MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdvds 16654
Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdvds.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
hashdvds.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
hashdvds.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
hashdvds.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
Assertion
Ref Expression
hashdvds (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem hashdvds
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12541 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 hashdvds.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
3 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5 hashdvds.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
64, 5zsubcld 12619 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
76zred 12614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
8 hashdvds.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
97, 8nndivred 12214 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„)
109flcld 13710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
11 hashdvds.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
12 peano2zm 12553 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1413, 5zsubcld 12619 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
1514zred 12614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
1615, 8nndivred 12214 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„)
1716flcld 13710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
1810, 17zsubcld 12619 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆˆ โ„ค)
19 fzen 13465 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆˆ โ„ค โˆง (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ ((1 + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))...(((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))))
201, 18, 17, 19syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ ((1 + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))...(((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))))
21 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2217zcnd 12615 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
23 addcom 11348 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) = ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1))
2421, 22, 23sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) = ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1))
2510zcnd 12615 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2625, 22npcand 11523 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
2724, 26oveq12d 7380 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))...(((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) + (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) = (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
2820, 27breqtrd 5136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
29 ovexd 7397 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆˆ V)
30 fzfi 13884 . . . . . 6 (๐ด...๐ต) โˆˆ Fin
31 rabexg 5293 . . . . . 6 ((๐ด...๐ต) โˆˆ Fin โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โˆˆ V)
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โˆˆ V)
33 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ) = (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆ’ ๐ถ))
3433breq2d 5122 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐‘ โˆฅ (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆ’ ๐ถ)))
3511adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
364adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
37 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3837adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
398nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4039adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4138, 40zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
425adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
4341, 42zaddcld 12618 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
44 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ๐‘ง)
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ๐‘ง)
46 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ๐‘ง โ†” ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ๐‘ง))
4717, 37, 46syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ๐‘ง โ†” ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ๐‘ง))
4845, 47mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ๐‘ง)
49 fllt 13718 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ๐‘ง โ†” (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ๐‘ง))
5016, 37, 49syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ๐‘ง โ†” (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ๐‘ง))
5148, 50mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ๐‘ง)
5215adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
5338zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
548nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
558nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
5654, 55jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
58 ltdivmul2 12039 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ๐‘ง โ†” ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ง ยท ๐‘)))
5952, 53, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ๐‘ง โ†” ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ง ยท ๐‘)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ง ยท ๐‘))
6113zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
6261adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
635zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6541zred 12614 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
6662, 64, 65ltsubaddd 11758 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ง ยท ๐‘) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ))
68 zlem1lt 12562 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โ‰ค ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ)))
6911, 43, 68syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐ด โ‰ค ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ)))
7067, 69mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ))
71 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
73 flge 13717 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ๐‘ง โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
749, 37, 73syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ง โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ๐‘ง โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
7572, 74mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
767adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
77 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐‘ง โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
7853, 76, 57, 77syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐‘ง โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
7975, 78mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ))
804zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8180adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
82 leaddsub 11638 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง ยท ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘ง ยท ๐‘) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
8365, 64, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘ง ยท ๐‘) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
8479, 83mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ‰ค ๐ต)
8535, 36, 43, 70, 84elfzd 13439 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆˆ (๐ด...๐ต))
86 dvdsmul2 16168 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘))
8738, 40, 86syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ง ยท ๐‘))
8841zcnd 12615 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
895zcnd 12615 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9089adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9188, 90pncand 11520 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆ’ ๐ถ) = (๐‘ง ยท ๐‘))
9287, 91breqtrrd 5138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆ’ ๐ถ))
9334, 85, 92elrabd 3652 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})
9493ex 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}))
95 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))
9695breq2d 5122 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))
9796elrab 3650 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))
9817peano2zd 12617 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โˆˆ โ„ค)
9998adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โˆˆ โ„ค)
10010adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
101 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))
