Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | bposlem2.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
2 | | bposlem2.2 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
3 | | pcbcctr 26012 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 587 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))))) |
5 | | elfznn 13028 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ) |
6 | | elnn1uz2 12408 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2))) |
7 | 5, 6 | sylib 221 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2))) |
8 | | oveq2 7179 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑1)) |
9 | | prmnn 16116 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
10 | 2, 9 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ) |
11 | 10 | nncnd 11733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ) |
12 | 11 | exp1d 13598 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃) |
13 | 8, 12 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑃↑𝑘) = 𝑃) |
14 | 13 | oveq2d 7187 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃)) |
15 | 14 | fveq2d 6679 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃))) |
16 | | 2t1e2 11880 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2
· 1) = 2 |
17 | 11 | mulid2d 10738 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
18 | | bposlem2.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁) |
19 | 17, 18 | eqbrtrd 5053 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁) |
20 | | 1red 10721 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
21 | 1 | nnred 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
22 | 10 | nnred 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ) |
23 | 10 | nngt0d 11766 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃) |
24 | | lemuldiv 11599 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑁
∈ ℝ ∧ (𝑃
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))) |
25 | 20, 21, 22, 23, 24 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))) |
26 | 19, 25 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)) |
27 | 21, 10 | nndivred 11771 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) |
28 | | 1re 10720 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℝ |
29 | | 2re 11791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
30 | | 2pos 11820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 <
2 |
31 | 29, 30 | pm3.2i 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2) |
32 | | lemul2 11572 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (𝑁 /
𝑃) ∈ ℝ ∧ (2
∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
33 | 28, 31, 32 | mp3an13 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
34 | 27, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 ·
(𝑁 / 𝑃)))) |
35 | 26, 34 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2
· (𝑁 / 𝑃))) |
36 | 16, 35 | eqbrtrrid 5067 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))) |
37 | | 2cnd 11795 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
38 | 1 | nncnd 11733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
39 | 10 | nnne0d 11767 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0) |
40 | 37, 38, 11, 39 | divassd 11530 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃))) |
41 | 36, 40 | breqtrrd 5059 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃)) |
42 | | bposlem2.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃) |
43 | | 2nn 11790 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ∈
ℕ |
44 | | nnmulcl 11741 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
45 | 43, 1, 44 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ) |
46 | 45 | nnred 11732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
47 | | 3re 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ |
48 | | 3pos 11822 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 0 <
3 |
49 | 47, 48 | pm3.2i 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 0 < 3) |
50 | | ltdiv23 11610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
51 | 49, 50 | mp3an2 1450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ (𝑃 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑃)) →
(((2 · 𝑁) / 3) <
𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
52 | 46, 22, 23, 51 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)) |
53 | 42, 52 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3) |
54 | | df-3 11781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 3 = (2 +
1) |
55 | 53, 54 | breqtrdi 5072 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)) |
56 | 46, 10 | nndivred 11771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ) |
57 | | 2z 12096 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℤ |
58 | | flbi 13278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((2
· 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈
ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)))) |
59 | 56, 57, 58 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2
· 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2
· 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1)))) |
60 | 41, 55, 59 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (⌊‘((2
· 𝑁) / 𝑃)) = 2) |
61 | 60 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / 𝑃)) = 2) |
62 | 15, 61 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 2) |
63 | 13 | oveq2d 7187 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) = (𝑁 / 𝑃)) |
64 | 63 | fveq2d 6679 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃))) |
65 | | remulcl 10701 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (𝑁 /
𝑃) ∈ ℝ) →
(2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈
ℝ) |
66 | 29, 27, 65 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ) |
67 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
68 | | 4re 11801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 4 ∈
ℝ |
69 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℝ) |
70 | 40, 53 | eqbrtrrd 5055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3) |
71 | | 3lt4 11891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 3 <
4 |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 3 < 4) |
73 | 66, 67, 69, 70, 72 | lttrd 10880 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4) |
74 | | 2t2e4 11881 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· 2) = 4 |
75 | 73, 74 | breqtrrdi 5073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)) |
76 | | ltmul2 11570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ
∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
77 | 29, 31, 76 | mp3an23 1454 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
78 | 27, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))) |
79 | 75, 78 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2) |
80 | | df-2 11780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 = (1 +
1) |
81 | 79, 80 | breqtrdi 5072 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)) |
82 | | 1z 12094 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℤ |
83 | | flbi 13278 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘(𝑁 /
𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤
(𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)))) |
84 | 27, 82, 83 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1)))) |
85 | 26, 81, 84 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1) |
86 | 85 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1) |
87 | 64, 86 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 1) |
88 | 87 | oveq2d 7187 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 ·
(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 1)) |
89 | 88, 16 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 ·
(⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 2) |
90 | 62, 89 | oveq12d 7189 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (2 − 2)) |
