Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3lem 45033
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3lem.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre3lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3lem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3lem.1 . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
2 limsupre3lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 limsupre3lem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
41, 2, 3limsupre2 45026 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))))
5 simp2 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
7 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
8 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
98rexrd 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
103ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
12113adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
13 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))
149, 12, 13xrltled 13147 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
15143adant3l 1178 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
167, 15jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
17163exp 1117 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))))
186, 17reximdai 3253 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
1918ralimdv 3164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
20193impia 1115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
21 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2221anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2322rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2423ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2524rspcev 3607 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
265, 20, 25syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
27263exp 1117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))))
2827rexlimdv 3148 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
29 peano2rem 11543 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3029ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
31 nfv 1910 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
32 simp3l 1199 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
33 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3429rexrd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3633rexrd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
3710adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
38373adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3933ltm1d 12162 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) < π‘₯)
40 simp3r 1200 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
4135, 36, 38, 39, 40xrltletrd 13158 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))
4232, 41jca 511 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
43423exp 1117 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))))
4431, 43reximdai 3253 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4544ralimdv 3164 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4645imp 406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
47 breq1 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
4847anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4948rexbidv 3173 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
5049ralbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
5150rspcev 3607 . . . . . 6 (((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)))
5230, 46, 51syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)))
5352rexlimdva2 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))))
5428, 53impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
55 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5611adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
57 rexr 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
5857ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)
6056, 58, 59xrltled 13147 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)
6160ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
6261imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6362ralimdva 3162 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6463reximdv 3165 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6564imp 406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
66 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
6766imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6867ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6968rexbidv 3173 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
7069rspcev 3607 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7155, 65, 70syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7271rexlimdva2 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
73 peano2re 11403 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
7473ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
76 rexr 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7776ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7873rexrd 11280 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
7978ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
81 ltp1 12070 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
8281ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
8375, 77, 79, 80, 82xrlelttrd 13157 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))
8483ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
8584imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8685ralimdva 3162 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8786reximdv 3165 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8887imp 406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
89 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
9089imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9190ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9291rexbidv 3173 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9392rspcev 3607 . . . . . 6 (((π‘₯ + 1) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))
9474, 88, 93syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))
9594rexlimdva2 3152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)))
9672, 95impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9754, 96anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
984, 97bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  lim supclsp 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-ico 13348  df-limsup 15433
This theorem is referenced by:  limsupre3  45034
  Copyright terms: Public domain W3C validator