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Theorem mplcoe5 21587
Description: Decompose a monomial into a finite product of powers of variables. Instead of assuming that 𝑅 is a commutative ring (as in mplcoe2 21588), it is sufficient that 𝑅 is a ring and all the variables of the multivariate polynomial commute. (Contributed by AV, 7-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplcoe1.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplcoe1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplcoe1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplcoe1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplcoe1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplcoe2.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mplcoe2.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
mplcoe2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplcoe5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplcoe5.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
mplcoe5.c (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
mplcoe5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜, ↑ ,𝑦   1 ,π‘˜   π‘₯,𝑦, 1   π‘˜,𝐺,π‘₯   𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝐼   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑓,𝑦   𝐷,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑃,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑉,π‘₯   0 ,𝑓,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑓,π‘Œ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,π‘Š,𝑦   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦, ↑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(π‘₯,π‘˜)   1 (𝑓)   ↑ (𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)   π‘Š(π‘₯,𝑓)
Proof of Theorem mplcoe5
Dummy variables 𝑖 𝑀 𝑧 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplcoe5.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
2 mplcoe1.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplcoe1.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
43psrbag 21462 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐷 ↔ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)))
61, 5mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin))
76simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
87feqmptd 6958 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘–)))
9 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•)) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
11 eldif 3958 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•)) ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ 𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•)))
12 fcdmnn0supp 12525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (π‘Œ supp 0) = (β—‘π‘Œ β€œ β„•))
132, 7, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ supp 0) = (β—‘π‘Œ β€œ β„•))
14 eqimss 4040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Œ supp 0) = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (π‘Œ supp 0) βŠ† (β—‘π‘Œ β€œ β„•))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ supp 0) βŠ† (β—‘π‘Œ β€œ β„•))
16 c0ex 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
187, 15, 2, 17suppssr 8178 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = 0)
1918ifeq2d 4548 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), (π‘Œβ€˜π‘–)) = if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
20 ifid 4568 . . . . . . . . . . 11 if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), (π‘Œβ€˜π‘–)) = (π‘Œβ€˜π‘–)
2119, 20eqtr3di 2788 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
2211, 21sylan2br 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ Β¬ 𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
2322anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•)) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
2410, 23pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
2524mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘–)))
268, 25eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
2726eqeq2d 2744 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 = π‘Œ ↔ 𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))))
2827ifbid 4551 . . 3 (πœ‘ β†’ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))
2928mpteq2dv 5250 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )))
30 cnvimass 6078 . . . . 5 (β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† dom π‘Œ
3130, 7fssdm 6735 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼)
326simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin)
33 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 ↔ βˆ… βŠ† 𝐼))
34 noel 4330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Β¬ 𝑖 ∈ βˆ…
35 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑀 ↔ 𝑖 ∈ βˆ…))
3634, 35mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = βˆ… β†’ Β¬ 𝑖 ∈ 𝑀)
3736iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = βˆ… β†’ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = 0)
3837mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 0))
39 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 Γ— {0}) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ 0)
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝐼 Γ— {0}))
4140eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ↔ 𝑦 = (𝐼 Γ— {0})))
4241ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
4342mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )))
44 mpteq1 5241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
45 mpt0 6690 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ βˆ… ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = βˆ…
4644, 45eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = βˆ… β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = βˆ…)
4746oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
48 mplcoe2.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
5048, 49ringidval 20001 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜πΊ)
5150gsum0 18600 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = (1rβ€˜π‘ƒ)
5247, 51eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5343, 52eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )) = (1rβ€˜π‘ƒ)))
5433, 53imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )) = (1rβ€˜π‘ƒ))))
5554imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑀 = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )) = (1rβ€˜π‘ƒ)))))
56 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐼))
57 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑀 ↔ 𝑖 ∈ π‘₯))
5857ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
5958mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
6059eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ↔ 𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0))))
6160ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))
6261mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )))
63 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
6463oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
6562, 64eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
6656, 65imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
6766imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))))
68 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))
69 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑖 ∈ 𝑀 ↔ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
7069ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
7170mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
7271eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ↔ 𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))))
7372ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))
7473mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )))
75 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
7675oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
7774, 76eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
7868, 77imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) ↔ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
7978imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))))
80 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 ↔ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼))
81 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝑀 ↔ 𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•)))
8281ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
8382mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
