Theorem mdegfval 26294

Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegfval	⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑚,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,ℎ   𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓, 𝑚)   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑓, ℎ, 𝑚)   𝑃(𝑓, ℎ, 𝑚)   𝑅(ℎ, 𝑚)   𝐻(𝑓, ℎ, 𝑚)   𝐼(ℎ)   0 (𝑓, 𝑚)

Proof of Theorem mdegfval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		oveq12 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = (𝐼 mPoly 𝑅))
3		mdegval.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	2, 3	eqtr4di 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = 𝑃)
5	4	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = (Base‘𝑃))
6		mdegval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = 𝐵)
8		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
9		mdegval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
11	10	oveq2d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑓 supp (0g‘𝑟)) = (𝑓 supp 0 ))
12	11	mpteq1d 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
13	12	rneqd 5926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
14	13	supeq1d 9420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
15	14	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
16	7, 15	mpteq12dv 5196	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
17		df-mdeg 26287	. . . . 5 ⊢ mDeg = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
18	6	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	mptex 7226	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) ∈ V
20	16, 17, 19	ovmpoa 7572	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
21		mdegval.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
22	21	reseq1i 5972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )) = ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 ))
23		suppssdm 8179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
24		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		mdegval.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
27	3, 24, 6, 25, 26	mplelf 22218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	23, 27	fssdm 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
29	28	resmptd 6040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 )) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
30	22, 29	eqtr2id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
31	30	rneqd 5926	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
32		df-ima 5672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 ))
33	31, 32	eqtr4di 2815	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )))
34	33	supeq1d 9420	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
35	34	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
36	20, 35	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
37		reldmmdeg 26289	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mDeg
38	37	ovprc 7455	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = ∅)
39		mpt0 6678	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = ∅
40	38, 39	eqtr4di 2815	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
41		reldmmpl 22208	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPoly
42	41	ovprc 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
43	3, 42	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = ∅)
44	43	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑃) = (Base‘∅))
45		base0 17312	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
46	44, 6, 45	3eqtr4g 2822	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
47	46	mpteq1d 5199	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
48	40, 47	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
49	36, 48	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
50	1, 49	eqtri 2785	1 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   supp csupp 8162   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  supcsup 9414  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  ℂ_fldccnfld 21591   mPoly cmpl 22127   mDeg cmdg 26285

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-tset 17367  df-psr 22130  df-mpl 22132  df-mdeg 26287

This theorem is used by:  mdegval  26295  mdegxrf  26300  mdegpropd  26316