Theorem equivtotbnd 38712

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivtotbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivtotbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd

Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivtotbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3		equivtotbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 13181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6		equivtotbnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8		istotbnd3 38705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
9	8	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
10	7, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	iuneq2d 4981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
13	12	eqeq1d 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
14	13	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
15	14	rspcv 3573	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
16	5, 10, 15	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17		elfpw 9343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin))
18	17	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
20	19	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
23	8	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
24	6, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25		equivtotbnd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
26	21, 22, 1, 24, 3, 25	metss2lem 24830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
27	26	anass1rs 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
28	27	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
29	20, 28	syldan 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
30	29	ralrimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31		ss2iun 4970	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33		sseq1 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
34	32, 33	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
35	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 24653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40		blssm 24737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
41	37, 20, 39, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
42	41	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43		iunss 5003	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
44	42, 43	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
45	34, 44	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46		eqss 3946	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
47	45, 46	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
48	47	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
49	16, 48	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
50	49	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51		istotbnd3 38705	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
52	1, 50, 51	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℝ⁺crp 13120  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  ballcbl 21665  MetOpencmopn 21668  TotBndctotbnd 38700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-totbnd 38702

This theorem is used by:  equivbnd2  38726