Theorem mdegfval 25983

Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegfval	⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑚,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,ℎ   𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑚)   𝐼(ℎ)   0 (𝑓,𝑚)

Proof of Theorem mdegfval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		oveq12 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = (𝐼 mPoly 𝑅))
3		mdegval.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	2, 3	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = 𝑃)
5	4	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = (Base‘𝑃))
6		mdegval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = 𝐵)
8		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
9		mdegval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
11	10	oveq2d 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑓 supp (0g‘𝑟)) = (𝑓 supp 0 ))
12	11	mpteq1d 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
13	12	rneqd 5884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
14	13	supeq1d 9355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
16	7, 15	mpteq12dv 5182	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
17		df-mdeg 25976	. . . . 5 ⊢ mDeg = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
18	6	fvexi 6840	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	mptex 7163	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) ∈ V
20	16, 17, 19	ovmpoa 7508	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
21		mdegval.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
22	21	reseq1i 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )) = ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 ))
23		suppssdm 8117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		mdegval.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
27	3, 24, 6, 25, 26	mplelf 21923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	23, 27	fssdm 6675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
29	28	resmptd 5995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 )) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
30	22, 29	eqtr2id 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
31	30	rneqd 5884	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
32		df-ima 5636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 ))
33	31, 32	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )))
34	33	supeq1d 9355	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
35	34	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
36	20, 35	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
37		reldmmdeg 25978	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mDeg
38	37	ovprc 7391	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = ∅)
39		mpt0 6628	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = ∅
40	38, 39	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
41		reldmmpl 21913	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPoly
42	41	ovprc 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
43	3, 42	eqtrid 2776	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = ∅)
44	43	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑃) = (Base‘∅))
45		base0 17143	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
46	44, 6, 45	3eqtr4g 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
47	46	mpteq1d 5185	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
48	40, 47	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
49	36, 48	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
50	1, 49	eqtri 2752	1 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5622  ran crn 5624   ↾ cres 5625   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  supcsup 9349  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  ℂ_fldccnfld 21279   mPoly cmpl 21831   mDeg cmdg 25974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-psr 21834  df-mpl 21836  df-mdeg 25976

This theorem is referenced by:  mdegval  25984  mdegxrf  25989  mdegpropd  26005