Theorem swrdlend 14590

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlend	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval 14580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹)
4		3simpc 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
5	4	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6		fzon 13640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9		0ss 4394	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑊
10	8, 9	eqsstrdi 4034	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
11	10	iftrued 4532	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12		fzo0n 13641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
13	12	biimpa 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
14	13	3adantl1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5239	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16		mpt0 6682	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
18	2, 11, 17	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
19	18	ex 414	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3946  ∅c0 4320  ifcif 4524  ⟨cop 4630   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5672  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097   + caddc 11100   ≤ cle 11236   − cmin 11431  ℤcz 12545  ..^cfzo 13614  Word cword 14451   substr csubstr 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-substr 14578

This theorem is referenced by:  swrdnd  14591  swrdnd2  14592  swrdsb0eq  14600  swrdccat  14672