Theorem ltdiv1 12076

Description: Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltdiv1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem ltdiv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simp3l 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
4		simp3r 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
5	4	gt0ne0d 11776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
6	3, 5	rereccld 12039	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
7		recgt0 12058	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 0 < (1 / 𝐶))
8	7	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < (1 / 𝐶))
9		ltmul1 12062	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐶))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
10	1, 2, 6, 8, 9	syl112anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
11	1	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	3	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	11, 12, 5	divrecd 11991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 / 𝐶) = (𝐴 · (1 / 𝐶)))
14	2	recnd 11240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14, 12, 5	divrecd 11991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
16	13, 15	breq12d 5152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ (𝐴 · (1 / 𝐶)) < (𝐵 · (1 / 𝐶))))
17	10, 16	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   < clt 11246   / cdiv 11869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870

This theorem is referenced by:  lediv1  12077  gt0div  12078  ltmuldiv  12085  ltdivmul  12087  ltdiv23  12103  ltdiv1i  12131  ltdiv1d  13059  flltdivnn0lt  13796  quoremz  13818  quoremnn0ALT  13820  fldiv  13823  hashdvds  16709  hashgcdlem  16722  dvcvx  25877  sinq12gt0  26361  tanord1  26390  atanlogsublem  26766  basellem4  26935  chtub  27064  bposlem7  27142  lgsquadlem1  27232  lgsquadlem2  27233  2lgslem1a2  27242  chebbnd1lem3  27323  dp2lt  32521  dpmul4  32550  cvmliftlem6  34772  cvmliftlem7  34773  cvmliftlem8  34774  cvmliftlem9  34775  cvmliftlem10  34776  nn0prpwlem  35698  nndivsub  35833  tan2h  36974  reglogltb  42143  stoweidlem14  45240  stoweidlem26  45252