Theorem swrdlend 14796

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlend	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval 14784	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹)
4		3simpc 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6		fzon 13808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑊
10	8, 9	eqsstrdi 3975	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
11	10	iftrued 4490	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12		fzo0n 13809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
13	12	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
14	13	3adantl1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5195	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16		mpt0 6679	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
18	2, 11, 17	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
19	18	ex 418	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193   + caddc 11196   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781  Word cword 14651   substr csubstr 14781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-substr 14782

This theorem is used by:  swrdnd  14797  swrdnd2  14798  swrdsb0eq  14806  swrdccat  14877