Theorem imsub 14282

Description: Imaginary part distributes over subtraction. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10622	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		imadd 14281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)))
3	1, 2	sylan2 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)))
4		imneg 14280	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
5	4	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
6	5	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘-𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)))
7	3, 6	eqtrd 2813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)))
8		negsub 10671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	8	fveq2d 6450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + -𝐵)) = (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
10		imcl 14258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 14258	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		negsub 10671	. . 3 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + -(ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
16	7, 9, 15	3eqtr3d 2821	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275   − cmin 10606  -cneg 10607  ℑcim 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248

This theorem is referenced by:  imsubd  14364  imcn2  14740  caucvgr  14814  tanregt0  24723  logneg2  24798  logcnlem4  24828  atancj  25088  atanlogaddlem  25091  atanlogsublem  25093