MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumd 21739
Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
evl1gsumd.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
evl1gsumd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1gsumd.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
evl1gsumd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
evl1gsumd.m (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ)
evl1gsumd.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
evl1gsumd (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑂   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem evl1gsumd
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1gsumd.m . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ)
2 evl1gsumd.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Fin)
3 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑛 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… 𝑀 ∈ π‘ˆ))
43anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
5 mpteq1 5203 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀))
65oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 = βˆ… β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))
76fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = βˆ… β†’ (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀))))
87fveq1d 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = βˆ… β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ))
9 mpteq1 5203 . . . . . . . 8 (𝑛 = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))
109oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = βˆ… β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
118, 10eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑛 = βˆ… β†’ (((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) ↔ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
124, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = βˆ… β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
13 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ))
1413anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
15 mpteq1 5203 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))
1615oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))
1716fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀))))
1817fveq1d 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ))
19 mpteq1 5203 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))
2019oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
2118, 20eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) ↔ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
2214, 21imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
23 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ))
2423anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ)))
25 mpteq1 5203 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))
2726fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀))))
2827fveq1d 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ))
29 mpteq1 5203 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))
3029oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
3128, 30eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) ↔ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
3224, 31imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
33 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ))
3433anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
35 mpteq1 5203 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
3635oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
3736fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
3837fveq1d 6849 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ))
39 mpteq1 5203 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)) = (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))
4039oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
4138, 40eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) ↔ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
4234, 41imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑛 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑛 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
43 mpt0 6648 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀) = βˆ…
4443oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)) = (𝑃 Ξ£g βˆ…)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4645gsum0 18546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4744, 46eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)) = (0gβ€˜π‘ƒ)
4847fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜(0gβ€˜π‘ƒ))
49 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
50 crngring 19983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
52 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5552, 53, 54, 45ply1scl0 21677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5651, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5756eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)))
5857fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…))))
5948, 58eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀))) = (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…))))
6059fveq1d 6849 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘Œ))
61 evl1gsumd.q . . . . . . . . . 10 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
62 evl1gsumd.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
63 evl1gsumd.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
64 ringgrp 19976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6551, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6662, 54grpidcl 18785 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
68 evl1gsumd.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
6961, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68evl1scad 21717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)) ∈ π‘ˆ ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘…)))
7069simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘…))
7160, 70eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘…))
72 mpt0 6648 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)) = βˆ…
7372oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (𝑅 Ξ£g βˆ…)
7454gsum0 18546 . . . . . . . 8 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘…)
7573, 74eqtri 2765 . . . . . . 7 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))) = (0gβ€˜π‘…)
7671, 75eqtr4di 2795 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
7776adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
7861, 52, 62, 63, 49, 68evl1gsumdlem 21738 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š ∧ πœ‘) β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
79783expia 1122 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š) β†’ (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))))
8079a2d 29 . . . . . 6 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š) β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))))
81 impexp 452 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
82 impexp 452 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
8380, 81, 823imtr4g 296 . . . . 5 ((π‘š ∈ Fin ∧ Β¬ π‘Ž ∈ π‘š) β†’ (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘š ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))) β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž})𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (π‘š βˆͺ {π‘Ž}) ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
8412, 22, 32, 42, 77, 83findcard2s 9116 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin β†’ ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
8584expd 417 . . 3 (𝑁 ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))))
862, 85mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑁 𝑀 ∈ π‘ˆ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ)))))
871, 86mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))β€˜π‘Œ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑁 ↦ ((π‘‚β€˜π‘€)β€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3913  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17090  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Grpcgrp 18755  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  algSccascl 21274  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  21741
  Copyright terms: Public domain W3C validator