MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdlend 14688
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdlend ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 14678 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
21adantr 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → 𝐿𝐹)
4 3simpc 1149 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
54adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6 fzon 13717 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐿𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
83, 7mpbid 232 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9 0ss 4406 . . . . 5 ∅ ⊆ dom 𝑊
108, 9eqsstrdi 4050 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
1110iftrued 4539 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12 fzo0n 13718 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
1312biimpa 476 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
14133adantl1 1165 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
1514mpteq1d 5243 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16 mpt0 6711 . . . 4 (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
1715, 16eqtrdi 2791 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
182, 11, 173eqtrd 2779 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
1918ex 412 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cz 12611  ..^cfzo 13691  Word cword 14549   substr csubstr 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-substr 14676
This theorem is referenced by:  swrdnd  14689  swrdnd2  14690  swrdsb0eq  14698  swrdccat  14770
  Copyright terms: Public domain W3C validator