8483eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ↔ 𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))))
8584ifbid 4551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))
8685mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )))
87 mpteq1 5241 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
8887oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
8986, 88eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
9080, 89imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ ((𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) ↔ ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
9190imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑀 = (β—‘π‘Œ β€œ β„•) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑀 βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ 𝑀, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))))
92 mplcoe1.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
93 mplcoe1.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
94 mplcoe1.o . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘…)
95 mplcoe5.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9692, 3, 93, 94, 49, 2, 95mpl1 21563 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )))
9796, 49eqtr3di 2788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )) = (1rβ€˜π‘ƒ))
9897a1d 25 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ… βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 )) = (1rβ€˜π‘ƒ)))
99 ssun1 4172 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
100 sstr2 3989 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
102101imim1i 63 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
103 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))))
104 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
1052adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
10695adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1077adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
108107ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
109 0nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ β„•0
110 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) ∈ β„•0)
111108, 109, 110sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) ∈ β„•0)
112111fmpttd 7112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)):πΌβŸΆβ„•0)
113 fcdmnn0supp 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)):πΌβŸΆβ„•0) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) supp 0) = (β—‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) β€œ β„•))
114105, 112, 113syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) supp 0) = (β—‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) β€œ β„•))
115 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
116 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯)
117116adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯)) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯)
118117iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯)) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = 0)
119118, 105suppss2 8182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) supp 0) βŠ† π‘₯)
120115, 119ssfid 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) supp 0) ∈ Fin)
121114, 120eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (β—‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)
1223psrbag 21462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
123105, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)):πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘(𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) β€œ β„•) ∈ Fin)))
124112, 121, 123mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∈ 𝐷)
125 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
126 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑧} βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
127 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)
128126, 127sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐼)
129 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
130129snss 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐼 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐼)
131128, 130sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
132107, 131ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
1333snifpsrbag 21467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) ∈ 𝐷)
134105, 132, 133syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) ∈ 𝐷)
13592, 104, 93, 94, 3, 105, 106, 124, 125, 134mplmonmul 21583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)), 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))), 1 , 0 )))
136 mplcoe2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
137 mplcoe2.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13892, 3, 93, 94, 105, 48, 136, 137, 106, 131, 132mplcoe3 21585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)), 1 , 0 )) = ((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§)))
139138oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)), 1 , 0 ))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))))
140132adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
141 ifcl 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0) ∈ β„•0)
142140, 109, 141sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0) ∈ β„•0)
143 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
144 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)))
145105, 111, 142, 143, 144offval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))))
146108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
147146nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
148147addlidd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (0 + (π‘Œβ€˜π‘–)) = (π‘Œβ€˜π‘–))
149 elsni 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ {𝑧} β†’ 𝑖 = 𝑧)
150149adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑖 = 𝑧)
151 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
153150, 152eqneltrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯)
154153iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = 0)
155150iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0) = (π‘Œβ€˜π‘§))
156150fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘§))
157155, 156eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
158154, 157oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = (0 + (π‘Œβ€˜π‘–)))
159 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑖 ∈ {𝑧})
160126, 159sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
161160iftrued 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = (π‘Œβ€˜π‘–))
162148, 158, 1613eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
163111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) ∈ β„•0)
164163nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) ∈ β„‚)
165164addridd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + 0) = if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
166 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧})
167 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
168166, 167sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑖 = 𝑧)
169168iffalsed 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0) = 0)
170169oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + 0))
171 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑖 ∈ π‘₯ ∨ 𝑖 ∈ {𝑧}))
172 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑖 ∈ π‘₯ ∨ 𝑖 ∈ {𝑧}) ↔ (𝑖 ∈ {𝑧} ∨ 𝑖 ∈ π‘₯))
173171, 172bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑖 ∈ {𝑧} ∨ 𝑖 ∈ π‘₯))
174 biorf 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧} β†’ (𝑖 ∈ π‘₯ ↔ (𝑖 ∈ {𝑧} ∨ 𝑖 ∈ π‘₯)))
175173, 174bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧} β†’ (𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑖 ∈ π‘₯))
176175adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↔ 𝑖 ∈ π‘₯))
177176ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0) = if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
178165, 170, 1773eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑖 ∈ {𝑧}) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
179162, 178pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0)) = if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))
180179mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0) + if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
181145, 180eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))) = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)))
