MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caucvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caucvgr 14790
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caucvgr (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
21feqmptd 6500 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)))
31ffvelrnda 6613 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
43replimd 14321 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐹𝑛) = ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))))
54mpteq2dva 4969 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (𝐹𝑛)) = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
62, 5eqtrd 2861 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))))
7 fvexd 6452 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
8 ovexd 6944 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))) ∈ V)
9 caucvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
10 caucvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11 caucvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
12 ref 14236 . . . . 5 ℜ:ℂ⟶ℝ
13 resub 14251 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗))))
1413fveq2d 6441 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))))
15 subcl 10607 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
16 absrele 14432 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
1814, 17eqbrtrrd 4899 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
199, 1, 10, 11, 12, 18caucvgrlem2 14789 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20 ax-icn 10318 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
2120elexi 3430 . . . . . 6 i ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → i ∈ V)
23 fvexd 6452 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ V)
24 rlimconst 14659 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
259, 20, 24sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26 imf 14237 . . . . . 6 ℑ:ℂ⟶ℝ
27 imsub 14259 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗))))
2827fveq2d 6441 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))))
29 absimle 14433 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
3128, 30eqbrtrrd 4899 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
329, 1, 10, 11, 26, 31caucvgrlem2 14789 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
3322, 23, 25, 32rlimmul 14759 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
347, 8, 19, 33rlimadd 14757 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
356, 34eqbrtrd 4897 . 2 (𝜑𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36 rlimrel 14608 . . 3 Rel ⇝𝑟
3736releldmi 5599 . 2 (𝐹𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
3835, 37syl 17 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  wss 3798   class class class wbr 4875  cmpt 4954  dom cdm 5346  ccom 5350  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  supcsup 8621  cc 10257  cr 10258  ici 10261   + caddc 10262   · cmul 10264  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  +crp 12119  cre 14221  cim 14222  abscabs 14358  𝑟 crli 14600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ico 12476  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-rlim 14604
This theorem is referenced by:  caucvg  14793  dvfsumrlim  24200
  Copyright terms: Public domain W3C validator