MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgr 15566
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
caucvgr.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
caucvgr.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caucvgr (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐴   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem caucvgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
21feqmptd 6911 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘›)))
31ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
43replimd 15088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›)))))
54mpteq2dva 5206 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›))))))
62, 5eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›))))))
7 fvexd 6858 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ V)
8 ovexd 7393 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ∈ V)
9 caucvgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
10 caucvgr.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11 caucvgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
12 ref 15003 . . . . 5 β„œ:β„‚βŸΆβ„
13 resub 15018 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) = ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘—))))
1413fveq2d 6847 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) = (absβ€˜((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘—)))))
15 subcl 11405 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
16 absrele 15199 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
1814, 17eqbrtrrd 5130 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
199, 1, 10, 11, 12, 18caucvgrlem2 15565 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„œ ∘ 𝐹)))
20 ax-icn 11115 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
2120elexi 3463 . . . . . 6 i ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ i ∈ V)
23 fvexd 6858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ V)
24 rlimconst 15432 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) β‡π‘Ÿ i)
259, 20, 24sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) β‡π‘Ÿ i)
26 imf 15004 . . . . . 6 β„‘:β„‚βŸΆβ„
27 imsub 15026 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) = ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘—))))
2827fveq2d 6847 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) = (absβ€˜((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘—)))))
29 absimle 15200 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
3128, 30eqbrtrrd 5130 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) βˆ’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘—)))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))))
329, 1, 10, 11, 26, 31caucvgrlem2 15565 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„‘ ∘ 𝐹)))
3322, 23, 25, 32rlimmul 15534 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β‡π‘Ÿ (i Β· ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„‘ ∘ 𝐹))))
347, 8, 19, 33rlimadd 15531 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘›)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘›))))) β‡π‘Ÿ (( β‡π‘Ÿ β€˜(β„œ ∘ 𝐹)) + (i Β· ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„‘ ∘ 𝐹)))))
356, 34eqbrtrd 5128 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (( β‡π‘Ÿ β€˜(β„œ ∘ 𝐹)) + (i Β· ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„‘ ∘ 𝐹)))))
36 rlimrel 15381 . . 3 Rel β‡π‘Ÿ
3736releldmi 5904 . 2 (𝐹 β‡π‘Ÿ (( β‡π‘Ÿ β€˜(β„œ ∘ 𝐹)) + (i Β· ( β‡π‘Ÿ β€˜(β„‘ ∘ 𝐹)))) β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
3835, 37syl 17 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„+crp 12920  β„œcre 14988  β„‘cim 14989  abscabs 15125   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  caucvg  15569  dvfsumrlim  25411
  Copyright terms: Public domain W3C validator