Theorem metss2 24372

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), then 𝐷 generates a finer topology. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they generate the same topology.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem metss2

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		metss2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 13002	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		metequiv.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
6		metequiv.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
7		metss2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
8		metss2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9		metss2.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
10	5, 6, 7, 8, 2, 9	metss2lem 24371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
11		oveq2 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	sseq1d 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
13	12	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ (((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
14	4, 10, 13	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
15	14	ralrimivva 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
16		metxmet 24191	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	7, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		metxmet 24191	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19	8, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20	5, 6	metss 24368	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
21	17, 19, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
22	15, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   · cmul 11114   ≤ cle 11250   / cdiv 11872  ℝ⁺crp 12977  ∞Metcxmet 21221  Metcmet 21222  ballcbl 21223  MetOpencmopn 21226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-bases 22800

This theorem is referenced by:  equivcmet  25196