Theorem imadd 15100

Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Proof of Theorem imadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
4		ax-icn 11127	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
5		imcl 15077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 11152	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	4, 7, 8	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		recl 15076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
13		imcl 15077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
16		mulcl 11152	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
17	4, 15, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
18	3, 9, 12, 17	add4d 11403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
19		replim 15082	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
20		replim 15082	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
21	19, 20	oveqan12d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) + ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
22	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
23	22, 7, 15	adddid 11198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵))))
24	23	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))))
26	25	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))))
27		readdcl 11151	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
28	1, 10, 27	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
29		readdcl 11151	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
30	5, 13, 29	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
31		crim 15081	. . 3 ⊢ ((((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐵)) + (i · ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵))))) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
33	26, 32	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073  ℜcre 15063  ℑcim 15064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by:  imsub  15101  cjadd  15107  imaddi  15151  imaddd  15181  fsumim  15775  gzaddcl  16908  logrnaddcl  26483  logimul  26523  atancj  26820  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825