Theorem evl1gsumd 22407

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
2		evl1gsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈))
4	3	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈)))
5		mpteq1 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9		mpteq1 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
11	8, 10	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
12	4, 11	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
13		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈))
14	13	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)))
15		mpteq1 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22	14, 21	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
23		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈)))
25		mpteq1 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29		mpteq1 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
30	29	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
31	28, 30	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
32	24, 31	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
33		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈))
34	33	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)))
35		mpteq1 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
39		mpteq1 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
40	39	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
41	38, 40	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
42	34, 41	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
43		mpt0 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 18708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g‘𝑃))
49		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
50		crngring 20281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	52, 53, 54, 45	ply1scl0 22340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	51, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
58	57	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
59	48, 58	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
60	59	fveq1d 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌))
61		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
62		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
63		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
64		ringgrp 20274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	51, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	62, 54	grpidcl 18997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
68		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	61, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68	evl1scad 22385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅)))
70	69	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
71	60, 70	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
72		mpt0 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
73	72	oveq2i 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
74	54	gsum0 18708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
75	73, 74	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (0g‘𝑅)
76	71, 75	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
77	76	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
78	61, 52, 62, 63, 49, 68	evl1gsumdlem 22406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
79	78	3expia 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
80	79	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
81		impexp 454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
82		impexp 454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
83	80, 81, 82	3imtr4g 298	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
84	12, 22, 32, 42, 77, 83	findcard2s 9127	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
85	84	expd 419	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
86	2, 85	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
87	1, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ∪ cun 3900  ∅c0 4283  {csn 4579   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  Basecbs 17235  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Grpcgrp 18965  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270  algSccascl 21891  Poly₁cpl1 22226  eval₁ce1 22364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-srg 20223  df-ring 20271  df-cring 20272  df-rhm 20507  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-assa 21892  df-asp 21893  df-ascl 21894  df-psr 21948  df-mvr 21949  df-mpl 21950  df-opsr 21952  df-evls 22114  df-evl 22115  df-psr1 22229  df-ply1 22231  df-evl1 22366

This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  22409