Theorem 2prm 16751

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12627	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12414	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12944	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4460	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13595	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3924	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13627	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16742	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 723	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1c1 11102   < clt 11244   − cmin 11442  2c2 12296  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536   ∥ cdvds 16311  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  2mulprm  16752  ge2nprmge4  16761  isoddgcd1  16791  3lcm2e6  16792  pythagtriplem4  16880  pc2dvds  16940  oddprmdvds  16964  prmo2  17101  prmgaplem3  17114  lt6abl  19966  2logb9irr  26938  2logb3irr  26940  ppi2  27312  cht2  27314  1sgm2ppw  27342  perfectlem1  27371  perfectlem2  27372  perfect  27373  bpos1  27425  lgs2  27456  lgsdir2  27472  lgseisenlem2  27518  lgsquad2lem1  27526  lgsquad2lem2  27527  lgsquad3  27529  m1lgs  27530  2lgs  27549  2lgsoddprm  27558  dchrisum0flb  27652  numclwwlk5lem  30716  constrext2chnlem  34118  2sqr3minply  34148  2sqr3nconstr  34149  cos9thpinconstrlem2  34158  hgt750lemd  35013  12gcd5e1  42748  fltne  43356  flt4lem5a  43364  flt4lem5b  43365  flt4lem5c  43366  flt4lem5d  43367  flt4lem5e  43368  goldbachthlem2  48275  odz2prm2pw  48292  fmtnoprmfac1  48294  fmtnoprmfac2  48296  lighneallem2  48335  lighneallem3  48336  lighneallem4  48339  proththd  48343  ppivalnnnprm  48357  isodd7  48407  gcd2odd1  48410  perfectALTV  48465  7gbow  48514  sbgoldbalt  48523  sgoldbeven3prm  48525  sbgoldbo  48529  nnsum3primes4  48530  nnsum3primesle9  48536  zlmodzxznm  49254