Theorem equivtotbnd 37745

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivtotbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivtotbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd

Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivtotbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3		equivtotbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 12988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6		equivtotbnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8		istotbnd3 37738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
9	8	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	iuneq2d 4982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
13	12	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
14	13	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
15	14	rspcv 3581	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
16	5, 10, 15	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17		elfpw 9281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin))
18	17	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
20	19	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
23	8	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25		equivtotbnd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
26	21, 22, 1, 24, 3, 25	metss2lem 24375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
27	26	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
28	27	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
29	20, 28	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
30	29	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31		ss2iun 4970	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33		sseq1 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
34	32, 33	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
35	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 24198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 12972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40		blssm 24282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
41	37, 20, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
42	41	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43		iunss 5004	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
45	34, 44	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46		eqss 3959	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
47	45, 46	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
48	47	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
49	16, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
50	49	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51		istotbnd3 37738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
52	1, 50, 51	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927  ∞Metcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  TotBndctotbnd 37733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-totbnd 37735

This theorem is referenced by:  equivbnd2  37759