Theorem ho0val 31686

Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ho0val	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem ho0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choc1 31263	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘ ℋ) = 0ℋ
2	1	fveq2i 6868	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = (projℎ‘0ℋ)
3		df-h0op 31684	. . . . 5 ⊢ 0hop = (projℎ‘0ℋ)
4	2, 3	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (projℎ‘(⊥‘ ℋ)) = 0hop
5	4	fveq1i 6866	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = ( 0hop ‘𝐴)
6		helch 31179	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
7		pjo 31607	. . . 4 ⊢ (( ℋ ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
8	6, 7	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘(⊥‘ ℋ))‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
9	5, 8	eqtr3id 2779	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)))
10	6	pjhcli 31354	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ)
11		hvsubid 30962	. . 3 ⊢ (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘ ℋ)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘ ℋ)‘𝐴)) = 0ℎ)
13	9, 12	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ℋchba 30855  0_ℎc0v 30860   −_ℎ cmv 30861   C_ℋ cch 30865  ⊥cort 30866  0_ℋc0h 30871  proj_ℎcpjh 30873   0_hop ch0o 30879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cc 10406  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164  ax-addf 11165  ax-mulf 11166  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-fi 9380  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-card 9910  df-acn 9913  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-xneg 13085  df-xadd 13086  df-xmul 13087  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-fl 13766  df-seq 13977  df-exp 14037  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17391  df-topn 17392  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-topgen 17412  df-pt 17413  df-prds 17416  df-xrs 17471  df-qtop 17476  df-imas 17477  df-xps 17479  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-mulg 19006  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-psmet 21262  df-xmet 21263  df-met 21264  df-bl 21265  df-mopn 21266  df-fbas 21267  df-fg 21268  df-cnfld 21271  df-top 22787  df-topon 22804  df-topsp 22826  df-bases 22839  df-cld 22912  df-ntr 22913  df-cls 22914  df-nei 22991  df-cn 23120  df-cnp 23121  df-lm 23122  df-haus 23208  df-tx 23455  df-hmeo 23648  df-fil 23739  df-fm 23831  df-flim 23832  df-flf 23833  df-xms 24214  df-ms 24215  df-tms 24216  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244  df-pjh 31331  df-h0op 31684

This theorem is referenced by:  df0op2  31688  hoaddridi  31722  ho0coi  31724  0cnop  31915  0hmop  31919  nmop0  31922  adj0  31930  nmlnop0iALT  31931  lnopco0i  31940  lnopeq0i  31943  nmopcoi  32031  leop3  32061  leoprf2  32063  leoprf  32064  idleop  32067  pjorthcoi  32105