MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0gsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0gsum 18352
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnngsum.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t · = (.g𝐺)
mulgnngsum.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0gsum ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum
StepHypRef Expression
1 elnn0 11978 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 mulgnngsum.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnngsum.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 mulgnngsum.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
52, 3, 4mulgnngsum 18351 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
65ex 416 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7 oveq1 7177 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
8 eqid 2738 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
92, 8, 3mulg0 18349 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
107, 9sylan9eq 2793 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
11 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
12 fz10 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (1...0) = ∅
1311, 12eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
14 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → 𝑋 = 𝑋)
1513, 14mpteq12dv 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16 mpt0 6479 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
184, 17syl5eq 2785 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
1918adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋𝐵) → 𝐹 = ∅)
2019oveq2d 7186 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
218gsum0 18010 . . . . . . 7 (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺)
2220, 21eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g𝐺))
2310, 22eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
2423ex 416 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑋𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
256, 24jaoi 856 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
261, 25sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
2726imp 410 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  c0 4211  cmpt 5110  cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616  cn 11716  0cn0 11976  ...cfz 12981  Basecbs 16586  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  .gcmg 18342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-seq 13461  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mulg 18343
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator