Theorem evl1gsumd 21433

Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsumd.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1gsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
evl1gsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1gsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsumd	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)
2		evl1gsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈))
4	3	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈)))
5		mpteq1 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9		mpteq1 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
10	9	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
11	8, 10	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
12	4, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
13		raleq 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈))
14	13	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈)))
15		mpteq1 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
19		mpteq1 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
20	19	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
21	18, 20	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
22	14, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
23		raleq 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈))
24	23	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈)))
25		mpteq1 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29		mpteq1 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
30	29	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
31	28, 30	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
32	24, 31	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
33		raleq 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈))
34	33	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈)))
35		mpteq1 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌))
39		mpteq1 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))
40	39	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
41	38, 40	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
42	34, 41	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
43		mpt0 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 18283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g‘𝑃))
49		evl1gsumd.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
50		crngring 19710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		evl1gsumd.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	52, 53, 54, 45	ply1scl0 21371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
56	51, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑃))
57	56	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))
58	57	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(0g‘𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
59	48, 58	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅))))
60	59	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌))
61		evl1gsumd.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
62		evl1gsumd.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
63		evl1gsumd.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
64		ringgrp 19703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	51, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
66	62, 54	grpidcl 18522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
68		evl1gsumd.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
69	61, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68	evl1scad 21411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅)))
70	69	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g‘𝑅)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
71	60, 70	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g‘𝑅))
72		mpt0 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)) = ∅
73	72	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
74	54	gsum0 18283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
75	73, 74	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))) = (0g‘𝑅)
76	71, 75	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
77	76	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))
78	61, 52, 62, 63, 49, 68	evl1gsumdlem 21432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
79	78	3expia 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
80	79	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))))
81		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
82		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
83	80, 81, 82	3imtr4g 295	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
84	12, 22, 32, 42, 77, 83	findcard2s 8910	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
85	84	expd 415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))))
86	2, 85	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌)))))
87	1, 86	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑂‘𝑀)‘𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  algSccascl 20969  Poly₁cpl1 21258  eval₁ce1 21390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-evl 21193  df-psr1 21261  df-ply1 21263  df-evl1 21392

This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  21435