10239adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1038nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
104103adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
105 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
106105ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1075adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
108106, 107zsubcld 12619 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
109 dvdsval2 16146 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
110102, 104, 108, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
111101, 110mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
11261adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
113106zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
11463adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
115 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘ฆ)
116115ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐‘ฆ)
117 zlem1lt 12562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ๐‘ฆ))
11811, 106, 117syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (๐ด โˆ’ 1) < ๐‘ฆ))
119116, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ๐‘ฆ)
120112, 113, 114, 119ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))
12115adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
122108zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
12356adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
124 ltdiv1 12026 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
125121, 122, 123, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) < (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
126120, 125mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
127 fllt 13718 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
12816, 111, 127syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
129126, 128mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
130 zltp1le 12560 . . . . . . . . . 10 (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
13117, 111, 130syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) < ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
132129, 131mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1) โ‰ค ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
13380adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
134 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต)
135134ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต)
136113, 133, 114, 135lesub1dd 11778 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ))
1377adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„)
138 lediv1 12027 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
139122, 137, 123, 138syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
140136, 139mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
141 flge 13717 . . . . . . . . . 10 ((((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
1429, 111, 141syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
143140, 142mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
14499, 100, 111, 132, 143elfzd 13439 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
145144ex 414 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))))
14697, 145biimtrid 241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))))
14797anbi2i 624 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) โ†” (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))))
148108zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
149148adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15038zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
151150adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1528nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
153152adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
154103adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
155149, 151, 153, 154divmul3d 11972 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) = ๐‘ง โ†” (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) = (๐‘ง ยท ๐‘)))
156106zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
157156adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
15889adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
15988adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
160157, 158, 159subadd2d 11538 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) = (๐‘ง ยท ๐‘) โ†” ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) = ๐‘ฆ))
161155, 160bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) = ๐‘ง โ†” ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) = ๐‘ฆ))
162 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) = ๐‘ง)
163 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) โ†” ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ) = ๐‘ฆ)
164161, 162, 1633bitr4g 314 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (๐‘ง = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ)))
165147, 164sylan2b 595 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})) โ†’ (๐‘ง = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ)))
166165ex 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) โ†’ (๐‘ง = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ง ยท ๐‘) + ๐ถ))))
16729, 32, 94, 146, 166en3d 8936 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})
168 entr 8953 . . . 4 (((1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆง (((โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) + 1)...(โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) โ†’ (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})
16928, 167, 168syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})
170 fzfi 13884 . . . 4 (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โˆˆ Fin
171 ssrab2 4042 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โŠ† (๐ด...๐ต)
172 ssfi 9124 . . . . 5 (((๐ด...๐ต) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โŠ† (๐ด...๐ต)) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โˆˆ Fin)
17330, 171, 172mp2an 691 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โˆˆ Fin
174 hashen 14254 . . . 4 (((1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)} โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) โ†” (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}))
175170, 173, 174mp2an 691 . . 3 ((โ™ฏโ€˜(1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) โ†” (1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))) โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)})
176169, 175sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}))
177 eluzle 12783 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ต)
1782, 177syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ต)
179 zre 12510 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
180 zre 12510 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
181 zre 12510 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
182 lesub1 11656 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ต โ†” ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
183179, 180, 181, 182syl3an 1161 . . . . . . 7 (((๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ต โ†” ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
18413, 4, 5, 183syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ต โ†” ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
185178, 184mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ))
186 lediv1 12027 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
18715, 7, 56, 186syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ) โ†” (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)))
188185, 187mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))
189 flword2 13725 . . . 4 (((((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘) โ‰ค ((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
19016, 9, 188, 189syl3anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
191 uznn0sub 12809 . . 3 ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆˆ โ„•0)
192 hashfz1 14253 . . 3 (((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
193190, 191, 1923syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
194176, 193eqtr3d 2779 1 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (๐ด...๐ต) โˆฃ ๐‘ โˆฅ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ถ)}) = ((โŒŠโ€˜((๐ต โˆ’ ๐ถ) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((๐ด โˆ’ 1) โˆ’ ๐ถ) / ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โ™ฏchash 14237   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fl 13704  df-hash 14238  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  phiprmpw  16655  prmreclem4  16798  ppiub  26568  hashnzfz  42674
  Copyright terms: Public domain W3C validator