Theorem itg1add 25737

Description: The integral of a sum of simple functions is the sum of the integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Assertion

Ref	Expression
itg1add	⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1add

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1fadd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		i1fadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((◡𝐹 “ {𝑖}) ∩ (◡𝐺 “ {𝑗}))))) = (𝑖 ∈ ℝ, 𝑗 ∈ ℝ ↦ if((𝑖 = 0 ∧ 𝑗 = 0), 0, (vol‘((◡𝐹 “ {𝑖}) ∩ (◡𝐺 “ {𝑗})))))
4		eqid 2736	. 2 ⊢ ( + ↾ (ran 𝐹 × ran 𝐺)) = ( + ↾ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
5	1, 2, 3, 4	itg1addlem5 25736	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949  ifcif 4524  {csn 4625   × cxp 5682  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685   ↾ cres 5686   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∈ cmpo 7434   ∘_f cof 7696  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159  volcvol 25499  ∫₁citg1 25651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656

This theorem is referenced by:  itg1sub  25745  itg2splitlem  25784  itg2split  25785  itg2addlem  25794  itg2addnclem3  37681  itg2addnc  37682