Theorem 2prm 16661

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12559	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12347	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12869	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4438	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13519	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3907	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13551	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3293	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16652	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 712	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  2mulprm  16662  ge2nprmge4  16671  isoddgcd1  16701  3lcm2e6  16702  pythagtriplem4  16790  pc2dvds  16850  oddprmdvds  16874  prmo2  17011  prmgaplem3  17024  lt6abl  19870  2logb9irr  26759  2logb3irr  26761  ppi2  27133  cht2  27135  1sgm2ppw  27163  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  bpos1  27246  lgs2  27277  lgsdir2  27293  lgseisenlem2  27339  lgsquad2lem1  27347  lgsquad2lem2  27348  lgsquad3  27350  m1lgs  27351  2lgs  27370  2lgsoddprm  27379  dchrisum0flb  27473  numclwwlk5lem  30457  constrext2chnlem  33894  2sqr3minply  33924  2sqr3nconstr  33925  cos9thpinconstrlem2  33934  hgt750lemd  34792  12gcd5e1  42442  fltne  43077  flt4lem5a  43085  flt4lem5b  43086  flt4lem5c  43087  flt4lem5d  43088  flt4lem5e  43089  goldbachthlem2  48009  odz2prm2pw  48026  fmtnoprmfac1  48028  fmtnoprmfac2  48030  lighneallem2  48069  lighneallem3  48070  lighneallem4  48073  proththd  48077  ppivalnnnprm  48091  isodd7  48141  gcd2odd1  48144  perfectALTV  48199  7gbow  48248  sbgoldbalt  48257  sgoldbeven3prm  48259  sbgoldbo  48263  nnsum3primes4  48264  nnsum3primesle9  48270  zlmodzxznm  48973