Theorem imadd 14662

Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 14638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	recnd 10826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-icn 10753	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		imcl 14639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 10778	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		recl 14638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10826	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
13		imcl 14639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 10778	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	4, 15, 16	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	3, 9, 12, 17	add4d 11025	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
19		replim 14644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20		replim 14644	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
21	19, 20	oveqan12d 7210	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
22	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
23	22, 7, 15	adddid 10822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24	23	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))))
26	25	fveq2d 6699	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))))
27		readdcl 10777	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
28	1, 10, 27	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
29		readdcl 10777	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
30	5, 13, 29	syl2an 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
31		crim 14643	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
32	28, 30, 31	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
33	26, 32	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693  ici 10696   + caddc 10697   · cmul 10699  ℜcre 14625  ℑcim 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-2 11858  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629

This theorem is referenced by:  imsub  14663  cjadd  14669  imaddi  14713  imaddd  14743  fsumim  15336  gzaddcl  16453  logrnaddcl  25417  logimul  25456  atancj  25747  atanlogaddlem  25750  atanlogsublem  25752