91 | | 2cn 11792 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℂ |
92 | 91 | subidi 11036 |
. . . . . . 7
⊢ (2
− 2) = 0 |
93 | 90, 92 | eqtrdi 2789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
94 | 45 | nnrpd 12513 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ+) |
95 | 94 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁)
∈ ℝ+) |
96 | | eluzge2nn0 12370 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
97 | | nnexpcl 13535 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℕ) |
98 | 10, 96, 97 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℕ) |
99 | 98 | nnrpd 12513 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℝ+) |
100 | 95, 99 | rpdivcld 12532 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) ∈
ℝ+) |
101 | 100 | rpge0d 12519 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) |
102 | 46 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁)
∈ ℝ) |
103 | | remulcl 10701 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑃
∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ) |
104 | 47, 22, 103 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈
ℝ) |
105 | 104 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃)
∈ ℝ) |
106 | 98 | nnred 11732 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℝ) |
107 | | ltdivmul 11594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 𝑃 ∈ ℝ
∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))) |
108 | 49, 107 | mp3an3 1451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 𝑃 ∈ ℝ)
→ (((2 · 𝑁) /
3) < 𝑃 ↔ (2
· 𝑁) < (3
· 𝑃))) |
109 | 46, 22, 108 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))) |
110 | 42, 109 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)) |
111 | 110 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
(3 · 𝑃)) |
112 | 22, 22 | remulcld 10750 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ) |
113 | 112 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃 · 𝑃) ∈
ℝ) |
114 | | bposlem2.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃) |
115 | | nnltp1le 12120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑃
∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃)) |
116 | 43, 10, 115 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃)) |
117 | 114, 116 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃) |
118 | 54, 117 | eqbrtrid 5066 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑃) |
119 | | lemul1 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑃
∈ ℝ ∧ (𝑃
∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
120 | 47, 119 | mp3an1 1449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
121 | 22, 22, 23, 120 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))) |
122 | 118, 121 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)) |
123 | 122 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃) ≤
(𝑃 · 𝑃)) |
124 | 11 | sqvald 13600 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) |
125 | 124 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃)) |
126 | 22 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑃 ∈
ℝ) |
127 | 10 | nnge1d 11765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑃) |
128 | 127 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 1 ≤ 𝑃) |
129 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2)) |
130 | 126, 128,
129 | leexp2ad 13710 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑2) ≤
(𝑃↑𝑘)) |
131 | 125, 130 | eqbrtrrd 5055 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘)) |
132 | 105, 113,
106, 123, 131 | letrd 10876 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (3 · 𝑃) ≤
(𝑃↑𝑘)) |
133 | 102, 105,
106, 111, 132 | ltletrd 10879 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
(𝑃↑𝑘)) |
134 | 98 | nncnd 11733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑃↑𝑘) ∈
ℂ) |
135 | 134 | mulid1d 10737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑃↑𝑘) · 1) = (𝑃↑𝑘)) |
136 | 133, 135 | breqtrrd 5059 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · 𝑁) <
((𝑃↑𝑘) · 1)) |
137 | | 1red 10721 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 1 ∈ ℝ) |
138 | 102, 137,
99 | ltdivmuld 12566 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1))) |
139 | 136, 138 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < 1) |
140 | | 1e0p1 12222 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 = (0 +
1) |
141 | 139, 140 | breqtrdi 5072 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)) |
142 | 100 | rpred 12515 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((2 · 𝑁) /
(𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ) |
143 | | 0z 12074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
ℤ |
144 | | flbi 13278 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((2
· 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
145 | 142, 143,
144 | sylancl 589 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
146 | 101, 141,
145 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0) |
147 | 1 | nnrpd 12513 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
148 | 147 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 ∈
ℝ+) |
149 | 148, 99 | rpdivcld 12532 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈
ℝ+) |
150 | 149 | rpge0d 12519 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘))) |
151 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
152 | 21, 147 | ltaddrpd 12548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁)) |
153 | 38 | 2timesd 11960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
154 | 152, 153 | breqtrrd 5059 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2 · 𝑁)) |
155 | 154 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < (2 ·
𝑁)) |
156 | 151, 102,
106, 155, 133 | lttrd 10880 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < (𝑃↑𝑘)) |
157 | 156, 135 | breqtrrd 5059 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)) |
158 | 151, 137,
99 | ltdivmuld 12566 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1))) |
159 | 157, 158 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1) |
160 | 159, 140 | breqtrdi 5072 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)) |
161 | 149 | rpred 12515 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ) |
162 | | flbi 13278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ ((⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
163 | 161, 143,
162 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1)))) |
164 | 150, 160,
163 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (⌊‘(𝑁 /
(𝑃↑𝑘))) = 0) |
165 | 164 | oveq2d 7187 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 0)) |
166 | | 2t0e0 11886 |
. . . . . . . . 9
⊢ (2
· 0) = 0 |
167 | 165, 166 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 0) |
168 | 146, 167 | oveq12d 7189 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (0 − 0)) |
169 | | 0m0e0 11837 |
. . . . . . 7
⊢ (0
− 0) = 0 |
170 | 168, 169 | eqtrdi 2789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
171 | 93, 170 | jaodan 957 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)))
→ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
172 | 7, 171 | sylan2 596 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 ·
𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
173 | 172 | sumeq2dv 15154 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0) |
174 | | fzfid 13433 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) |
175 | | sumz 15173 |
. . . . 5
⊢ (((1...(2
· 𝑁)) ⊆
(ℤ≥‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0) |
176 | 175 | olcs 875 |
. . . 4
⊢ ((1...(2
· 𝑁)) ∈ Fin
→ Σ𝑘 ∈
(1...(2 · 𝑁))0 =
0) |
177 | 174, 176 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0) |
178 | 173, 177 | eqtrd 2773 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0) |
179 | 4, 178 | eqtrd 2773 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |