Theorem caucvgr 15583

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caucvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)))
3	1	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
4	3	replimd 15104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))))
5	4	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
6	2, 5	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
7		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
8		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
9		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11		caucvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
12		ref 15019	. . . . 5 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13		resub 15034	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗))))
14	13	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))))
15		subcl 11359	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
16		absrele 15215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
18	14, 17	eqbrtrrd 5115	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
19	9, 1, 10, 11, 12, 18	caucvgrlem2 15582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20		ax-icn 11065	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
21	20	elexi 3459	. . . . . 6 ⊢ i ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → i ∈ V)
23		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
24		rlimconst 15451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
25	9, 20, 24	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26		imf 15020	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
27		imsub 15042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗))))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))))
29		absimle 15216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
30	15, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
31	28, 30	eqbrtrrd 5115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
32	9, 1, 10, 11, 26, 31	caucvgrlem2 15582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
33	22, 23, 25, 32	rlimmul 15552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
34	7, 8, 19, 33	rlimadd 15550	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
35	6, 34	eqbrtrd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36		rlimrel 15400	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
37	36	releldmi 5888	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
38	35, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℝ⁺crp 12890  ℜcre 15004  ℑcim 15005  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  caucvg  15586  dvfsumrlim  25966