| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | bposlem2.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 2 | | bposlem2.2 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
| 3 | | pcbcctr 27320 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))) |
| 4 | 1, 2, 3 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))) |
| 5 | | elfznn 13593 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
| 6 | | elnn1uz2 12967 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2))) |
| 7 | 5, 6 | sylib 218 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2))) |
| 8 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑1)) |
| 9 | | prmnn 16711 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
| 10 | 2, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ) |
| 11 | 10 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) |
| 12 | 11 | exp1d 14181 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃) |
| 13 | 8, 12 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑃↑𝑘) = 𝑃) |
| 14 | 13 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃)) |
| 15 | 14 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃))) |
| 16 | | 2t1e2 12429 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2
· 1) = 2 |
| 17 | 11 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
| 18 | | bposlem2.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁) |
| 19 | 17, 18 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁) |
| 20 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 21 | 1 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 22 | 10 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ) |
| 23 | 10 | nngt0d 12315 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃) |
| 24 | | lemuldiv 12148 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑁
∈ ℝ ∧ (𝑃
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))) |
| 25 | 20, 21, 22, 23, 24 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))) |
| 26 | 19, 25 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)) |
| 27 | 21, 10 | nndivred 12320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) |
| 28 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 29 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 30 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 <
2 |
| 31 | 29, 30 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2) |
| 32 | | lemul2 12120 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝑁 /
𝑃) ∈ ℝ ∧ (2
∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
| 33 | 28, 31, 32 | mp3an13 1454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
| 34 | 27, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
| 35 | 26, 34 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2
· (𝑁 / 𝑃))) |
| 36 | 16, 35 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))) |
| 37 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 38 | 1 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 39 | 10 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0) |
| 40 | 37, 38, 11, 39 | divassd 12078 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃))) |
| 41 | 36, 40 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃)) |
| 42 | | bposlem2.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃) |
| 43 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 44 | | nnmulcl 12290 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
| 45 | 43, 1, 44 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ) |
| 46 | 45 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
| 47 | | 3re 12346 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ |
| 48 | | 3pos 12371 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 0 <
3 |
| 49 | 47, 48 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 0 < 3) |
| 50 | | ltdiv23 12159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
| 51 | 49, 50 | mp3an2 1451 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ (𝑃 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑃)) →
(((2 · 𝑁) / 3) <
𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
| 52 | 46, 22, 23, 51 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
| 53 | 42, 52 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3) |
| 54 | | df-3 12330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 3 = (2 +
1) |
| 55 | 53, 54 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)) |
| 56 | 46, 10 | nndivred 12320 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ) |
| 57 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 58 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((2
· 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)))) |
| 59 | 56, 57, 58 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2
· 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2
· 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)))) |
| 60 | 41, 55, 59 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (⌊‘((2
· 𝑁) / 𝑃)) = 2) |
| 61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / 𝑃)) = 2) |
| 62 | 15, 61 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 2) |
| 63 | 13 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) = (𝑁 / 𝑃)) |
| 64 | 63 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃))) |
| 65 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝑁 /
𝑃) ∈ ℝ) →
(2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈
ℝ) |
| 66 | 29, 27, 65 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ) |
| 67 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
| 68 | | 4re 12350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℝ) |
| 70 | 40, 53 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3) |
| 71 | | 3lt4 12440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 3 <
4 |
| 72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 3 < 4) |
| 73 | 66, 67, 69, 70, 72 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4) |
| 74 | | 2t2e4 12430 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· 2) = 4 |
| 75 | 73, 74 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)) |
| 76 | | ltmul2 12118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ
∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
| 77 | 29, 31, 76 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
| 78 | 27, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
| 79 | 75, 78 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2) |
| 80 | | df-2 12329 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 = (1 +
1) |
| 81 | 79, 80 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)) |
| 82 | | 1z 12647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℤ |
| 83 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘(𝑁 /
𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤
(𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)))) |
| 84 | 27, 82, 83 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)))) |
| 85 | 26, 81, 84 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1) |
| 86 | 85 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1) |
| 87 | 64, 86 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 1) |
| 88 | 87 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 ·
(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 1)) |
| 89 | 88, 16 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 ·
