Theorem dprd0 20094

Description: The empty family is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprd0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Proof of Theorem dprd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		dprd0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	dprdz 20093	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
4	1, 3	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
5		mpt0 6667	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) = ∅
6	5	breq2i 5113	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ↔ 𝐺dom DProd ∅)
7	5	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = (𝐺 DProd ∅)
8	7	eqeq1i 2770	. . 3 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 } ↔ (𝐺 DProd ∅) = { 0 })
9	6, 8	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }) ↔ (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))
10	4, 9	sylib 221	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990   DProd cdprd 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-cmn 19843  df-dprd 20058

This theorem is referenced by:  ablfac1eulem  20135  ablfac1eu  20136  pgpfaclem3  20146