MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtndiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gtndiv 12047
Description: A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
gtndiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gtndiv
StepHypRef Expression
1 0z 11980 . 2 0 ∈ ℤ
2 nnre 11633 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
323ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 simp1 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 nngt0 11656 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
653ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
75adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
8 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 lttr 10705 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
108, 9mp3an1 1439 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
112, 10sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
1211ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
137, 12mpand 691 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
14133impia 1109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
153, 4, 6, 14divgt0d 11563 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐵 / 𝐴))
16 simp3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
17 1re 10629 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
18 ltdivmul2 11505 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
1917, 18mp3an2 1440 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
203, 4, 14, 19syl12anc 832 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
21 recn 10615 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2221mulid2d 10647 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2322breq2d 5069 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
24233ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
2520, 24bitrd 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐴))
2616, 25mpbird 258 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < 1)
27 0p1e1 11747 . . 3 (0 + 1) = 1
2826, 27breqtrrdi 5099 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1))
29 btwnnz 12046 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
301, 15, 28, 29mp3an2i 1457 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  prime  12051
  Copyright terms: Public domain W3C validator