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Theorem bposlem2 27265

Description: There are no odd primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] dividing the 𝑁-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bposlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
bposlem2.3	⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃)
bposlem2.4	⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
bposlem2.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		bposlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		pcbcctr 27256	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))))
5		elfznn 13501	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6		elnn1uz2 12869	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)))
7	5, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)))
8		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃↑𝑘) = (𝑃↑1))
9		prmnn 16637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	exp1d 14097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
13	8, 12	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑃↑𝑘) = 𝑃)
14	13	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃))
15	14	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)))
16		2t1e2 12333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
17	11	mullidd 11157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑁)
19	17, 18	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁)
20		1red 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1	nnred 12183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
22	10	nnred 12183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	10	nngt0d 12220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
24		lemuldiv 12030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
26	19, 25	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))
27	21, 10	nndivred 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ)
28		1re 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		2re 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2pos 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
31	29, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32		lemul2 12002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
33	28, 31, 32	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
35	26, 34	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
36	16, 35	eqbrtrrid 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
37		2cnd 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
38	1	nncnd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
39	10	nnne0d 12221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
40	37, 38, 11, 39	divassd 11960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃)))
41	36, 40	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃))
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
43		2nn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
44		nnmulcl 12192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
45	43, 1, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
46	45	nnred 12183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
47		3re 12255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
48		3pos 12280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
49	47, 48	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
50		ltdiv23 12041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
51	49, 50	mp3an2 1452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
53	42, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)
54		df-3 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 = (2 + 1)
55	53, 54	breqtrdi 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))
56	46, 10	nndivred 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ)
57		2z 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
58		flbi 13769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
59	56, 57, 58	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
60	41, 55, 59	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
62	15, 61	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 2)
63	13	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) = (𝑁 / 𝑃))
64	63	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃)))
65		remulcl 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
66	29, 27, 65	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
68		4re 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
70	40, 53	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3)
71		3lt4 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 < 4
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 < 4)
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4)
74		2t2e4 12334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
75	73, 74	breqtrrdi 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))
76		ltmul2 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
77	29, 31, 76	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
78	27, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
79	75, 78	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2)
80		df-2 12238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
81	79, 80	breqtrdi 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))
82		1z 12551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
83		flbi 13769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
84	27, 82, 83	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
85	26, 81, 84	mpbir2and 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
87	64, 86	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 1)
88	87	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 1))
89	88, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 2)
90	62, 89	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (2 − 2))
91		2cn 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
92	91	subidi 11459	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 2) = 0
93	90, 92	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
94	45	nnrpd 12978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
96		eluzge2nn0 12836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
97		nnexpcl 14030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
98	10, 96, 97	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
99	98	nnrpd 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
100	95, 99	rpdivcld 12997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ⁺)
101	100	rpge0d 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)))
102	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
103		remulcl 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
104	47, 22, 103	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
106	98	nnred 12183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℝ)
107		ltdivmul 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
108	49, 107	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
109	46, 22, 108	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
110	42, 109	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
112	22, 22	remulcld 11169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
113	112	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
114		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 𝑃)
115		nnltp1le 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
116	43, 10, 115	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
117	114, 116	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃)
118	54, 117	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑃)
119		lemul1 12001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
120	47, 119	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
121	22, 22, 23, 120	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
122	118, 121	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
124	11	sqvald 14099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
126	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
127	10	nnge1d 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑃)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 1 ≤ 𝑃)
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
130	126, 128, 129	leexp2ad 14210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑2) ≤ (𝑃↑𝑘))
131	125, 130	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘))
132	105, 113, 106, 123, 131	letrd 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃↑𝑘))
133	102, 105, 106, 111, 132	ltletrd 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑𝑘))
134	98	nncnd 12184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℂ)
135	134	mulridd 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑃↑𝑘) · 1) = (𝑃↑𝑘))
136	133, 135	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1))
137		1red 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 1 ∈ ℝ)
138	102, 137, 99	ltdivmuld 13031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
139	136, 138	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < 1)
140		1e0p1 12680	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
141	139, 140	breqtrdi 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
142	100	rpred 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
143		0z 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
144		flbi 13769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
145	142, 143, 144	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
146	101, 141, 145	mpbir2and 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) = 0)
147	1	nnrpd 12978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
148	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
149	148, 99	rpdivcld 12997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ⁺)
150	149	rpge0d 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)))
151	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
152	21, 147	ltaddrpd 13013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
153	38	2timesd 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
154	152, 153	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (2 · 𝑁))
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
156	151, 102, 106, 155, 133	lttrd 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < (𝑃↑𝑘))
157	156, 135	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1))
158	151, 137, 99	ltdivmuld 13031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑘) · 1)))
159	157, 158	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < 1)
160	159, 140	breqtrdi 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))
161	149	rpred 12980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ)
162		flbi 13769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
163	161, 143, 162	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑘)) < (0 + 1))))
164	150, 160, 163	mpbir2and 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))) = 0)
165	164	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = (2 · 0))
166		2t0e0 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 0) = 0
167	165, 166	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘)))) = 0)
168	146, 167	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = (0 − 0))
169		0m0e0 12290	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
170	168, 169	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
171	93, 170	jaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
172	7, 171	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
173	172	sumeq2dv 15658	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0)
174		fzfid 13929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
175		sumz 15678	. . . . 5 ⊢ (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ (ℤ_≥‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
176	175	olcs 877	. . . 4 ⊢ ((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
177	174, 176	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
178	173, 177	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃↑𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑘))))) = 0)
179	4, 178	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ⊆ wss 3890 class class class wbr 5086 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 Fincfn 8887 ℝcr 11031 0cc0 11032 1c1 11033 + caddc 11035 · cmul 11037 < clt 11173 ≤ cle 11174 − cmin 11371 / cdiv 11801 ℕcn 12168 2c2 12230 3c3 12231 4c4 12232 ℕ₀cn0 12431 ℤcz 12518 ℤ_≥cuz 12782 ℝ⁺crp 12936 ...cfz 13455 ⌊cfl 13743 ↑cexp 14017 Ccbc 14258 Σcsu 15642 ℙcprime 16634 pCnt cpc 16801

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-inf2 9556 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-isom 6502 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7812 df-1st 7936 df-2nd 7937 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-inf 9350 df-oi 9419 df-card 9857 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-4 12240 df-n0 12432 df-z 12519 df-uz 12783 df-q 12893 df-rp 12937 df-fz 13456 df-fzo 13603 df-fl 13745 df-mod 13823 df-seq 13958 df-exp 14018 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-clim 15444 df-sum 15643 df-dvds 16216 df-gcd 16458 df-prm 16635 df-pc 16802

This theorem is referenced by: bposlem3 27266

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