(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 2) |
| 90 | 62, 89 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (2 − 2)) |
| 91 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 92 | 91 | subidi 11580 |
. . . . . . 7
⊢ (2
− 2) = 0 |
| 93 | 90, 92 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
| 94 | 45 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ+) |
| 95 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁)
∈ ℝ+) |
| 96 | | eluzge2nn0 12929 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
| 97 | | nnexpcl 14115 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℕ) |
| 98 | 10, 96, 97 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℕ) |
| 99 | 98 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℝ+) |
| 100 | 95, 99 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) ∈
ℝ+) |
| 101 | 100 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) |
| 102 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁)
∈ ℝ) |
| 103 | | remulcl 11240 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑃
∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ) |
| 104 | 47, 22, 103 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈
ℝ) |
| 105 | 104 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃)
∈ ℝ) |
| 106 | 98 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℝ) |
| 107 | | ltdivmul 12143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 𝑃 ∈ ℝ
∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))) |
| 108 | 49, 107 | mp3an3 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 𝑃 ∈ ℝ)
→ (((2 · 𝑁) /
3) < 𝑃 ↔ (2
· 𝑁) < (3
· 𝑃))) |
| 109 | 46, 22, 108 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))) |
| 110 | 42, 109 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)) |
| 111 | 110 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
(3 · 𝑃)) |
| 112 | 22, 22 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) |
| 113 | 112 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃 · 𝑃) ∈
ℝ) |
| 114 | | bposlem2.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃) |
| 115 | | nnltp1le 12674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑃
∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃)) |
| 116 | 43, 10, 115 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃)) |
| 117 | 114, 116 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃) |
| 118 | 54, 117 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑃) |
| 119 | | lemul1 12119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑃
∈ ℝ ∧ (𝑃
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
| 120 | 47, 119 | mp3an1 1450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
| 121 | 22, 22, 23, 120 | syl12anc 837 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
| 122 | 118, 121 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)) |
| 123 | 122 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃) ≤
(𝑃 · 𝑃)) |
| 124 | 11 | sqvald 14183 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) |
| 125 | 124 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) |
| 126 | 22 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑃 ∈
ℝ) |
| 127 | 10 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑃) |
| 128 | 127 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 1 ≤ 𝑃) |
| 129 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 130 | 126, 128,
129 | leexp2ad 14293 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑2) ≤
(𝑃↑𝑘)) |
| 131 | 125, 130 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘)) |
| 132 | 105, 113,
106, 123, 131 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃) ≤
(𝑃↑𝑘)) |
| 133 | 102, 105,
106, 111, 132 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
(𝑃↑𝑘)) |
| 134 | 98 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℂ) |
| 135 | 134 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑃↑𝑘) · 1) = (𝑃↑𝑘)) |
| 136 | 133, 135 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
((𝑃↑𝑘) · 1)) |
| 137 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 1 ∈ ℝ) |
| 138 | 102, 137,
99 | ltdivmuld 13128 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1))) |
| 139 | 136, 138 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < 1) |
| 140 | | 1e0p1 12775 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 = (0 +
1) |
| 141 | 139, 140 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)) |
| 142 | 100 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ) |
| 143 | | 0z 12624 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℤ |
| 144 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((2
· 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
| 145 | 142, 143,
144 | sylancl 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
| 146 | 101, 141,
145 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0) |
| 147 | 1 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 148 | 147 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 149 | 148, 99 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈
ℝ+) |
| 150 | 149 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) |
| 151 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
| 152 | 21, 147 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁)) |
| 153 | 38 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
| 154 | 152, 153 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2 · 𝑁)) |
| 155 | 154 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < (2 ·
𝑁)) |
| 156 | 151, 102,
106, 155, 133 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < (𝑃↑𝑘)) |
| 157 | 156, 135 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)) |
| 158 | 151, 137,
99 | ltdivmuld 13128 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1))) |
| 159 | 157, 158 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1) |
| 160 | 159, 140 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)) |
| 161 | 149 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ) |
| 162 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
| 163 | 161, 143,
162 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
| 164 | 150, 160,
163 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0) |
| 165 | 164 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 0)) |
| 166 | | 2t0e0 12435 |
. . . . . . . . 9
⊢ (2
· 0) = 0 |
| 167 | 165, 166 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 0) |
| 168 | 146, 167 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (0 − 0)) |
| 169 | | 0m0e0 12386 |
. . . . . . 7
⊢ (0
− 0) = 0 |
| 170 | 168, 169 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
| 171 | 93, 170 | jaodan 960 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
| 172 | 7, 171 | sylan2 593 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
| 173 | 172 | sumeq2dv 15738 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0) |
| 174 | | fzfid 14014 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) |
| 175 | | sumz 15758 |
. . . . 5
⊢ (((1...(2
· 𝑁)) ⊆
(ℤ≥‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0) |
| 176 | 175 | olcs 877 |
. . . 4
⊢ ((1...(2
· 𝑁)) ∈ Fin
→ Σ𝑘 ∈
(1...(2 · 𝑁))0 =
0) |
| 177 | 174, 176 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0) |
| 178 | 173, 177 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
| 179 | 4, 178 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |