MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdiv1 12102
Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem ltdiv1
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simp2 1135 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3 simp3l 1199 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
4 simp3r 1200 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < ๐ถ)
54gt0ne0d 11802 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
63, 5rereccld 12065 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (1 / ๐ถ) โˆˆ โ„)
7 recgt0 12084 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ 0 < (1 / ๐ถ))
873ad2ant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < (1 / ๐ถ))
9 ltmul1 12088 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((1 / ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 / ๐ถ))) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
101, 2, 6, 8, 9syl112anc 1372 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
111recnd 11266 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
123recnd 11266 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1311, 12, 5divrecd 12017 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด / ๐ถ) = (๐ด ยท (1 / ๐ถ)))
142recnd 11266 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514, 12, 5divrecd 12017 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต / ๐ถ) = (๐ต ยท (1 / ๐ถ)))
1613, 15breq12d 5155 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ) โ†” (๐ด ยท (1 / ๐ถ)) < (๐ต ยท (1 / ๐ถ))))
1710, 16bitr4d 282 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   ยท cmul 11137   < clt 11272   / cdiv 11895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896
This theorem is referenced by:  lediv1  12103  gt0div  12104  ltmuldiv  12111  ltdivmul  12113  ltdiv23  12129  ltdiv1i  12157  ltdiv1d  13087  flltdivnn0lt  13824  quoremz  13846  quoremnn0ALT  13848  fldiv  13851  hashdvds  16737  hashgcdlem  16750  dvcvx  25946  sinq12gt0  26435  tanord1  26464  atanlogsublem  26840  basellem4  27009  chtub  27138  bposlem7  27216  lgsquadlem1  27306  lgsquadlem2  27307  2lgslem1a2  27316  chebbnd1lem3  27397  dp2lt  32602  dpmul4  32631  cvmliftlem6  34894  cvmliftlem7  34895  cvmliftlem8  34896  cvmliftlem9  34897  cvmliftlem10  34898  nn0prpwlem  35800  nndivsub  35935  tan2h  37079  reglogltb  42305  stoweidlem14  45396  stoweidlem26  45408
  Copyright terms: Public domain W3C validator