MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv1 12016
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem ltdiv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simp2 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4 simp3r 1202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
54gt0ne0d 11716 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
63, 5rereccld 11979 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
7 recgt0 11998 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < (1 / 𝐶))
873ad2ant3 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (1 / 𝐶))
9 ltmul1 12002 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐶))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
101, 2, 6, 8, 9syl112anc 1374 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
111recnd 11180 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
123recnd 11180 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12, 5divrecd 11931 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
142recnd 11180 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1514, 12, 5divrecd 11931 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
1613, 15breq12d 5117 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
1710, 16bitr4d 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5104  (class class class)co 7354  cr 11047  0cc0 11048  1c1 11049   · cmul 11053   < clt 11186   / cdiv 11809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810
This theorem is referenced by:  lediv1  12017  gt0div  12018  ltmuldiv  12025  ltdivmul  12027  ltdiv23  12043  ltdiv1i  12071  ltdiv1d  12999  flltdivnn0lt  13735  quoremz  13757  quoremnn0ALT  13759  fldiv  13762  hashdvds  16644  hashgcdlem  16657  dvcvx  25380  sinq12gt0  25860  tanord1  25889  atanlogsublem  26261  basellem4  26429  chtub  26556  bposlem7  26634  lgsquadlem1  26724  lgsquadlem2  26725  2lgslem1a2  26734  chebbnd1lem3  26815  dp2lt  31636  dpmul4  31665  cvmliftlem6  33775  cvmliftlem7  33776  cvmliftlem8  33777  cvmliftlem9  33778  cvmliftlem10  33779  nn0prpwlem  34783  nndivsub  34918  tan2h  36059  reglogltb  41190  stoweidlem14  44225  stoweidlem26  44237
  Copyright terms: Public domain W3C validator