Theorem caucvgr 15613

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caucvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)))
3	1	ffvelcdmda 7040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
4	3	replimd 15134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))))
5	4	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
6	2, 5	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
7		fvexd 6859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
8		ovexd 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
9		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11		caucvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
12		ref 15049	. . . . 5 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13		resub 15064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗))))
14	13	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))))
15		subcl 11393	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
16		absrele 15245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
18	14, 17	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
19	9, 1, 10, 11, 12, 18	caucvgrlem2 15612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20		ax-icn 11099	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
21	20	elexi 3465	. . . . . 6 ⊢ i ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → i ∈ V)
23		fvexd 6859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
24		rlimconst 15481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
25	9, 20, 24	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26		imf 15050	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
27		imsub 15072	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗))))
28	27	fveq2d 6848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))))
29		absimle 15246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
30	15, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
31	28, 30	eqbrtrrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
32	9, 1, 10, 11, 26, 31	caucvgrlem2 15612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
33	22, 23, 25, 32	rlimmul 15582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
34	7, 8, 19, 33	rlimadd 15580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
35	6, 34	eqbrtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36		rlimrel 15430	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
37	36	releldmi 5907	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
38	35, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5634   ∘ ccom 5638  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  supcsup 9357  ℂcc 11038  ℝcr 11039  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045  +∞cpnf 11177  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℝ⁺crp 12919  ℜcre 15034  ℑcim 15035  abscabs 15171   ⇝_𝑟 crli 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-rlim 15426

This theorem is referenced by:  caucvg  15616  dvfsumrlim  26011