Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgvol0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgvol0 43074
Description: If the domani is negligible, the function is integrable and the integral is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgvol0.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itgvol0.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itgvol0.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
itgvol0 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgvol0
StepHypRef Expression
1 mpt0 6480 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
2 iblempty 43071 . . . 4 ∅ ∈ 𝐿1
31, 2eqeltri 2830 . . 3 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1
4 0ss 4286 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
6 itgvol0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 difssd 4024 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴)
8 itgvol0.2 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
9 ovolssnul 24242 . . . . . 6 (((𝐴 ∖ ∅) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
107, 6, 8, 9syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ ∅)) = 0)
11 itgvol0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
125, 6, 10, 11itgss3 24570 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1) ∧ ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥))
1312simpld 498 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1))
143, 13mpbii 236 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
1512simprd 499 . . 3 (𝜑 → ∫∅𝐵 d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥)
16 itg0 24535 . . 3 ∫∅𝐵 d𝑥 = 0
1715, 16eqtr3di 2789 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0)
1814, 17jca 515 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ∧ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cdif 3841  wss 3844  c0 4212  cmpt 5111  cfv 6340  cc 10616  cr 10617  0cc0 10618  vol*covol 24217  𝐿1cibl 24372  citg 24373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696  ax-addf 10697
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-symdif 4134  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-ofr 7429  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-2o 8135  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fi 8951  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-dju 9406  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-ioo 12828  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-mod 13332  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-sum 15139  df-rest 16802  df-topgen 16823  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-met 20214  df-bl 20215  df-mopn 20216  df-top 21648  df-topon 21665  df-bases 21700  df-cmp 22141  df-ovol 24219  df-vol 24220  df-mbf 24374  df-itg1 24375  df-itg2 24376  df-ibl 24377  df-itg 24378  df-0p 24425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator