Theorem mdegfval 26027

Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegfval	⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑚,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,ℎ   𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑚)   𝐼(ℎ)   0 (𝑓,𝑚)

Proof of Theorem mdegfval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		oveq12 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = (𝐼 mPoly 𝑅))
3		mdegval.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	2, 3	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = 𝑃)
5	4	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = (Base‘𝑃))
6		mdegval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = 𝐵)
8		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
9		mdegval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
11	10	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑓 supp (0g‘𝑟)) = (𝑓 supp 0 ))
12	11	mpteq1d 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
13	12	rneqd 5893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
14	13	supeq1d 9359	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
16	7, 15	mpteq12dv 5172	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
17		df-mdeg 26020	. . . . 5 ⊢ mDeg = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
18	6	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	mptex 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) ∈ V
20	16, 17, 19	ovmpoa 7522	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
21		mdegval.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
22	21	reseq1i 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )) = ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 ))
23		suppssdm 8127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		mdegval.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
27	3, 24, 6, 25, 26	mplelf 21976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	23, 27	fssdm 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
29	28	resmptd 6005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 )) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
30	22, 29	eqtr2id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
31	30	rneqd 5893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
32		df-ima 5644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 ))
33	31, 32	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )))
34	33	supeq1d 9359	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
35	34	mpteq2dva 5178	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
36	20, 35	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
37		reldmmdeg 26022	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mDeg
38	37	ovprc 7405	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = ∅)
39		mpt0 6640	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = ∅
40	38, 39	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
41		reldmmpl 21966	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPoly
42	41	ovprc 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
43	3, 42	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = ∅)
44	43	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑃) = (Base‘∅))
45		base0 17184	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
46	44, 6, 45	3eqtr4g 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
47	46	mpteq1d 5175	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
48	40, 47	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
49	36, 48	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
50	1, 49	eqtri 2759	1 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  ∅c0 4273   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  supcsup 9353  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  ℂ_fldccnfld 21352   mPoly cmpl 21886   mDeg cmdg 26018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-mdeg 26020

This theorem is referenced by:  mdegval  26028  mdegxrf  26033  mdegpropd  26049