Theorem caucvgr 15629

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caucvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)))
3	1	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
4	3	replimd 15151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))))
5	4	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
6	2, 5	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
7		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
8		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
9		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11		caucvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
12		ref 15066	. . . . 5 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13		resub 15081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗))))
14	13	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))))
15		subcl 11466	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
16		absrele 15262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
18	14, 17	eqbrtrrd 5172	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
19	9, 1, 10, 11, 12, 18	caucvgrlem2 15628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20		ax-icn 11175	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
21	20	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ i ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → i ∈ V)
23		fvexd 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
24		rlimconst 15495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
25	9, 20, 24	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26		imf 15067	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
27		imsub 15089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗))))
28	27	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))))
29		absimle 15263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
30	15, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
31	28, 30	eqbrtrrd 5172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
32	9, 1, 10, 11, 26, 31	caucvgrlem2 15628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
33	22, 23, 25, 32	rlimmul 15597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
34	7, 8, 19, 33	rlimadd 15594	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
35	6, 34	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36		rlimrel 15444	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
37	36	releldmi 5947	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
38	35, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  ℂcc 11114  ℝcr 11115  ici 11118   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451  ℝ⁺crp 12981  ℜcre 15051  ℑcim 15052  abscabs 15188   ⇝_𝑟 crli 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-rlim 15440

This theorem is referenced by:  caucvg  15632  dvfsumrlim  25886