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Theorem hashdvds 16291

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hashdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)

**Assertion**
Ref	Expression
hashdvds	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑁 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
3		eluzelz 12413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6	4, 5	zsubcld 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
7	6	zred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
8		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		peano2zm 12185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13, 5	zsubcld 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
15	14	zred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
16	15, 8	nndivred 11849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
18	10, 17	zsubcld 12252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19		fzen 13094	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21		ax-1cn 10752	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	17	zcnd 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23		addcom 10983	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
24	21, 22, 23	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
25	10	zcnd 12248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
26	25, 22	npcand 11158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
27	24, 26	oveq12d 7209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
28	20, 27	breqtrd 5065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
29		ovexd 7226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
30		fzfi 13510	. . . . . 6 ⊢ (𝐴...𝐵) ∈ Fin
31		rabexg 5209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∈ Fin → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
33		oveq1 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
34	33	breq2d 5051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
35	11	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
36	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
37		elfzelz 13077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
38	37	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
39	8	nnzd 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	38, 40	zmulcld 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
42	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
43	41, 42	zaddcld 12251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
44		elfzle1 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
45	44	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
46		zltp1le 12192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
47	17, 37, 46	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
48	45, 47	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
49		fllt 13346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
50	16, 37, 49	syl2an 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
51	48, 50	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
52	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
53	38	zred 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
54	8	nnred 11810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	8	nngt0d 11844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
56	54, 55	jca 515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
57	56	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
58		ltdivmul2 11674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
60	51, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
61	13	zred 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
63	5	zred 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
64	63	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
65	41	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	ltsubaddd 11393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
67	60, 66	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
68		zlem1lt 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
69	11, 43, 68	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
70	67, 69	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
71		elfzle2 13081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
72	71	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
73		flge 13345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
74	9, 37, 73	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
75	72, 74	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
76	7	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
77		lemuldiv 11677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
78	53, 76, 57, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
79	75, 78	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶))
80	4	zred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		leaddsub 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
83	65, 64, 81, 82	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
84	79, 83	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
85	35, 36, 43, 70, 84	elfzd 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
86		dvdsmul2 15803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
87	38, 40, 86	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
88	41	zcnd 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	5	zcnd 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	89	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	88, 90	pncand 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
92	87, 91	breqtrrd 5067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
93	34, 85, 92	elrabd 3593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
94	93	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
95		oveq1 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
96	95	breq2d 5051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
97	96	elrab 3591	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
98	17	peano2zd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
99	98	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
100	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
101		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))
102	39	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
103	8	nnne0d 11845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
104	103	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
105		elfzelz 13077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
107	5	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
108	106, 107	zsubcld 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ)
109		dvdsval2 15781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
110	102, 104, 108, 109	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
111	101, 110	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
112	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
113	106	zred 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
114	63	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
115		elfzle1 13080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑦)
116	115	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
117		zlem1lt 12194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
118	11, 106, 117	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
119	116, 118	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
120	112, 113, 114, 119	ltsub1dd 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶))
121	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
122	108	zred 12247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ)
123	56	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
124		ltdiv1 11661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
125	121, 122, 123, 124	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
126	120, 125	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
127		fllt 13346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
128	16, 111, 127	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
129	126, 128	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
130		zltp1le 12192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
131	17, 111, 130	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
132	129, 131	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
133	80	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
134		elfzle2 13081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
135	134	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≤ 𝐵)
136	113, 133, 114, 135	lesub1dd 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
137	7	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
138		lediv1 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
139	122, 137, 123, 138	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
140	136, 139	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
141		flge 13345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
142	9, 111, 141	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
143	140, 142	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
144	99, 100, 111, 132, 143	elfzd 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
145	144	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
146	97, 145	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
147	97	anbi2i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))))
148	108	zcnd 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
149	148	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
150	38	zcnd 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
151	150	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
152	8	nncnd 11811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
153	152	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
154	103	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ≠ 0)
155	149, 151, 153, 154	divmul3d 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
156	106	zcnd 12248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
157	156	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
158	89	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159	88	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
160	157, 158, 159	subadd2d 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → ((𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
161	155, 160	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
162		eqcom 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
163		eqcom 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
164	161, 162, 163	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
165	147, 164	sylan2b 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
166	165	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
167	29, 32, 94, 146, 166	en3d 8643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
168		entr 8658	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
169	28, 167, 168	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
170		fzfi 13510	. . . 4 ⊢ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin
171		ssrab2 3979	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)
172		ssfi 8829	. . . . 5 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)) → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin)
173	30, 171, 172	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin
174		hashen 13878	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin) → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
175	170, 173, 174	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
176	169, 175	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
177		eluzle 12416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
178	2, 177	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
179		zre 12145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
180		zre 12145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
181		zre 12145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
182		lesub1 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
183	179, 180, 181, 182	syl3an 1162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
184	13, 4, 5, 183	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
185	178, 184	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
186		lediv1 11662	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
187	15, 7, 56, 186	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
188	185, 187	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
189		flword2 13353	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
190	16, 9, 188, 189	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
191		uznn0sub 12438	. . 3 ⊢ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
192		hashfz1 13877	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
193	190, 191, 192	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
194	176, 193	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 = wceq 1543 ∈ wcel 2112 ≠ wne 2932 {crab 3055 Vcvv 3398 ⊆ wss 3853 class class class wbr 5039 ‘cfv 6358 (class class class)co 7191 ≈ cen 8601 Fincfn 8604 ℂcc 10692 ℝcr 10693 0cc0 10694 1c1 10695 + caddc 10697 · cmul 10699 < clt 10832 ≤ cle 10833 − cmin 11027 / cdiv 11454 ℕcn 11795 ℕ₀cn0 12055 ℤcz 12141 ℤ_≥cuz 12403 ...cfz 13060 ⌊cfl 13330 ♯chash 13861 ∥ cdvds 15778

