Theorem mdegfval 25227

Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mdegfval	⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝐵,𝑓   𝑓,𝐼   𝑚,𝐼   𝑅,𝑓   0 ,ℎ   𝑓,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑃(𝑓,ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐻(𝑓,ℎ,𝑚)   𝐼(ℎ)   0 (𝑓,𝑚)

Proof of Theorem mdegfval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegval.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		oveq12 7284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = (𝐼 mPoly 𝑅))
3		mdegval.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	2, 3	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑖 mPoly 𝑟) = 𝑃)
5	4	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = (Base‘𝑃))
6		mdegval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	5, 6	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) = 𝐵)
8		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
9		mdegval.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
11	10	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑓 supp (0g‘𝑟)) = (𝑓 supp 0 ))
12	11	mpteq1d 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
13	12	rneqd 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
14	13	supeq1d 9205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ))
16	7, 15	mpteq12dv 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
17		df-mdeg 25217	. . . . 5 ⊢ mDeg = (𝑖 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑖 mPoly 𝑟)) ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp (0g‘𝑟)) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
18	6	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	mptex 7099	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) ∈ V
20	16, 17, 19	ovmpoa 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )))
21		mdegval.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
22	21	reseq1i 5887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )) = ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 ))
23		suppssdm 7993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		mdegval.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
26		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ 𝐵)
27	3, 24, 6, 25, 26	mplelf 21204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝑅))
28	23, 27	fssdm 6620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐴)
29	28	resmptd 5948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ)) ↾ (𝑓 supp 0 )) = (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)))
30	22, 29	eqtr2id 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
31	30	rneqd 5847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 )))
32		df-ima 5602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )) = ran (𝐻 ↾ (𝑓 supp 0 ))
33	31, 32	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)) = (𝐻 “ (𝑓 supp 0 )))
34	33	supeq1d 9205	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < ) = sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
35	34	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup(ran (ℎ ∈ (𝑓 supp 0 ) ↦ (ℂfld Σg ℎ)), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
36	20, 35	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
37		reldmmdeg 25219	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mDeg
38	37	ovprc 7313	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = ∅)
39		mpt0 6575	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = ∅
40	38, 39	eqtr4di 2796	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
41		reldmmpl 21196	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPoly
42	41	ovprc 7313	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
43	3, 42	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑃 = ∅)
44	43	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑃) = (Base‘∅))
45		base0 16917	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
46	44, 6, 45	3eqtr4g 2803	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
47	46	mpteq1d 5169	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )) = (𝑓 ∈ ∅ ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
48	40, 47	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < )))
49	36, 48	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐼 mDeg 𝑅) = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))
50	1, 49	eqtri 2766	1 ⊢ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝐵 ↦ sup((𝐻 “ (𝑓 supp 0 )), ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  ∅c0 4256   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  supcsup 9199  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  ℂ_fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217

This theorem is referenced by:  mdegval  25228  mdegxrf  25233  mdegpropd  25249