MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgr 15660
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caucvgr (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21feqmptd 6970 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)))
31ffvelcdmda 7097 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
43replimd 15182 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) = ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))))
54mpteq2dva 5250 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
62, 5eqtrd 2767 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
7 fvexd 6915 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
8 ovexd 7459 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))) ∈ V)
9 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11 caucvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
12 ref 15097 . . . . 5 ℜ:ℂ⟶ℝ
13 resub 15112 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗))))
1413fveq2d 6904 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))))
15 subcl 11495 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
16 absrele 15293 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1814, 17eqbrtrrd 5174 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
199, 1, 10, 11, 12, 18caucvgrlem2 15659 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20 ax-icn 11203 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2120elexi 3491 . . . . . 6 i ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → i ∈ V)
23 fvexd 6915 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
24 rlimconst 15526 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
259, 20, 24sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26 imf 15098 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
27 imsub 15120 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗))))
2827fveq2d 6904 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))))
29 absimle 15294 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3128, 30eqbrtrrd 5174 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
329, 1, 10, 11, 26, 31caucvgrlem2 15659 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
3322, 23, 25, 32rlimmul 15628 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
347, 8, 19, 33rlimadd 15625 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
356, 34eqbrtrd 5172 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36 rlimrel 15475 . . 3 Rel ⇝𝑟
3736releldmi 5952 . 2 (𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
3835, 37syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3057  wrex 3066  Vcvv 3471  wss 3947   class class class wbr 5150  cmpt 5233  dom cdm 5680  ccom 5684  wf 6547  cfv 6551  (class class class)co 7424  supcsup 9469  cc 11142  cr 11143  ici 11146   + caddc 11147   · cmul 11149  +∞cpnf 11281  *cxr 11283   < clt 11284  cle 11285  cmin 11480  +crp 13012  cre 15082  cim 15083  abscabs 15219  𝑟 crli 15467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-rlim 15471
This theorem is referenced by:  caucvg  15663  dvfsumrlim  25984
  Copyright terms: Public domain W3C validator