![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltdiv1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdiv1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp1 1134 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) | |
2 | simp2 1135 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ต โ โ) | |
3 | simp3l 1199 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) | |
4 | simp3r 1200 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ 0 < ๐ถ) | |
5 | 4 | gt0ne0d 11802 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ 0) |
6 | 3, 5 | rereccld 12065 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (1 / ๐ถ) โ โ) |
7 | recgt0 12084 | . . . 4 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ 0 < (1 / ๐ถ)) | |
8 | 7 | 3ad2ant3 1133 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ 0 < (1 / ๐ถ)) |
9 | ltmul1 12088 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ((1 / ๐ถ) โ โ โง 0 < (1 / ๐ถ))) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))) | |
10 | 1, 2, 6, 8, 9 | syl112anc 1372 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))) |
11 | 1 | recnd 11266 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) |
12 | 3 | recnd 11266 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) |
13 | 11, 12, 5 | divrecd 12017 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ))) |
14 | 2 | recnd 11266 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ต โ โ) |
15 | 14, 12, 5 | divrecd 12017 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ))) |
16 | 13, 15 | breq12d 5155 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ) โ (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))) |
17 | 10, 16 | bitr4d 282 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 (class class class)co 7414 โcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 ยท cmul 11137 < clt 11272 / cdiv 11895 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-id 5570 df-po 5584 df-so 5585 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 |
This theorem is referenced by: lediv1 12103 gt0div 12104 ltmuldiv 12111 ltdivmul 12113 ltdiv23 12129 ltdiv1i 12157 ltdiv1d 13087 flltdivnn0lt 13824 quoremz 13846 quoremnn0ALT 13848 fldiv 13851 hashdvds 16737 hashgcdlem 16750 dvcvx 25946 sinq12gt0 26435 tanord1 26464 atanlogsublem 26840 basellem4 27009 chtub 27138 bposlem7 27216 lgsquadlem1 27306 lgsquadlem2 27307 2lgslem1a2 27316 chebbnd1lem3 27397 dp2lt 32602 dpmul4 32631 cvmliftlem6 34894 cvmliftlem7 34895 cvmliftlem8 34896 cvmliftlem9 34897 cvmliftlem10 34898 nn0prpwlem 35800 nndivsub 35935 tan2h 37079 reglogltb 42305 stoweidlem14 45396 stoweidlem26 45408 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |