Theorem ho0val 31734

Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho0val	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem ho0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choc1 31311	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ
2	1	fveq2i 6833	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = (projℎ‘0ℋ)
3		df-h0op 31732	. . . . 5 ⊢ 0hop = (projℎ‘0ℋ)
4	2, 3	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = 0hop
5	4	fveq1i 6831	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = ( 0hop ‘𝐴)
6		helch 31227	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7		pjo 31655	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
8	6, 7	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
9	5, 8	eqtr3id 2782	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
10	6	pjhcli 31402	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ)
11		hvsubid 31010	. . 3 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
13	9, 12	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ℋchba 30903  0_ℎc0v 30908   −_ℎ cmv 30909   C_ℋ cch 30913  ⊥cort 30914  0_ℋc0h 30919  proj_ℎcpjh 30921   0_hop ch0o 30927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cc 10335  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094  ax-mulf 11095  ax-hilex 30983  ax-hfvadd 30984  ax-hvcom 30985  ax-hvass 30986  ax-hv0cl 30987  ax-hvaddid 30988  ax-hfvmul 30989  ax-hvmulid 30990  ax-hvmulass 30991  ax-hvdistr1 30992  ax-hvdistr2 30993  ax-hvmul0 30994  ax-hfi 31063  ax-his1 31066  ax-his2 31067  ax-his3 31068  ax-his4 31069  ax-hcompl 31186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-oadd 8397  df-omul 8398  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-acn 9844  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-lm 23147  df-haus 23233  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cfil 25185  df-cau 25186  df-cmet 25187  df-grpo 30477  df-gid 30478  df-ginv 30479  df-gdiv 30480  df-ablo 30529  df-vc 30543  df-nv 30576  df-va 30579  df-ba 30580  df-sm 30581  df-0v 30582  df-vs 30583  df-nmcv 30584  df-ims 30585  df-dip 30685  df-ssp 30706  df-ph 30797  df-cbn 30847  df-hnorm 30952  df-hba 30953  df-hvsub 30955  df-hlim 30956  df-hcau 30957  df-sh 31191  df-ch 31205  df-oc 31236  df-ch0 31237  df-shs 31292  df-pjh 31379  df-h0op 31732

This theorem is referenced by:  df0op2  31736  hoaddridi  31770  ho0coi  31772  0cnop  31963  0hmop  31967  nmop0  31970  adj0  31978  nmlnop0iALT  31979  lnopco0i  31988  lnopeq0i  31991  nmopcoi  32079  leop3  32109  leoprf2  32111  leoprf  32112  idleop  32115  pjorthcoi  32153