182181eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑦 = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))) ↔ 𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0))))
183182ifbid 4551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ if(𝑦 = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))), 1 , 0 ) = if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))
184183mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = ((𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)) ∘f + (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 = 𝑧, (π‘Œβ€˜π‘§), 0))), 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )))
185135, 139, 1843eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))))
18648, 104mgpbas 19988 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
18748, 125mgpplusg 19986 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜πΊ)
188 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
189 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))
19092mplring 21570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1912, 95, 190syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
19248ringmgp 20056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
194193adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1951adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
196 mplcoe5.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
197 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) = (π‘‰β€˜π‘Ž))
198197oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)))
199197oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = π‘Ž β†’ ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)))
200198, 199eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦))))
201 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑏 β†’ (π‘‰β€˜π‘¦) = (π‘‰β€˜π‘))
202201oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)))
203201oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑏 β†’ ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘)))
204202, 203eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑏 β†’ (((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‰β€˜π‘)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘))))
205200, 204cbvral2vw 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘₯)) = ((π‘‰β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘)))
206196, 205sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘)))
207206adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐼 βˆ€π‘ ∈ 𝐼 ((π‘‰β€˜π‘)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘Ž)) = ((π‘‰β€˜π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)(π‘‰β€˜π‘)))
20892, 3, 93, 94, 105, 48, 136, 137, 106, 195, 207, 127mplcoe5lem 21586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ran (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
20999, 127sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
210209sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
211193adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2127ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
2132adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
21495adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
215 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
21692, 137, 104, 213, 214, 215mvrcl 21543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
217186, 136, 211, 212, 216mulgnn0cld 18970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
218217adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
219210, 218syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
22092, 137, 104, 105, 106, 131mvrcl 21543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
221186, 136, 194, 132, 220mulgnn0cld 18970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
222 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = (π‘Œβ€˜π‘§))
223 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) = (π‘‰β€˜π‘§))
224222, 223oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§)))
225224adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ = 𝑧) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = ((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§)))
226186, 187, 188, 189, 194, 115, 208, 219, 131, 151, 221, 225gsumzunsnd 19819 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))))
227185, 226eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 ))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))(.rβ€˜π‘ƒ)((π‘Œβ€˜π‘§) ↑ (π‘‰β€˜π‘§)))))
228103, 227imbitrrid 245 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
229228expr 458 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
230229a2d 29 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
231102, 230syl5 34 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
232231expcom 415 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))) β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))))
233232a2d 29 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ π‘₯, (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ π‘₯ ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))))
23455, 67, 79, 91, 98, 233findcard2s 9162 . . . . 5 ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))))
23532, 234mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) βŠ† 𝐼 β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))))
23631, 235mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
23731resmptd 6039 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†Ύ (β—‘π‘Œ β€œ β„•)) = (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
238237oveq2d 7422 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†Ύ (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•) ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
239217fmpttd 7112 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
240 ssidd 4005 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐼)
24192, 3, 93, 94, 2, 48, 136, 137, 95, 1, 196, 240mplcoe5lem 21586 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
2427, 15, 2, 17suppssr 8178 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ (π‘Œβ€˜π‘˜) = 0)
243242oveq1d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = (0 ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))
244 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
245244, 216sylan2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ (π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
246186, 50, 136mulg0 18952 . . . . . . 7 ((π‘‰β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
247245, 246syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ (0 ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
248243, 247eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
249248, 2suppss2 8182 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘Œ β€œ β„•))
2502mptexd 7223 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ∈ V)
251 funmpt 6584 . . . . . 6 Fun (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))
252251a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))))
253 fvexd 6904 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
254 suppssfifsupp 9375 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((β—‘π‘Œ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
255250, 252, 253, 32, 249, 254syl32anc 1379 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
256186, 50, 188, 193, 2, 239, 241, 249, 255gsumzres 19772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜))) β†Ύ (β—‘π‘Œ β€œ β„•))) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
257236, 238, 2563eqtr2d 2779 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑖 ∈ (β—‘π‘Œ β€œ β„•), (π‘Œβ€˜π‘–), 0)), 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
25829, 257eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Œβ€˜π‘˜) ↑ (π‘‰β€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘f cof 7665   supp csupp 8143   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  0cc0 11107   + caddc 11110  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  .rcmulr 17195  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  Mndcmnd 18622  .gcmg 18945  Cntzccntz 19174  mulGrpcmgp 19982  1rcur 19999  Ringcrg 20050   mVar cmvr 21450   mPoly cmpl 21451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-subrg 20354  df-psr 21454  df-mvr 21455  df-mpl 21456
This theorem is referenced by:  mplcoe2  21588  ply1coe  21812
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