MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtndiv 12693
Description: A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
gtndiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gtndiv
StepHypRef Expression
1 0z 12622 . 2 0 ∈ ℤ
2 nnre 12271 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
323ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 simp1 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 nngt0 12295 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
653ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
75adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
8 0re 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 lttr 11335 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
108, 9mp3an1 1447 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
112, 10sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
1211ancoms 458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
137, 12mpand 695 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
14133impia 1116 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
153, 4, 6, 14divgt0d 12201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐵 / 𝐴))
16 simp3 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
17 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 ltdivmul2 12143 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
1917, 18mp3an2 1448 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
203, 4, 14, 19syl12anc 837 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
21 recn 11243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2221mullidd 11277 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2322breq2d 5160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
24233ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
2520, 24bitrd 279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐴))
2616, 25mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < 1)
27 0p1e1 12386 . . 3 (0 + 1) = 1
2826, 27breqtrrdi 5190 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1))
29 btwnnz 12692 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
301, 15, 28, 29mp3an2i 1465 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   / cdiv 11918  cn 12264  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  prime  12697
  Copyright terms: Public domain W3C validator