Theorem 2prm 16709

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12600	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12387	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12917	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 721	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4451	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13567	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3922	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13599	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2786	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3317	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 233	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16700	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 721	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071   < clt 11213   − cmin 11411  2c2 12269  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  2mulprm  16710  ge2nprmge4  16719  isoddgcd1  16749  3lcm2e6  16750  pythagtriplem4  16838  pc2dvds  16898  oddprmdvds  16922  prmo2  17059  prmgaplem3  17072  lt6abl  19918  2logb9irr  26837  2logb3irr  26839  ppi2  27211  cht2  27213  1sgm2ppw  27241  perfectlem1  27270  perfectlem2  27271  perfect  27272  bpos1  27324  lgs2  27355  lgsdir2  27371  lgseisenlem2  27417  lgsquad2lem1  27425  lgsquad2lem2  27426  lgsquad3  27428  m1lgs  27429  2lgs  27448  2lgsoddprm  27457  dchrisum0flb  27551  numclwwlk5lem  30535  constrext2chnlem  34008  2sqr3minply  34038  2sqr3nconstr  34039  cos9thpinconstrlem2  34048  hgt750lemd  34906  12gcd5e1  42584  fltne  43190  flt4lem5a  43198  flt4lem5b  43199  flt4lem5c  43200  flt4lem5d  43201  flt4lem5e  43202  goldbachthlem2  48119  odz2prm2pw  48136  fmtnoprmfac1  48138  fmtnoprmfac2  48140  lighneallem2  48179  lighneallem3  48180  lighneallem4  48183  proththd  48187  ppivalnnnprm  48201  isodd7  48251  gcd2odd1  48254  perfectALTV  48309  7gbow  48358  sbgoldbalt  48367  sgoldbeven3prm  48369  sbgoldbo  48373  nnsum3primes4  48374  nnsum3primesle9  48380  zlmodzxznm  49083