Theorem gtndiv 12581

Description: A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
gtndiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gtndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nnre 12164	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nngt0 12188	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
6	5	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
7	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
8		0re 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		lttr 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
10	8, 9	mp3an1 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
11	2, 10	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
12	11	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
13	7, 12	mpand 696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
14	13	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
15	3, 4, 6, 14	divgt0d 12089	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐵 / 𝐴))
16		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
17		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		ltdivmul2 12031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
19	17, 18	mp3an2 1452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
20	3, 4, 14, 19	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
21		recn 11128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	mullidd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
23	22	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
25	20, 24	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐴))
26	16, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < 1)
27		0p1e1 12274	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
28	26, 27	breqtrrdi 5142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1))
29		btwnnz 12580	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
30	1, 15, 28, 29	mp3an2i 1469	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  prime  12585