Theorem mulgnn0gsum 19316

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12632	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	2, 3, 4	mulgnngsum 19315	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
6	5	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7		oveq1 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
8		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	2, 8, 3	mulg0 19310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
10	7, 9	sylan9eq 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
12		fz10 13702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
14		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑋 = 𝑋)
15	13, 14	mpteq12dv 5195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16		mpt0 6700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
18	4, 17	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ∅)
20	19	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
21	8	gsum0 18899	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
22	20, 21	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
23	10, 22	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
24	23	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
25	6, 24	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
26	1, 25	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
27	26	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ...cfz 13663  Basecbs 17413  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  ._gcmg 19303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mulg 19304

This theorem is used by: (None)