9  48292  zlmodzxznm  48995