MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2 24441
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐢 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐢(π‘₯, 𝑦) ≀ 𝑅 Β· 𝐷(π‘₯, 𝑦)), then 𝐷 generates a finer topology. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they generate the same topology.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
metss2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
metss2.3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑅(π‘₯)

Proof of Theorem metss2
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2 metss2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
3 rpdivcl 13039 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anr 595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 metequiv.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
6 metequiv.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
7 metss2.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
8 metss2.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9 metss2.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯𝐢𝑦) ≀ (𝑅 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
105, 6, 7, 8, 2, 9metss2lem 24440 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
11 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) = (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)))
1211sseq1d 4013 . . . . 5 (𝑠 = (π‘Ÿ / 𝑅) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
1312rspcev 3611 . . . 4 (((π‘Ÿ / 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)(π‘Ÿ / 𝑅)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
144, 10, 13syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
1514ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ))
16 metxmet 24260 . . . 4 (𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
177, 16syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18 metxmet 24260 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
198, 18syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
205, 6metss 24437 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐽 βŠ† 𝐾 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
2117, 19, 20syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 βŠ† 𝐾 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑠) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜πΆ)π‘Ÿ)))
2215, 21mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287   / cdiv 11909  β„+crp 13014  βˆžMetcxmet 21271  Metcmet 21272  ballcbl 21273  MetOpencmopn 21276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-bases 22869
This theorem is referenced by:  equivcmet  25265
  Copyright terms: Public domain W3C validator