Theorem swrdlend 14561

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlend	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval 14551	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹)
4		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6		fzon 13580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
8	3, 7	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑊
10	8, 9	eqsstrdi 3979	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
11	10	iftrued 4483	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12		fzo0n 13581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
13	12	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
14	13	3adantl1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5181	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16		mpt0 6623	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
18	2, 11, 17	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
19	18	ex 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ifcif 4475  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  Word cword 14420   substr csubstr 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-substr 14549

This theorem is referenced by:  swrdnd  14562  swrdnd2  14563  swrdsb0eq  14571  swrdccat  14642