Theorem metequiv2 24809

Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metequiv2	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐶   𝐽,𝑟,𝑠,𝑥   𝐾,𝑟,𝑠,𝑥   𝐷,𝑟,𝑠,𝑥   𝑋,𝑟,𝑠,𝑥

Proof of Theorem metequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrr 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠))
2		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
5	4	rpxrd 13146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6		simprll 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	6	rpxrd 13146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
8		simprrl 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ≤ 𝑟)
9		ssbl 24722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
10	2, 3, 5, 7, 8, 9	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
11	1, 10	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
12		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13		ssbl 24722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
14	12, 3, 5, 7, 8, 13	syl221anc 1408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
15	1, 14	eqsstrd 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
16	11, 15	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
17	16	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
18	17	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
19	18	reximdva 3176	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
20		r19.40 3129	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
21	19, 20	syl6 36	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
22	21	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
23		r19.26 3123	. . . 4 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ↔ (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
24	22, 23	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
25	24	ralimdva 3175	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
26		metequiv.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
27		metequiv.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
28	26, 27	metequiv 24808	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽 = 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
29	25, 28	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13101  ∞Metcxmet 21643  ballcbl 21645  MetOpencmopn 21648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-bases 23244

This theorem is used by:  stdbdmopn  24817