Theorem evl1gsumd 22668

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
2		evl1gsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈))
4	3	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈)))
5		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
10	9	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
11	8, 10	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
12	4, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
13		raleq 3317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈))
14	13	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)))
15		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22	14, 21	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
23		raleq 3317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈)))
25		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
30	29	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
31	28, 30	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
32	24, 31	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
33		raleq 3317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈))
34	33	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)))
35		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
39		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
40	39	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
41	38, 40	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
42	34, 41	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
43		mpt0 6679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 18866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g‘𝑃))
49		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
50		crngring 20465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	52, 53, 54, 45	ply1scl0 22602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	51, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
58	57	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
59	48, 58	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
60	59	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌))
61		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
62		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
63		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
64		ringgrp 20457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	51, 64	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	62, 54	grpidcl 19169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
67	65, 66	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
68		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	61, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68	evl1scad 22646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅)))
70	69	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
71	60, 70	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
72		mpt0 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
73	72	oveq2i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
74	54	gsum0 18866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
75	73, 74	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (0g‘𝑅)
76	71, 75	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
77	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
78	61, 52, 62, 63, 49, 68	evl1gsumdlem 22667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
79	78	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
80	79	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
81		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
82		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
83	80, 81, 82	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
84	12, 22, 32, 42, 77, 83	findcard2s 9174	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
85	84	expd 421	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
86	2, 85	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
87	1, 86	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Grpcgrp 19137  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  algSccascl 22153  Poly₁cpl1 22488  eval₁ce1 22625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-rhm 20695  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-assa 22154  df-asp 22155  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mvr 22211  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-evls 22376  df-evl 22377  df-psr1 22491  df-ply1 22493  df-evl1 22627

This theorem is used by:  evl1gsumaddval  22670