Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgvol0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgvol0 44299
Description: If the domani is negligible, the function is integrable and the integral is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgvol0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itgvol0.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itgvol0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgvol0 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgvol0
StepHypRef Expression
1 mpt0 6647 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
2 iblempty 44296 . . . 4 ∅ ∈ 𝐿1
31, 2eqeltri 2830 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1
4 0ss 4360 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
6 itgvol0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 difssd 4096 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴)
8 itgvol0.2 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 ovolssnul 24874 . . . . . 6 (((𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
107, 6, 8, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
11 itgvol0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
125, 6, 10, 11itgss3 25202 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1) ∧ ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1312simpld 496 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1))
143, 13mpbii 232 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
1512simprd 497 . . 3 (𝜑 → ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥)
16 itg0 25167 . . 3 ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
1715, 16eqtr3di 2788 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0)
1814, 17jca 513 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3911  wss 3914  c0 4286  cmpt 5192  cfv 6500  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059  vol*covol 24849  𝐿1cibl 25004  citg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator