Theorem equivtotbnd 37765

Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
equivtotbnd.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
equivtotbnd	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd

Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equivtotbnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3		equivtotbnd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 13092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6		equivtotbnd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8		istotbnd3 37758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
9	8	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	iuneq2d 5027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
13	12	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
14	13	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
15	14	rspcv 3618	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
16	5, 10, 15	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17		elfpw 9392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ Fin))
18	17	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ 𝑋)
20	19	sselda 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
23	8	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25		equivtotbnd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
26	21, 22, 1, 24, 3, 25	metss2lem 24540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
27	26	anass1rs 655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
28	27	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
29	20, 28	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
30	29	ralrimiva 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31		ss2iun 5015	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33		sseq1 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
34	32, 33	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
35	1	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 24360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
39	38	rpxrd 13076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40		blssm 24444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
41	37, 20, 39, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
42	41	ralrimiva 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43		iunss 5050	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
44	42, 43	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
45	34, 44	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46		eqss 4011	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
47	45, 46	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
48	47	reximdva 3166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
49	16, 48	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
50	49	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51		istotbnd3 37758	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)∪ 𝑥 ∈ 𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
52	1, 50, 51	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℝ⁺crp 13032  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  TotBndctotbnd 37753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-totbnd 37755

This theorem is referenced by:  equivbnd2  37779