Theorem 2prm 16619

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12523	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12311	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12832	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4451	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13481	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3919	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13513	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3294	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16610	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   < clt 11166   − cmin 11364  2c2 12200  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  2mulprm  16620  ge2nprmge4  16628  isoddgcd1  16658  3lcm2e6  16659  pythagtriplem4  16747  pc2dvds  16807  oddprmdvds  16831  prmo2  16968  prmgaplem3  16981  lt6abl  19824  2logb9irr  26761  2logb3irr  26763  ppi2  27136  cht2  27138  1sgm2ppw  27167  perfectlem1  27196  perfectlem2  27197  perfect  27198  bpos1  27250  lgs2  27281  lgsdir2  27297  lgseisenlem2  27343  lgsquad2lem1  27351  lgsquad2lem2  27352  lgsquad3  27354  m1lgs  27355  2lgs  27374  2lgsoddprm  27383  dchrisum0flb  27477  numclwwlk5lem  30462  constrext2chnlem  33907  2sqr3minply  33937  2sqr3nconstr  33938  cos9thpinconstrlem2  33947  hgt750lemd  34805  12gcd5e1  42253  fltne  42883  flt4lem5a  42891  flt4lem5b  42892  flt4lem5c  42893  flt4lem5d  42894  flt4lem5e  42895  goldbachthlem2  47788  odz2prm2pw  47805  fmtnoprmfac1  47807  fmtnoprmfac2  47809  lighneallem2  47848  lighneallem3  47849  lighneallem4  47852  proththd  47856  isodd7  47907  gcd2odd1  47910  perfectALTV  47965  7gbow  48014  sbgoldbalt  48023  sgoldbeven3prm  48025  sbgoldbo  48029  nnsum3primes4  48030  nnsum3primesle9  48036  zlmodzxznm  48739