Theorem 2prm 16605

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12510	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 12298	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12819	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4462	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 13467	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		dfss2 3916	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 13499	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3291	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16596	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1c1 11014   < clt 11153   − cmin 11351  2c2 12187  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ...cfz 13409   ∥ cdvds 16165  ℙcprime 16584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-prm 16585

This theorem is referenced by:  2mulprm  16606  ge2nprmge4  16614  isoddgcd1  16644  3lcm2e6  16645  pythagtriplem4  16733  pc2dvds  16793  oddprmdvds  16817  prmo2  16954  prmgaplem3  16967  lt6abl  19809  2logb9irr  26733  2logb3irr  26735  ppi2  27108  cht2  27110  1sgm2ppw  27139  perfectlem1  27168  perfectlem2  27169  perfect  27170  bpos1  27222  lgs2  27253  lgsdir2  27269  lgseisenlem2  27315  lgsquad2lem1  27323  lgsquad2lem2  27324  lgsquad3  27326  m1lgs  27327  2lgs  27346  2lgsoddprm  27355  dchrisum0flb  27449  numclwwlk5lem  30369  constrext2chnlem  33784  2sqr3minply  33814  2sqr3nconstr  33815  cos9thpinconstrlem2  33824  hgt750lemd  34682  12gcd5e1  42116  fltne  42762  flt4lem5a  42770  flt4lem5b  42771  flt4lem5c  42772  flt4lem5d  42773  flt4lem5e  42774  goldbachthlem2  47670  odz2prm2pw  47687  fmtnoprmfac1  47689  fmtnoprmfac2  47691  lighneallem2  47730  lighneallem3  47731  lighneallem4  47734  proththd  47738  isodd7  47789  gcd2odd1  47792  perfectALTV  47847  7gbow  47896  sbgoldbalt  47905  sgoldbeven3prm  47907  sbgoldbo  47911  nnsum3primes4  47912  nnsum3primesle9  47918  zlmodzxznm  48622