Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3lem 45747
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3lem.1 𝑗𝐹
limsupre3lem.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre3lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3lem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3lem.1 . . 3 𝑗𝐹
2 limsupre3lem.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre3lem.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41, 2, 3limsupre2 45740 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))))
5 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑦 ∈ ℝ)
6 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
7 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
8 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ∈ ℝ)
98rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
103ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
1110adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
12113adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
13 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 < (𝐹𝑗))
149, 12, 13xrltled 13192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴𝑦 < (𝐹𝑗)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
15143adant3l 1181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑗))
167, 15jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
17163exp 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))))
186, 17reximdai 3261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
1918ralimdv 3169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
20193impia 1118 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
21 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹𝑗)))
2221anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2322rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2423ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))))
2524rspcev 3622 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
265, 20, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
27263exp 1120 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))))
2827rexlimdv 3153 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
29 peano2rem 11576 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3029ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
31 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
32 simp3l 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑘𝑗)
33 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
3429rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) ∈ ℝ*)
3633rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3710adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
38373adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
3933ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) < 𝑥)
40 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → 𝑥 ≤ (𝐹𝑗))
4135, 36, 38, 39, 40xrltletrd 13203 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))
4232, 41jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴 ∧ (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
43423exp 1120 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑗𝐴 → ((𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))))
4431, 43reximdai 3261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4544ralimdv 3169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4645imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
47 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < (𝐹𝑗) ↔ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗)))
4847anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
4948rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
5049ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))))
5150rspcev 3622 . . . . . 6 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗 ∧ (𝑥 − 1) < (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)))
5230, 46, 51syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)))
5352rexlimdva2 3157 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗))))
5428, 53impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗))))
55 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5611adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
57 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
5857ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) < 𝑦)
6056, 58, 59xrltled 13192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)
6160ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) < 𝑦 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
6261imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6362ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6463reximdv 3170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6564imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
66 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑦))
6766imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6867ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
6968rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)))
7069rspcev 3622 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7155, 65, 70syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7271rexlimdva2 3157 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
73 peano2re 11434 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
7473ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
7537adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
76 rexr 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
7776ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7873rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
7978ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
81 ltp1 12107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8281ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < (𝑥 + 1))
8375, 77, 79, 80, 82xrlelttrd 13202 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))
8483ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
8584imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
8685ralimdva 3167 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
8786reximdv 3170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
8887imp 406 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
89 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑗) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1)))
9089imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9190ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9291rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))))
9392rspcev 3622 . . . . . 6 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < (𝑥 + 1))) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))
9474, 88, 93syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦))
9594rexlimdva2 3157 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)))
9672, 95impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9754, 96anbi12d 632 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑦 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
984, 97bitrd 279 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 ≤ (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  limsupre3  45748
  Copyright terms: Public domain W3C validator