MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem2 27329
Description: There are no odd primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] dividing the 𝑁-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bposlem2.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
bposlem2.3 (𝜑 → 2 < 𝑃)
bposlem2.4 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
bposlem2.5 (𝜑𝑃𝑁)
Assertion
Ref Expression
bposlem2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 bposlem2.2 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 pcbcctr 27320 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5 elfznn 13593 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6 elnn1uz2 12967 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
75, 6sylib 218 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2)))
8 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑1))
9 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
102, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1211exp1d 14181 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
138, 12sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑃𝑘) = 𝑃)
1413oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = ((2 · 𝑁) / 𝑃))
1514fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)))
16 2t1e2 12429 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
1711mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · 𝑃) = 𝑃)
18 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃𝑁)
1917, 18eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · 𝑃) ≤ 𝑁)
20 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
211nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2210nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2310nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝑃)
24 lemuldiv 12148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2520, 21, 22, 23, 24syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 · 𝑃) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 / 𝑃)))
2619, 25mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 / 𝑃))
2721, 10nndivred 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ)
28 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
29 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
30 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
3129, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
32 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3328, 31, 32mp3an13 1454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3427, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ↔ (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃))))
3526, 34mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 1) ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
3616, 35eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ (2 · (𝑁 / 𝑃)))
37 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
381nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3910nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ≠ 0)
4037, 38, 11, 39divassd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) = (2 · (𝑁 / 𝑃)))
4136, 40breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃))
42 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃)
43 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
44 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4543, 1, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
4645nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
47 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
48 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
4947, 48pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
50 ltdiv23 12159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5149, 50mp3an2 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5246, 22, 23, 51syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3))
5342, 52mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < 3)
54 df-3 12330 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
5553, 54breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))
5646, 10nndivred 12320 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ)
57 2z 12649 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
58 flbi 13856 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 𝑃) ∧ ((2 · 𝑁) / 𝑃) < (2 + 1))))
6041, 55, 59mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 𝑃)) = 2)
6215, 61eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 2)
6313oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 = 1) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) = (𝑁 / 𝑃))
6463fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = (⌊‘(𝑁 / 𝑃)))
65 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6629, 27, 65sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) ∈ ℝ)
6747a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
68 4re 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
7040, 53eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 3)
71 3lt4 12440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 < 4
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 < 4)
7366, 67, 69, 70, 72lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < 4)
74 2t2e4 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 2) = 4
7573, 74breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2))
76 ltmul2 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7729, 31, 76mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7827, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 / 𝑃) < 2 ↔ (2 · (𝑁 / 𝑃)) < (2 · 2)))
7975, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < 2)
80 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
8179, 80breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))
82 1z 12647 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
83 flbi 13856 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 / 𝑃) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8427, 82, 83sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1 ↔ (1 ≤ (𝑁 / 𝑃) ∧ (𝑁 / 𝑃) < (1 + 1))))
8526, 81, 84mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / 𝑃)) = 1)
8764, 86eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 = 1) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 1)
8887oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 1))
8988, 16eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 1) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 2)
9062, 89oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (2 − 2))
91 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9291subidi 11580 . . . . . . 7 (2 − 2) = 0
9390, 92eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
9445nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
96 eluzge2nn0 12929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9810, 96, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
9998nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
10095, 99rpdivcld 13094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
101100rpge0d 13081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
10246adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
103 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10447, 22, 103sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ∈ ℝ)
10698nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
107 ltdivmul 12143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10849, 107mp3an3 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
10946, 22, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃)))
11042, 109mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (3 · 𝑃))
11222, 22remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ∈ ℝ)
114 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 < 𝑃)
115 nnltp1le 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
11643, 10, 115sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
117114, 116mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + 1) ≤ 𝑃)
11854, 117eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ≤ 𝑃)
119 lemul1 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12047, 119mp3an1 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
12122, 22, 23, 120syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3 ≤ 𝑃 ↔ (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃)))
122118, 121mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃 · 𝑃))
12411sqvald 14183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
12622adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
12710nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≤ 𝑃)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ≤ 𝑃)
129 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
130126, 128, 129leexp2ad 14293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃↑2) ≤ (𝑃𝑘))
131125, 130eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
132105, 113, 106, 123, 131letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (3 · 𝑃) ≤ (𝑃𝑘))
133102, 105, 106, 111, 132ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))
13498nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
135134mulridd 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
136133, 135breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1))
137 1red 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
138102, 137, 99ltdivmuld 13128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
139136, 138mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
140 1e0p1 12775 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
141139, 140breqtrdi 5184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
142100rpred 13077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
143 0z 12624 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
144 flbi 13856 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
145142, 143, 144sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
146101, 141, 145mpbir2and 713 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
1471nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
149148, 99rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
150149rpge0d 13081 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
15121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15221, 147ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
153382timesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
154152, 153breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 < (2 · 𝑁))
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
156151, 102, 106, 155, 133lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < (𝑃𝑘))
157156, 135breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1))
158151, 137, 99ltdivmuld 13128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
159157, 158mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
160159, 140breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
161149rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
162 flbi 13856 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
163161, 143, 162sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
164150, 160, 163mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
165164oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
166 2t0e0 12435 . . . . . . . . 9 (2 · 0) = 0
167165, 166eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
168146, 167oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
169 0m0e0 12386 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
170168, 169eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘2)) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
17193, 170jaodan 960 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘2))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1727, 171sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
173172sumeq2dv 15738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0)
174 fzfid 14014 . . . 4 (𝜑 → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
175 sumz 15758 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
176175olcs 877 . . . 4 ((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
177174, 176syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))0 = 0)
178173, 177eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
1794, 178eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  Ccbc 14341  Σcsu 15722  cprime 16708   pCnt cpc 16874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  bposlem3  27330
  Copyright terms: Public domain W3C validator