Theorem mulgnn0gsum 18994

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a nonnegative integer expressed by a group sum. This corresponds to the definition in [Lang] p. 6, second formula. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnngsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnngsum.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnngsum.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0gsum	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem mulgnn0gsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		mulgnngsum.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnngsum.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnngsum.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋)
5	2, 3, 4	mulgnngsum 18993	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
7		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
8		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	2, 8, 3	mulg0 18988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
10	7, 9	sylan9eq 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
11		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
12		fz10 13482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
14		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑋 = 𝑋)
15	13, 14	mpteq12dv 5189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋))
16		mpt0 6642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑋) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑋) = ∅)
18	4, 17	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝐹 = ∅)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐹 = ∅)
20	19	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg ∅))
21	8	gsum0 18593	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺)
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg 𝐹) = (0g‘𝐺))
23	10, 22	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
25	6, 24	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
26	1, 25	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹)))
27	26	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐺 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  ._gcmg 18981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mulg 18982

This theorem is referenced by: (None)