MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprd0 19817
Description: The empty family is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprd0 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Proof of Theorem dprd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5269 . . 3 ∅ ∈ V
2 dprd0.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
32dprdz 19816 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
41, 3mpan2 690 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
5 mpt0 6648 . . . 4 (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) = ∅
65breq2i 5118 . . 3 (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ↔ 𝐺dom DProd ∅)
75oveq2i 7373 . . . 4 (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = (𝐺 DProd ∅)
87eqeq1i 2742 . . 3 ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 } ↔ (𝐺 DProd ∅) = { 0 })
96, 8anbi12i 628 . 2 ((𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }) ↔ (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))
104, 9sylib 217 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  cmpt 5193  dom cdm 5638  cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755   DProd cdprd 19779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-cmn 19571  df-dprd 19781
This theorem is referenced by:  ablfac1eulem  19858  ablfac1eu  19859  pgpfaclem3  19869
  Copyright terms: Public domain W3C validator