bposlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem2 26633

Description: There are no odd primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] dividing the 𝑁-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bposlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
bposlem2.3	⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃)
bposlem2.4	⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
bposlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		bposlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		pcbcctr 26624	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
5		elfznn 13470	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6		elnn1uz2 12850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)))
7	5, 6	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)))
8		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑1))
9		prmnn 16550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	exp1d 14046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
13	8, 12	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑃↑𝑘) = 𝑃)
14	13	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃))
15	14	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)))
16		2t1e2 12316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
17	11	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁)
19	17, 18	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁)
20		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	10	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	10	nngt0d 12202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
24		lemuldiv 12035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
26	19, 25	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))
27	21, 10	nndivred 12207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ)
28		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2pos 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
33	28, 31, 32	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
35	26, 34	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
36	16, 35	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
37		2cnd 12231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	1	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
39	10	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
40	37, 38, 11, 39	divassd 11966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃)))
41	36, 40	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃))
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
43		2nn 12226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
44		nnmulcl 12177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
45	43, 1, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
46	45	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
47		3re 12233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
48		3pos 12258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
50		ltdiv23 12046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
51	49, 50	mp3an2 1449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
53	42, 52	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)
54		df-3 12217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
55	53, 54	breqtrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))
56	46, 10	nndivred 12207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ)
57		2z 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
58		flbi 13721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
59	56, 57, 58	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
60	41, 55, 59	mpbir2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
62	15, 61	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 2)
63	13	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) = (𝑁 / 𝑃))
64	63	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃)))
65		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
66	29, 27, 65	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
68		4re 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
70	40, 53	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3)
71		3lt4 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 < 4)
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 11316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4)
74		2t2e4 12317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
75	73, 74	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))
76		ltmul2 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
77	29, 31, 76	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
78	27, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
79	75, 78	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2)
80		df-2 12216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
81	79, 80	breqtrdi 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))
82		1z 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
83		flbi 13721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
84	27, 82, 83	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
85	26, 81, 84	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
87	64, 86	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 1)
88	87	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 1))
89	88, 16	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 2)
90	62, 89	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (2 − 2))
91		2cn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
92	91	subidi 11472	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 2) = 0
93	90, 92	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
94	45	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
96		eluzge2nn0 12812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
97		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
98	10, 96, 97	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
99	98	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
100	95, 99	rpdivcld 12974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpge0d 12961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
102	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
103		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
104	47, 22, 103	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
106	98	nnred 12168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ)
107		ltdivmul 12030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
108	49, 107	mp3an3 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
109	46, 22, 108	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
110	42, 109	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
112	22, 22	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
114		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃)
115		nnltp1le 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
116	43, 10, 115	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
117	114, 116	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃)
118	54, 117	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑃)
119		lemul1 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
120	47, 119	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
121	22, 22, 23, 120	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
122	118, 121	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
124	11	sqvald 14048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
126	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
127	10	nnge1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑃)
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 1 ≤ 𝑃)
129		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
130	126, 128, 129	leexp2ad 14157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑2) ≤ (𝑃↑𝑘))
131	125, 130	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘))
132	105, 113, 106, 123, 131	letrd 11312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘))
133	102, 105, 106, 111, 132	ltletrd 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))
134	98	nncnd 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
135	134	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑃↑𝑘) · 1) = (𝑃↑𝑘))
136	133, 135	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1))
137		1red 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
138	102, 137, 99	ltdivmuld 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
139	136, 138	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1)
140		1e0p1 12660	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
141	139, 140	breqtrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
142	100	rpred 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
143		0z 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
144		flbi 13721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
145	142, 143, 144	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
146	101, 141, 145	mpbir2and 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0)
147	1	nnrpd 12955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
149	148, 99	rpdivcld 12974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ⁺)
150	149	rpge0d 12961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)))
151	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	21, 147	ltaddrpd 12990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
153	38	2timesd 12396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
154	152, 153	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2 · 𝑁))
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
156	151, 102, 106, 155, 133	lttrd 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < (𝑃↑𝑘))
157	156, 135	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1))
158	151, 137, 99	ltdivmuld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
159	157, 158	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1)
160	159, 140	breqtrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
161	149	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
162		flbi 13721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
163	161, 143, 162	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
164	150, 160, 163	mpbir2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0)
165	164	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 0))
166		2t0e0 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 0) = 0
167	165, 166	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 0)
168	146, 167	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (0 − 0))
169		0m0e0 12273	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
170	168, 169	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
171	93, 170	jaodan 956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
172	7, 171	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
173	172	sumeq2dv 15588	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0)
174		fzfid 13878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
175		sumz 15607	. . . . 5 ⊢ (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
176	175	olcs 874	. . . 4 ⊢ ((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
177	174, 176	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
178	173, 177	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
179	4, 178	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ⊆ wss 3910 class class class wbr 5105 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 Fincfn 8883 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 / cdiv 11812 ℕcn 12153 2c2 12208 3c3 12209 4c4 12210 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 ℝ⁺crp 12915 ...cfz 13424 ⌊cfl 13695 ↑cexp 13967 Ccbc 14202 Σcsu 15570 ℙcprime 16547 pCnt cpc 16708

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-n0 12414 df-z 12500 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-mod 13775 df-seq 13907 df-exp 13968 df-fac 14174 df-bc 14203 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-clim 15370 df-sum 15571 df-dvds 16137 df-gcd 16375 df-prm 16548 df-pc 16709

This theorem is referenced by: bposlem3 26634

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