Theorem 2prm 16030

Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
2prm	⊢ 2 ∈ ℙ

Proof of Theorem 2prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12008	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		1lt2 11802	. . 3 ⊢ 1 < 2
3		eluz2b1 12313	. . 3 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
5		ral0 4455	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2
6		fzssuz 12942	. . . . . 6 ⊢ (2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
7		df-ss 3951	. . . . . 6 ⊢ ((2...(2 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2) ↔ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1)))
8	6, 7	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = (2...(2 − 1))
9		uzdisj 12974	. . . . 5 ⊢ ((2...(2 − 1)) ∩ (ℤ≥‘2)) = ∅
10	8, 9	eqtr3i 2846	. . . 4 ⊢ (2...(2 − 1)) = ∅
11	10	raleqi 3413	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ ¬ 𝑧 ∥ 2)
12	5, 11	mpbir 233	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2
13		isprm3 16021	. 2 ⊢ (2 ∈ ℙ ↔ (2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(2 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 2))
14	4, 12, 13	mpbir2an 709	1 ⊢ 2 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   < clt 10669   − cmin 10864  2c2 11686  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-prm 16010

This theorem is referenced by:  2mulprm  16031  ge2nprmge4  16039  isoddgcd1  16065  3lcm2e6  16066  pythagtriplem4  16150  pc2dvds  16209  oddprmdvds  16233  prmo2  16370  prmgaplem3  16383  lt6abl  19009  2logb9irr  25367  2logb3irr  25369  ppi2  25741  cht2  25743  1sgm2ppw  25770  perfectlem1  25799  perfectlem2  25800  perfect  25801  bpos1  25853  lgs2  25884  lgsdir2  25900  lgseisenlem2  25946  lgsquad2lem1  25954  lgsquad2lem2  25955  lgsquad3  25957  m1lgs  25958  2lgs  25977  2lgsoddprm  25986  dchrisum0flb  26080  numclwwlk5lem  28160  hgt750lemd  31914  fltne  39265  goldbachthlem2  43702  odz2prm2pw  43719  fmtnoprmfac1  43721  fmtnoprmfac2  43723  lighneallem2  43765  lighneallem3  43766  lighneallem4  43769  proththd  43773  isodd7  43824  gcd2odd1  43827  perfectALTV  43882  7gbow  43931  sbgoldbalt  43940  sgoldbeven3prm  43942  sbgoldbo  43946  nnsum3primes4  43947  nnsum3primesle9  43953  zlmodzxznm  44546