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2018 ax-8 2114 ax-9 2122 ax-10 2143 ax-11 2160 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5177 ax-nul 5184 ax-pow 5243 ax-pr 5307 ax-un 7501 ax-cnex 10750 ax-resscn 10751 ax-1cn 10752 ax-icn 10753 ax-addcl 10754 ax-addrcl 10755 ax-mulcl 10756 ax-mulrcl 10757 ax-mulcom 10758 ax-addass 10759 ax-mulass 10760 ax-distr 10761 ax-i2m1 10762 ax-1ne0 10763 ax-1rid 10764 ax-rnegex 10765 ax-rrecex 10766 ax-cnre 10767 ax-pre-lttri 10768 ax-pre-lttrn 10769 ax-pre-ltadd 10770 ax-pre-mulgt0 10771 ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2073 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2809 df-nfc 2879 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3056 df-rex 3057 df-reu 3058 df-rmo 3059 df-rab 3060 df-v 3400 df-sbc 3684 df-csb 3799 df-dif 3856 df-un 3858 df-in 3860 df-ss 3870 df-pss 3872 df-nul 4224 df-if 4426 df-pw 4501 df-sn 4528 df-pr 4530 df-tp 4532 df-op 4534 df-uni 4806 df-int 4846 df-iun 4892 df-br 5040 df-opab 5102 df-mpt 5121 df-tr 5147 df-id 5440 df-eprel 5445 df-po 5453 df-so 5454 df-fr 5494 df-we 5496 df-xp 5542 df-rel 5543 df-cnv 5544 df-co 5545 df-dm 5546 df-rn 5547 df-res 5548 df-ima 5549 df-pred 6140 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6316 df-fun 6360 df-fn 6361 df-f 6362 df-f1 6363 df-fo 6364 df-f1o 6365 df-fv 6366 df-riota 7148 df-ov 7194 df-oprab 7195 df-mpo 7196 df-om 7623 df-1st 7739 df-2nd 7740 df-wrecs 8025 df-recs 8086 df-rdg 8124 df-1o 8180 df-er 8369 df-en 8605 df-dom 8606 df-sdom 8607 df-fin 8608 df-sup 9036 df-inf 9037 df-card 9520 df-pnf 10834 df-mnf 10835 df-xr 10836 df-ltxr 10837 df-le 10838 df-sub 11029 df-neg 11030 df-div 11455 df-nn 11796 df-n0 12056 df-z 12142 df-uz 12404 df-fz 13061 df-fl 13332 df-hash 13862 df-dvds 15779

This theorem is referenced by: phiprmpw 16292 prmreclem4 16435 ppiub 26039 hashnzfz 41552

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