MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsumd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsumd 21519
Description: Polynomial evaluation builder for a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 17-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsumd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1gsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1gsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1gsumd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1gsumd.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsumd.y (𝜑𝑌𝐵)
evl1gsumd.m (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
evl1gsumd.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
evl1gsumd (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝑈   𝑥,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsumd
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1gsumd.m . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)
2 evl1gsumd.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 raleq 3341 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (∀𝑥𝑛 𝑀𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝑈))
43anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝑈)))
5 mpteq1 5172 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
65oveq2d 7285 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
76fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
87fveq1d 6771 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌))
9 mpteq1 5172 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
109oveq2d 7285 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
118, 10eqeq12d 2756 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
124, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
13 raleq 3341 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝑈 ↔ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈))
1413anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈)))
15 mpteq1 5172 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑚𝑀))
1615oveq2d 7285 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))
1716fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))))
1817fveq1d 6771 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌))
19 mpteq1 5172 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
2019oveq2d 7285 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
2118, 20eqeq12d 2756 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
2214, 21imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
23 raleq 3341 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥𝑛 𝑀𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈))
2423anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈)))
25 mpteq1 5172 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
2625oveq2d 7285 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
2726fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
2827fveq1d 6771 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌))
29 mpteq1 5172 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
3029oveq2d 7285 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
3128, 30eqeq12d 2756 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
3224, 31imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
33 raleq 3341 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝑈 ↔ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈))
3433anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈)))
35 mpteq1 5172 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑁𝑀))
3635oveq2d 7285 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))
3736fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀))))
3837fveq1d 6771 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌))
39 mpteq1 5172 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))
4039oveq2d 7285 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
4138, 40eqeq12d 2756 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) ↔ ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
4234, 41imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
43 mpt0 6572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
4443oveq2i 7280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4645gsum0 18364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg ∅) = (0g𝑃)
4744, 46eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g𝑃)
4847fveq2i 6772 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘(0g𝑃))
49 evl1gsumd.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
50 crngring 19791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
52 evl1gsumd.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Poly1𝑅)
53 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5552, 53, 54, 45ply1scl0 21457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
5651, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) = (0g𝑃))
5756eqcomd 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g𝑃) = ((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))
5857fveq2d 6773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(0g𝑃)) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
5948, 58eqtrid 2792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅))))
6059fveq1d 6771 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑌))
61 evl1gsumd.q . . . . . . . . . 10 𝑂 = (eval1𝑅)
62 evl1gsumd.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
63 evl1gsumd.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (Base‘𝑃)
64 ringgrp 19784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6551, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6662, 54grpidcl 18603 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
68 evl1gsumd.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
6961, 52, 62, 53, 63, 49, 67, 68evl1scad 21497 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑌) = (0g𝑅)))
7069simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘(0g𝑅)))‘𝑌) = (0g𝑅))
7160, 70eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (0g𝑅))
72 mpt0 6572 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)) = ∅
7372oveq2i 7280 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (𝑅 Σg ∅)
7454gsum0 18364 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
7573, 74eqtri 2768 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))) = (0g𝑅)
7671, 75eqtr4di 2798 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
7776adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
7861, 52, 62, 63, 49, 68evl1gsumdlem 21518 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
79783expia 1120 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))))
8079a2d 29 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))))
81 impexp 451 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
82 impexp 451 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
8380, 81, 823imtr4g 296 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
8412, 22, 32, 42, 77, 83findcard2s 8928 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝑈) → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
8584expd 416 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))))
862, 85mpcom 38 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝑈 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌)))))
871, 86mpd 15 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝑌) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑂𝑀)‘𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wral 3066  cun 3890  c0 4262  {csn 4567  cmpt 5162  cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8714  Basecbs 16908  0gc0g 17146   Σg cgsu 17147  Grpcgrp 18573  Ringcrg 19779  CRingccrg 19780  algSccascl 21055  Poly1cpl1 21344  eval1ce1 21476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-ofr 7526  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-hash 14041  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-hom 16982  df-cco 16983  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-prds 17154  df-pws 17156  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-mulg 18697  df-subg 18748  df-ghm 18828  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-srg 19738  df-ring 19781  df-cring 19782  df-rnghom 19955  df-subrg 20018  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-lsp 20230  df-assa 21056  df-asp 21057  df-ascl 21058  df-psr 21108  df-mvr 21109  df-mpl 21110  df-opsr 21112  df-evls 21278  df-evl 21279  df-psr1 21347  df-ply1 21349  df-evl1 21478
This theorem is referenced by:  evl1gsumaddval  21521
  Copyright terms: Public domain W3C validator