Theorem 2prm 16740

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12617	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12404	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12934	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4455	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13584	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3925	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13616	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16731	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 723	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1c1 11089   < clt 11231   − cmin 11429  2c2 12286  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-prm 16720

This theorem is referenced by:  2mulprm  16741  ge2nprmge4  16750  isoddgcd1  16780  3lcm2e6  16781  pythagtriplem4  16869  pc2dvds  16929  oddprmdvds  16953  prmo2  17090  prmgaplem3  17103  lt6abl  19956  2logb9irr  26918  2logb3irr  26920  ppi2  27292  cht2  27294  1sgm2ppw  27322  perfectlem1  27351  perfectlem2  27352  perfect  27353  bpos1  27405  lgs2  27436  lgsdir2  27452  lgseisenlem2  27498  lgsquad2lem1  27506  lgsquad2lem2  27507  lgsquad3  27509  m1lgs  27510  2lgs  27529  2lgsoddprm  27538  dchrisum0flb  27632  numclwwlk5lem  30647  constrext2chnlem  34057  2sqr3minply  34087  2sqr3nconstr  34088  cos9thpinconstrlem2  34097  hgt750lemd  34952  12gcd5e1  42632  fltne  43238  flt4lem5a  43246  flt4lem5b  43247  flt4lem5c  43248  flt4lem5d  43249  flt4lem5e  43250  goldbachthlem2  48153  odz2prm2pw  48170  fmtnoprmfac1  48172  fmtnoprmfac2  48174  lighneallem2  48213  lighneallem3  48214  lighneallem4  48217  proththd  48221  ppivalnnnprm  48235  isodd7  48285  gcd2odd1  48288  perfectALTV  48343  7gbow  48392  sbgoldbalt  48401  sgoldbeven3prm  48403  sbgoldbo  48407  nnsum3primes4  48408  nnsum3primesle9  48414  zlmodzxznm  49128