Theorem equivtotbnd 38449

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivtotbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivtotbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd

Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivtotbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3		equivtotbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 13072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6		equivtotbnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8		istotbnd3 38442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
9	8	simprbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	iuneq2d 4987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
13	12	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
14	13	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
15	14	rspcv 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
16	5, 10, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17		elfpw 9307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin))
18	17	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
19	18	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
20	19	sselda 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
23	8	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
24	6, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25		equivtotbnd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
26	21, 22, 1, 24, 3, 25	metss2lem 24668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
27	26	anass1rs 667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
28	27	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
29	20, 28	syldan 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
30	29	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31		ss2iun 4975	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33		sseq1 3962	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
34	32, 33	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
35	1	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 24491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38		simpllr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40		blssm 24575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
41	37, 20, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
42	41	ralrimiva 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43		iunss 5009	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
44	42, 43	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
45	34, 44	jctild 534	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46		eqss 3952	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
47	45, 46	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
48	47	reximdva 3178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
49	16, 48	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
50	49	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51		istotbnd3 38442	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
52	1, 50, 51	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939   · cmul 11100  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  ℝ⁺crp 13011  ∞Metcxmet 21507  Metcmet 21508  ballcbl 21509  MetOpencmopn 21512  TotBndctotbnd 38437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-totbnd 38439

This theorem is referenced by:  equivbnd2  38463