Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre3lem 45179
Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is less than or equal to the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually greater than or equal to the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre3lem.1 Ⅎ𝑗𝐹
limsupre3lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupre3lem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
limsupre3lem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre3lem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupre3lem.1 . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
2 limsupre3lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3 limsupre3lem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
41, 2, 3limsupre2 45172 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))))
5 simp2 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
6 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
7 simp3l 1198 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
8 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
98rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
103ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
1110adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
12113adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
13 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))
149, 12, 13xrltled 13156 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
15143adant3l 1177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
167, 15jca 510 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
17163exp 1116 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))))
186, 17reximdai 3249 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
1918ralimdv 3159 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
20193impia 1114 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
21 breq1 5147 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
2221anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2322rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2423ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
2524rspcev 3603 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
265, 20, 25syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
27263exp 1116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))))
2827rexlimdv 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
29 peano2rem 11552 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3029ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
31 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
32 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
33 simp1r 1195 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3429rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3633rexrd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
3710adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
38373adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
3933ltm1d 12171 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) < π‘₯)
40 simp3r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))
4135, 36, 38, 39, 40xrltletrd 13167 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))
4232, 41jca 510 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
43423exp 1116 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑗 ∈ 𝐴 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))))
4431, 43reximdai 3249 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4544ralimdv 3159 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4645imp 405 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
47 breq1 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (𝑦 < (πΉβ€˜π‘—) ↔ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—)))
4847anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
4948rexbidv 3169 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
5049ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))))
5150rspcev 3603 . . . . . 6 (((π‘₯ βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) < (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)))
5230, 46, 51syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)))
5352rexlimdva2 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—))))
5428, 53impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—))))
55 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5611adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
57 rexr 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
5857ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
59 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)
6056, 58, 59xrltled 13156 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)
6160ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
6261imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6362ralimdva 3157 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6463reximdv 3160 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6564imp 405 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
66 breq2 5148 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦))
6766imbi2d 339 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6867ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
6968rexbidv 3169 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)))
7069rspcev 3603 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7155, 65, 70syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7271rexlimdva2 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
73 peano2re 11412 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
7473ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
7537adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
76 rexr 11285 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7776ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7873rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
7978ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ*)
80 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
81 ltp1 12079 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
8281ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + 1))
8375, 77, 79, 80, 82xrlelttrd 13166 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))
8483ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
8584imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8685ralimdva 3157 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8786reximdv 3160 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
8887imp 405 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
89 breq2 5148 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) < 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1)))
9089imbi2d 339 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9190ralbidv 3168 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9291rexbidv 3169 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ + 1) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))))
9392rspcev 3603 . . . . . 6 (((π‘₯ + 1) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < (π‘₯ + 1))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))
9474, 88, 93syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦))
9594rexlimdva2 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)))
9672, 95impbid 211 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9754, 96anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ 𝑦 < (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
984, 97bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 ∧ π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  lim supclsp 15441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-ico 13357  df-limsup 15442
This theorem is referenced by:  limsupre3  45180
  Copyright terms: Public domain W3C validator