Theorem metss2 24428

Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), then 𝐷 generates a finer topology. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they generate the same topology.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
metss2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem metss2

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2		metss2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3		rpdivcl 12919	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5		metequiv.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
6		metequiv.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
7		metss2.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
8		metss2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9		metss2.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
10	5, 6, 7, 8, 2, 9	metss2lem 24427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
11		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
12	11	sseq1d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
13	12	rspcev 3573	. . . 4 ⊢ (((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
14	4, 10, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
15	14	ralrimivva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
16		metxmet 24250	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	7, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
18		metxmet 24250	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19	8, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20	5, 6	metss 24424	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
21	17, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ⊆ 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
22	15, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   · cmul 11018   ≤ cle 11154   / cdiv 11781  ℝ⁺crp 12892  ∞Metcxmet 21278  Metcmet 21279  ballcbl 21280  MetOpencmopn 21283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-topgen 17349  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-bases 22862

This theorem is referenced by:  equivcmet  25245