Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  equivtotbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem equivtotbnd 36237
Description: If the metric 𝑀 is "strongly finer" than 𝑁 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝑁(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝑀(𝑥, 𝑦)), then total boundedness of 𝑀 implies total boundedness of 𝑁. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then one is totally bounded iff the other is.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
equivtotbnd.1 (𝜑𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
equivtotbnd.2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
equivtotbnd.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
equivtotbnd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
equivtotbnd (𝜑𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem equivtotbnd
Dummy variables 𝑣 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equivtotbnd.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
2 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3 equivtotbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
52, 4rpdivcld 12974 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
6 equivtotbnd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋))
8 istotbnd3 36230 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋))
98simprbi 497 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋)
11 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
1211iuneq2d 4983 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)))
1312eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
1413rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
1514rspcv 3577 . . . . 5 ((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ → (∀𝑠 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)𝑠) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋))
165, 10, 15sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋)
17 elfpw 9298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↔ (𝑣𝑋𝑣 ∈ Fin))
1817simplbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑣𝑋)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑣𝑋)
2019sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑋)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘𝑁) = (MetOpen‘𝑁)
22 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘𝑀) = (MetOpen‘𝑀)
238simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
246, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
25 equivtotbnd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝑁𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝑀𝑦)))
2621, 22, 1, 24, 3, 25metss2lem 23867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
2726anass1rs 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
2827adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
2920, 28syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
3029ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
31 ss2iun 4972 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) → 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))
33 sseq1 3969 . . . . . . . 8 ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ↔ 𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
3432, 33syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
351ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑁 ∈ (Met‘𝑋))
36 metxmet 23687 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋))
38 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ+)
3938rpxrd 12958 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40 blssm 23771 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
4137, 20, 39, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
4241ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
43 iunss 5005 . . . . . . . 8 ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
4442, 43sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋)
4534, 44jctild 526 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟))))
46 eqss 3959 . . . . . 6 ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋 ↔ ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) ⊆ 𝑋𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟)))
4745, 46syl6ibr 251 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → ( 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
4847reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑀)(𝑟 / 𝑅)) = 𝑋 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
4916, 48mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
5049ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋)
51 istotbnd3 36230 . 2 (𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑁 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) 𝑥𝑣 (𝑥(ball‘𝑁)𝑟) = 𝑋))
521, 50, 51sylanbrc 583 1 (𝜑𝑁 ∈ (TotBnd‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   ciun 4954   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  MetOpencmopn 20786  TotBndctotbnd 36225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-totbnd 36227
This theorem is referenced by:  equivbnd2  36251
  Copyright terms: Public domain W3C validator