MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv1 12027
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem ltdiv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simp2 1138 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simp3l 1202 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 simp3r 1203 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < ๐ถ)
54gt0ne0d 11727 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
63, 5rereccld 11990 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
7 recgt0 12009 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ 0 < (1 / ๐ถ))
873ad2ant3 1136 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < (1 / ๐ถ))
9 ltmul1 12013 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 / ๐ถ))) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
101, 2, 6, 8, 9syl112anc 1375 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
111recnd 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
123recnd 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1311, 12, 5divrecd 11942 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
142recnd 11191 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514, 12, 5divrecd 11942 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
1613, 15breq12d 5122 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ) โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
1710, 16bitr4d 282 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   < clt 11197   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  lediv1  12028  gt0div  12029  ltmuldiv  12036  ltdivmul  12038  ltdiv23  12054  ltdiv1i  12082  ltdiv1d  13010  flltdivnn0lt  13747  quoremz  13769  quoremnn0ALT  13771  fldiv  13774  hashdvds  16655  hashgcdlem  16668  dvcvx  25407  sinq12gt0  25887  tanord1  25916  atanlogsublem  26288  basellem4  26456  chtub  26583  bposlem7  26661  lgsquadlem1  26751  lgsquadlem2  26752  2lgslem1a2  26761  chebbnd1lem3  26842  dp2lt  31797  dpmul4  31826  cvmliftlem6  33948  cvmliftlem7  33949  cvmliftlem8  33950  cvmliftlem9  33951  cvmliftlem10  33952  nn0prpwlem  34847  nndivsub  34982  tan2h  36120  reglogltb  41261  stoweidlem14  44345  stoweidlem26  44357
  Copyright terms: Public domain W3C validator