Theorem swrdlend 14845

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlend	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdlend

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdval 14833	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → 𝐿 ≤ 𝐹)
4		3simpc 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
5	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
6		fzon 13855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
9		0ss 4353	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑊
10	8, 9	eqsstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
11	10	iftrued 4493	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
12		fzo0n 13856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 ↔ (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅))
13	12	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
14	13	3adantl1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (0..^(𝐿 − 𝐹)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5201	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))))
16		mpt0 6711	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))) = ∅)
18	2, 11, 17	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝐹) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
19	18	ex 418	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ifcif 4485  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   + caddc 11242   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828  Word cword 14699   substr csubstr 14830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-substr 14831

This theorem is used by:  swrdnd  14846  swrdnd2  14847  swrdsb0eq  14855  swrdccat  14926