Theorem mulgnn0gsum 18997

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12479	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	2, 3, 4	mulgnngsum 18996	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
8		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	2, 8, 3	mulg0 18994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
10	7, 9	sylan9eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
12		fz10 13527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
14		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑋 = 𝑋)
15	13, 14	mpteq12dv 5239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16		mpt0 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
18	4, 17	eqtrid 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ∅)
20	19	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
21	8	gsum0 18610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
22	20, 21	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
23	10, 22	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
25	6, 24	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
26	1, 25	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
27	26	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ...cfz 13489  Basecbs 17149  0_gc0g 17390   Σ_g cgsu 17391  ._gcmg 18987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mulg 18988

This theorem is referenced by: (None)