MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem2 26777
Description: There are no odd primes in the range (2๐‘ / 3, ๐‘] dividing the ๐‘-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
bposlem2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
bposlem2.3 (๐œ‘ โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
bposlem2.4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ)
bposlem2.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
bposlem2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 bposlem2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
3 pcbcctr 26768 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
5 elfznn 13526 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
6 elnn1uz2 12905 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
75, 6sylib 217 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)))
8 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = (๐‘ƒโ†‘1))
9 prmnn 16607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1110nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1211exp1d 14102 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘1) = ๐‘ƒ)
138, 12sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) = ๐‘ƒ)
1413oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ))
1514fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ)))
16 2t1e2 12371 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยท 1) = 2
1711mullidd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค ๐‘)
1917, 18eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘)
20 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
211nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2210nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2310nngt0d 12257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
24 lemuldiv 12090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ โ†” 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค ๐‘ โ†” 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ)))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ))
2721, 10nndivred 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
28 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 โˆˆ โ„
29 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
30 2pos 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
3129, 30pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
32 lemul2 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ) โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ))))
3328, 31, 32mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ) โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ))))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ) โ†” (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ))))
3526, 34mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 1) โ‰ค (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)))
3616, 35eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)))
37 2cnd 12286 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
381nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3910nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
4037, 38, 11, 39divassd 12021 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) = (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)))
4136, 40breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ))
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ)
43 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„•
44 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
4543, 1, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
4645nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
47 3re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„
48 3pos 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4947, 48pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)
50 ltdiv23 12101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < 3))
5149, 50mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < 3))
5246, 22, 23, 51syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < 3))
5342, 52mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < 3)
54 df-3 12272 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
5553, 54breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < (2 + 1))
5646, 10nndivred 12262 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
57 2z 12590 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„ค
58 flbi 13777 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ)) = 2 โ†” (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) โˆง ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < (2 + 1))))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ)) = 2 โ†” (2 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) โˆง ((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ) < (2 + 1))))
6041, 55, 59mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ)) = 2)
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / ๐‘ƒ)) = 2)
6215, 61eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 2)
6313oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) = (๐‘ / ๐‘ƒ))
6463fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ƒ)))
65 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
6629, 27, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) โˆˆ โ„)
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
68 4re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 โˆˆ โ„
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
7040, 53eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < 3)
71 3lt4 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 3 < 4)
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < 4)
74 2t2e4 12372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท 2) = 4
7573, 74breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < (2 ยท 2))
76 ltmul2 12061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ƒ) < 2 โ†” (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < (2 ยท 2)))
7729, 31, 76mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ / ๐‘ƒ) < 2 โ†” (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < (2 ยท 2)))
7827, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / ๐‘ƒ) < 2 โ†” (2 ยท (๐‘ / ๐‘ƒ)) < (2 ยท 2)))
7975, 78mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘ƒ) < 2)
80 df-2 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
8179, 80breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘ƒ) < (1 + 1))
82 1z 12588 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„ค
83 flbi 13777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ / ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ƒ)) = 1 โ†” (1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ / ๐‘ƒ) < (1 + 1))))
8427, 82, 83sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ƒ)) = 1 โ†” (1 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ / ๐‘ƒ) < (1 + 1))))
8526, 81, 84mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ƒ)) = 1)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ƒ)) = 1)
8764, 86eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 1)
8887oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท 1))
8988, 16eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = 2)
9062, 89oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = (2 โˆ’ 2))
91 2cn 12283 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
9291subidi 11527 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 2) = 0
9390, 92eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
9445nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
9594adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
96 eluzge2nn0 12867 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
97 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9810, 96, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9998nnrpd 13010 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
10095, 99rpdivcld 13029 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
101100rpge0d 13016 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
10246adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
103 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„) โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
10447, 22, 103sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
10698nnred 12223 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
107 ltdivmul 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” (2 ยท ๐‘) < (3 ยท ๐‘ƒ)))
10849, 107mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” (2 ยท ๐‘) < (3 ยท ๐‘ƒ)))
10946, 22, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) / 3) < ๐‘ƒ โ†” (2 ยท ๐‘) < (3 ยท ๐‘ƒ)))
11042, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) < (3 ยท ๐‘ƒ))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท ๐‘) < (3 ยท ๐‘ƒ))
11222, 22remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
114 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
115 nnltp1le 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 < ๐‘ƒ โ†” (2 + 1) โ‰ค ๐‘ƒ))
11643, 10, 115sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (2 < ๐‘ƒ โ†” (2 + 1) โ‰ค ๐‘ƒ))
117114, 116mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 + 1) โ‰ค ๐‘ƒ)
11854, 117eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘ƒ)
119 lemul1 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (3 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
12047, 119mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (3 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
12122, 22, 23, 120syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (3 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ)))
122118, 121mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
12411sqvald 14104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
12622adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
12710nnge1d 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ƒ)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ƒ)
129 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
130126, 128, 129leexp2ad 14213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
131125, 130eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
132105, 113, 106, 123, 131letrd 11367 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (3 ยท ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
133102, 105, 106, 111, 132ltletrd 11370 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท ๐‘) < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
13498nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
135134mulridd 11227 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
136133, 135breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท ๐‘) < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1))
137 1red 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
138102, 137, 99ltdivmuld 13063 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” (2 ยท ๐‘) < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
139136, 138mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1)
140 1e0p1 12715 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
141139, 140breqtrdi 5188 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))
142100rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
143 0z 12565 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
144 flbi 13777 . . . . . . . . . 10 ((((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
145142, 143, 144sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง ((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
146101, 141, 145mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
1471nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
149148, 99rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„+)
150149rpge0d 13016 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))
15121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15221, 147ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + ๐‘))
153382timesd 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
154152, 153breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (2 ยท ๐‘))
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ < (2 ยท ๐‘))
156151, 102, 106, 155, 133lttrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ < (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))
157156, 135breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1))
158151, 137, 99ltdivmuld 13063 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1 โ†” ๐‘ < ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) ยท 1)))
159157, 158mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < 1)
160159, 140breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))
161149rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
162 flbi 13777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
163161, 143, 162sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆง (๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) < (0 + 1))))
164150, 160, 163mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
165164oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (2 ยท 0))
166 2t0e0 12377 . . . . . . . . 9 (2 ยท 0) = 0
167165, 166eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = 0)
168146, 167oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = (0 โˆ’ 0))
169 0m0e0 12328 . . . . . . 7 (0 โˆ’ 0) = 0
170168, 169eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
17193, 170jaodan 956 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
1727, 171sylan2 593 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
173172sumeq2dv 15645 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))0)
174 fzfid 13934 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆˆ Fin)
175 sumz 15664 . . . . 5 (((1...(2 ยท ๐‘)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ (1...(2 ยท ๐‘)) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))0 = 0)
176175olcs 874 . . . 4 ((1...(2 ยท ๐‘)) โˆˆ Fin โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))0 = 0)
177174, 176syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))0 = 0)
178173, 177eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘))((โŒŠโ€˜((2 ยท ๐‘) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (2 ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))) = 0)
1794, 178eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((2 ยท ๐‘)C๐‘)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  โ„+crp 12970  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751  โ†‘cexp 14023  Ccbc 14258  ฮฃcsu 15628  โ„™cprime 16604   pCnt cpc 16765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766
This theorem is referenced by:  bposlem3  26778
  Copyright terms: Public domain W3C validator