Theorem evl1gsumd 21723

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
2		evl1gsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈))
4	3	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈)))
5		mpteq1 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9		mpteq1 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
10	9	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
11	8, 10	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
12	4, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
13		raleq 3309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈))
14	13	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)))
15		mpteq1 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22	14, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
23		raleq 3309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈)))
25		mpteq1 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29		mpteq1 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
30	29	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
31	28, 30	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
32	24, 31	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
33		raleq 3309	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈))
34	33	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)))
35		mpteq1 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
39		mpteq1 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
40	39	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
41	38, 40	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
42	34, 41	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
43		mpt0 6643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 18539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g‘𝑃))
49		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
50		crngring 19976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	52, 53, 54, 45	ply1scl0 21661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	51, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
57	56	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
58	57	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
59	48, 58	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
60	59	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌))
61		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
62		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
63		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
64		ringgrp 19969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	51, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	62, 54	grpidcl 18778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
68		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	61, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68	evl1scad 21701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅)))
70	69	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
71	60, 70	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
72		mpt0 6643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
73	72	oveq2i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
74	54	gsum0 18539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
75	73, 74	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (0g‘𝑅)
76	71, 75	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
77	76	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
78	61, 52, 62, 63, 49, 68	evl1gsumdlem 21722	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
79	78	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
80	79	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
81		impexp 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
82		impexp 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
83	80, 81, 82	3imtr4g 295	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
84	12, 22, 32, 42, 77, 83	findcard2s 9109	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
85	84	expd 416	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
86	2, 85	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
87	1, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3908  ∅c0 4282  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  algSccascl 21258  Poly₁cpl1 21548  eval₁ce1 21680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-evl1 21682

This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  21725