Theorem 2prm 16896

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12755	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12542	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 13073	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4457	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13726	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 4097	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13758	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3321	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 234	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16887	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 724	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228   < clt 11370   − cmin 11568  2c2 12424  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-prm 16876

This theorem is used by:  2mulprm  16897  ge2nprmge4  16906  isoddgcd1  16936  3lcm2e6  16937  pythagtriplem4  17026  pc2dvds  17086  oddprmdvds  17110  prmo2  17247  prmgaplem3  17260  lt6abl  20139  2logb9irr  27153  2logb3irr  27155  ppi2  27527  cht2  27529  1sgm2ppw  27557  perfectlem1  27586  perfectlem2  27587  perfect  27588  bpos1  27640  lgs2  27671  lgsdir2  27687  lgseisenlem2  27733  lgsquad2lem1  27741  lgsquad2lem2  27742  lgsquad3  27744  m1lgs  27745  2lgs  27764  2lgsoddprm  27773  dchrisum0flb  27867  fltne  28005  flt4lem2  28007  flt4lem5a  28012  flt4lem5b  28013  flt4lem5c  28014  flt4lem5d  28015  flt4lem5e  28016  numclwwlk5lem  31018  constrext2chnlem  34452  2sqr3minply  34482  2sqr3nconstr  34483  cos9thpinconstrlem2  34492  hgt750lemd  35347  12gcd5e1  43245  goldbachthlem2  48836  odz2prm2pw  48853  fmtnoprmfac1  48855  fmtnoprmfac2  48857  lighneallem2  48896  lighneallem3  48897  lighneallem4  48900  proththd  48904  ppivalnnnprm  48918  isodd7  48968  gcd2odd1  48971  perfectALTV  49026  7gbow  49075  sbgoldbalt  49084  sgoldbeven3prm  49086  sbgoldbo  49090  nnsum3primes4  49091  nnsum3primesle9  49097  zlmodzxznm  49814