Theorem gg-iimulcn 35158

Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gg-iimulcn	⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gg-iimulcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	dfii3 24391	. . . . 5 ⊢ II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
3	1	cnfldtopon 24291	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		unitsscn 13474	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℂ)
7	1	mpomulcn 35151	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
9	2, 4, 6, 2, 4, 6, 8	cnmpt2res 23173	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
10	9	mptru 1549	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
11		iimulcl 24445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
12	11	rgen2 3198	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
13		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦))
14	13	fmpo 8051	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
15		frn 6722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
16	14, 15	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
17	12, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1)
18		cnrest2 22782	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
19	3, 17, 5, 18	mp3an 1462	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
20	10, 19	mpbi 229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
21	2	oveq2i 7417	. 2 ⊢ ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
22	20, 21	eleqtrri 2833	1 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3948   × cxp 5674  ran crn 5677  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  [,]cicc 13324   ↾_t crest 17363  TopOpenctopn 17364  ℂ_fldccnfld 20937  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   ×_t ctx 23056  IIcii 24383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-ii 24385

This theorem is referenced by: (None)