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Theorem hashdvds 16476

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hashdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
hashdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
hashdvds.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)

**Assertion**
Ref	Expression
hashdvds	⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝑁 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashdvds Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)))
3		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
6	4, 5	zsubcld 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
7	6	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
8		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
10	9	flcld 13518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
12		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
14	13, 5	zsubcld 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℤ)
15	14	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
16	15, 8	nndivred 12027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ)
17	16	flcld 13518	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
18	10, 17	zsubcld 12431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ)
19		fzen 13273	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))))
21		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	17	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
23		addcom 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ) → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
24	21, 22, 23	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1))
25	10	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℂ)
26	25, 22	npcand 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) = (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
27	24, 26	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))...(((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) + (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) = (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
28	20, 27	breqtrd 5100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
29		ovexd 7310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∈ V)
30		fzfi 13692	. . . . . 6 ⊢ (𝐴...𝐵) ∈ Fin
31		rabexg 5255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴...𝐵) ∈ Fin → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ V)
33		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑥 − 𝐶) = (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
34	33	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶)))
35	11	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
36	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
37		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℤ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℤ)
39	8	nnzd 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	38, 40	zmulcld 12432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℤ)
42	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
43	41, 42	zaddcld 12430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ)
44		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧)
46		zltp1le 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
47	17, 37, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧 ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ 𝑧))
48	45, 47	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧)
49		fllt 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
50	16, 37, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < 𝑧))
51	48, 50	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧)
52	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
53	38	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
54	8	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
55	8	nngt0d 12022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
56	54, 55	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
58		ltdivmul2 11852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
59	52, 53, 57, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < 𝑧 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁)))
60	51, 59	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁))
61	13	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
63	5	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℝ)
65	41	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	ltsubaddd 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑧 · 𝑁) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
67	60, 66	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
68		zlem1lt 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
69	11, 43, 68	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ (𝐴 − 1) < ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
70	67, 69	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐴 ≤ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))
71		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
73		flge 13525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
74	9, 37, 73	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
75	72, 74	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
76	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
77		lemuldiv 11855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
78	53, 76, 57, 77	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝑧 ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
79	75, 78	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶))
80	4	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		leaddsub 11451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
83	65, 64, 81, 82	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝑧 · 𝑁) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
84	79, 83	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ≤ 𝐵)
85	35, 36, 43, 70, 84	elfzd 13247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ (𝐴...𝐵))
86		dvdsmul2 15988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
87	38, 40, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑁))
88	41	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
89	5	zcnd 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
90	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	88, 90	pncand 11333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁))
92	87, 91	breqtrrd 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑁 ∥ (((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) − 𝐶))
93	34, 85, 92	elrabd 3626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
94	93	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) → ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
95		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝐶) = (𝑦 − 𝐶))
96	95	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶) ↔ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
97	96	elrab 3624	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))
98	17	peano2zd 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
99	98	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ∈ ℤ)
100	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ)
101		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))
102	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ∈ ℤ)
103	8	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑁 ≠ 0)
105		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
106	105	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℤ)
107	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
108	106, 107	zsubcld 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ)
109		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
110	102, 104, 108, 109	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ))
111	101, 110	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ)
112	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
113	106	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℝ)
114	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
115		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑦)
116	115	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝑦)
117		zlem1lt 12372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
118	11, 106, 117	syl2an2r 682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ (𝐴 − 1) < 𝑦))
119	116, 118	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐴 − 1) < 𝑦)
120	112, 113, 114, 119	ltsub1dd 11587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶))
121	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ)
122	108	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ)
123	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
124		ltdiv1 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
125	121, 122, 123, 124	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) < (𝑦 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
126	120, 125	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
127		fllt 13526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
128	16, 111, 127	syl2an2r 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
129	126, 128	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
130		zltp1le 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
131	17, 111, 130	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) < ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁)))
132	129, 131	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1) ≤ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁))
133	80	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
134		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ≤ 𝐵)
135	134	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ≤ 𝐵)
136	113, 133, 114, 135	lesub1dd 11591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
137	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ)
138		lediv1 11840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
139	122, 137, 123, 138	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
140	136, 139	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
141		flge 13525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
142	9, 111, 141	syl2an2r 682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
143	140, 142	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
144	99, 100, 111, 132, 143	elfzd 13247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))))
145	144	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)) → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
146	97, 145	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} → ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))))
147	97	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))))
148	108	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
149	148	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑦 − 𝐶) ∈ ℂ)
150	38	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
151	150	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑧 ∈ ℂ)
152	8	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
154	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑁 ≠ 0)
155	149, 151, 153, 154	divmul3d 11785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ (𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁)))
156	106	zcnd 12427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶))) → 𝑦 ∈ ℂ)
157	156	adantrl 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
158	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → 𝐶 ∈ ℂ)
159	88	adantrr 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 · 𝑁) ∈ ℂ)
160	157, 158, 159	subadd2d 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → ((𝑦 − 𝐶) = (𝑧 · 𝑁) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
161	155, 160	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧 ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦))
162		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) = 𝑧)
163		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) ↔ ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶) = 𝑦)
164	161, 162, 163	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) ∧ 𝑁 ∥ (𝑦 − 𝐶)))) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
165	147, 164	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶)))
166	165	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (𝑧 = ((𝑦 − 𝐶) / 𝑁) ↔ 𝑦 = ((𝑧 · 𝑁) + 𝐶))))
167	29, 32, 94, 146, 166	en3d 8777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
168		entr 8792	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)) + 1)...(⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
169	28, 167, 168	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
170		fzfi 13692	. . . 4 ⊢ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin
171		ssrab2 4013	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)
172		ssfi 8956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ⊆ (𝐴...𝐵)) → {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin)
173	30, 171, 172	mp2an 689	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin
174		hashen 14061	. . . 4 ⊢ (((1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)} ∈ Fin) → ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
175	170, 173, 174	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) ↔ (1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁)))) ≈ {𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)})
176	169, 175	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}))
177		eluzle 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘(𝐴 − 1)) → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
178	2, 177	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐵)
179		zre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
180		zre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
181		zre 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
182		lesub1 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
183	179, 180, 181, 182	syl3an 1159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
184	13, 4, 5, 183	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) ≤ 𝐵 ↔ ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶)))
185	178, 184	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶))
186		lediv1 11840	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
187	15, 7, 56, 186	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) ≤ (𝐵 − 𝐶) ↔ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)))
188	185, 187	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁))
189		flword2 13533	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁) ≤ ((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
190	16, 9, 188, 189	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
191		uznn0sub 12617	. . 3 ⊢ ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) → ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀)
192		hashfz1 14060	. . 3 ⊢ (((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
193	190, 191, 192	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))
194	176, 193	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐴...𝐵) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝐶)}) = ((⌊‘((𝐵 − 𝐶) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐴 − 1) − 𝐶) / 𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 {crab 3068 Vcvv 3432 ⊆ wss 3887 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ≈ cen 8730 Fincfn 8733 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ...cfz 13239 ⌊cfl 13510 ♯chash 14044 ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-fz 13240 df-fl 13512 df-hash 14045 df-dvds 15964

This theorem is referenced by: phiprmpw 16477 prmreclem4 16620 ppiub 26352 hashnzfz 41938

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