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Theorem hashdvds 15687
Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashdvds.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
hashdvds (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 11610 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2 hashdvds.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)))
3 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 hashdvds.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
64, 5zsubcld 11689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
76zred 11684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
8 hashdvds.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nndivred 11271 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
109flcld 12807 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11 hashdvds.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
12 peano2zm 11622 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
1413, 5zsubcld 11689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
1514zred 11684 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
1615, 8nndivred 11271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
1716flcld 12807 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
1810, 17zsubcld 11689 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19 fzen 12565 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
201, 18, 17, 19syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2217zcnd 11685 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23 addcom 10424 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
2421, 22, 23sylancr 567 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
2510zcnd 11685 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
2625, 22npcand 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
2724, 26oveq12d 6811 . . . . 5 (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
2820, 27breqtrd 4812 . . . 4 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
29 ovexd 6825 . . . . 5 (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
30 fzfi 12979 . . . . . 6 (𝐴...𝐵) ∈ Fin
31 rabexg 4945 . . . . . 6 ((𝐴...𝐵) ∈ Fin → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ V)
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ V)
33 elfzle1 12551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
35 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
36 zltp1le 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
3717, 35, 36syl2an 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
39 fllt 12815 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
4016, 35, 39syl2an 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
4138, 40mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
4215adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
4335adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
458nnred 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
468nngt0d 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
4745, 46jca 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
49 ltdivmul2 11102 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
5042, 44, 48, 49syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
5141, 50mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
5213zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
545zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5554adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
568nnzd 11683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
5843, 57zmulcld 11690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
5958zred 11684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
6053, 55, 59ltsubaddd 10825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6151, 60mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
6211adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
635adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
6458, 63zaddcld 11688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
65 zlem1lt 11631 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6662, 64, 65syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
6761, 66mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
68 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
6968adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
70 flge 12814 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
719, 35, 70syl2an 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
7269, 71mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
737adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
74 lemuldiv 11105 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
7544, 73, 48, 74syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
7672, 75mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶))
774zred 11684 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7877adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
79 leaddsub 10706 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶)))
8059, 55, 78, 79syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵𝐶)))
8176, 80mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
824adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
83 elfz 12539 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
8464, 62, 82, 83syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ↔ (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)))
8567, 81, 84mpbir2and 684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
86 dvdsmul2 15213 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
8743, 57, 86syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
8858zcnd 11685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
895zcnd 11685 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9089adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9188, 90pncand 10595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
9287, 91breqtrrd 4814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
93 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
9493breq2d 4798 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
9594elrab 3515 . . . . . . 7 (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ↔ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
9685, 92, 95sylanbrc 564 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
9796ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
98 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶) = (𝑦𝐶))
9998breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))
10099elrab 3515 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))
10152adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
102 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
103102ad2antrl 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
104103zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
10554adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
106 elfzle1 12551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴𝑦)
107106ad2antrl 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐴𝑦)
10811adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐴 ∈ ℤ)
109 zlem1lt 11631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
110108, 103, 109syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
111107, 110mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
112101, 104, 105, 111ltsub1dd 10841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶))
11315adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
1145adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
115103, 114zsubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℤ)
116115zred 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℝ)
11747adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
118 ltdiv1 11089 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
119113, 116, 117, 118syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
120112, 119mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁))
12116adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
122 simprr 748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))
12356adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1248nnne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≠ 0)
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
126 dvdsval2 15192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
127123, 125, 115, 126syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
128122, 127mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
129 fllt 12815 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
130121, 128, 129syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
131120, 130mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁))
13217adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
133 zltp1le 11629 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
134132, 128, 133syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁)))
135131, 134mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁))
13677adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
137 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦𝐵)
138137ad2antrl 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦𝐵)
139104, 136, 105, 138lesub1dd 10845 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶))
1407adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
141 lediv1 11090 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
142116, 140, 117, 141syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
143139, 142mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
1449adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
145 flge 12814 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
146144, 128, 145syl2anc 565 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
147143, 146mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))
14817peano2zd 11687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
149148adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
15010adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
151 elfz 12539 . . . . . . . . 9 ((((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
152128, 149, 150, 151syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ↔ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∧ ((𝑦𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
153135, 147, 152mpbir2and 684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))))
154153ex 397 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)) → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
155100, 154syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} → ((𝑦𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))))
156100anbi2i 601 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))))
157115zcnd 11685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
158157adantrl 687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
15943zcnd 11685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
160159adantrr 688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
1618nncnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
162161adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
163124adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑁 ≠ 0)
164158, 160, 162, 163divmul3d 11037 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
165103zcnd 11685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
166165adantrl 687 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
16789adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
16888adantrr 688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
169166, 167, 168subadd2d 10613 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → ((𝑦𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
170164, 169bitrd 268 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
171 eqcom 2778 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
172 eqcom 2778 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
173170, 171, 1723bitr4g 303 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
174156, 173sylan2b 573 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
175174ex 397 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
17629, 32, 97, 155, 175en3d 8146 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
177 entr 8161 . . . 4 (((1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
17828, 176, 177syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
179 fzfi 12979 . . . 4 (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin
180 ssrab2 3836 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)
181 ssfi 8336 . . . . 5 (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)) → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin)
18230, 180, 181mp2an 664 . . . 4 {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin
183 hashen 13339 . . . 4 (((1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)} ∈ Fin) → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
184179, 182, 183mp2an 664 . . 3 ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)})
185178, 184sylibr 224 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}))
186 eluzle 11901 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
1872, 186syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
188 zre 11583 . . . . . . . 8 ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
189 zre 11583 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
190 zre 11583 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
191 lesub1 10724 . . . . . . . 8 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
192188, 189, 190, 191syl3an 1163 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
19313, 4, 5, 192syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
194187, 193mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶))
195 lediv1 11090 . . . . . 6 ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
19615, 7, 47, 195syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)))
197194, 196mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁))
198 flword2 12822 . . . 4 (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
19916, 9, 197, 198syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
200 uznn0sub 11921 . . 3 ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ0)
201 hashfz1 13338 . . 3 (((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
202199, 200, 2013syl 18 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
203185, 202eqtr3d 2807 1 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cen 8106  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  cfl 12799  chash 13321  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fl 12801  df-hash 13322  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  phiprmpw  15688  prmreclem4  15830  ppiub  25150  hashnzfz  39045
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