Theorem dprd0 20031

Description: The empty family is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprd0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Proof of Theorem dprd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5312	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		dprd0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	dprdz 20030	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
4	1, 3	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
5		mpt0 6703	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) = ∅
6	5	breq2i 5161	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ↔ 𝐺dom DProd ∅)
7	5	oveq2i 7435	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = (𝐺 DProd ∅)
8	7	eqeq1i 2731	. . 3 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 } ↔ (𝐺 DProd ∅) = { 0 })
9	6, 8	anbi12i 626	. 2 ⊢ ((𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }) ↔ (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))
10	4, 9	sylib 217	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ∅c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928   DProd cdprd 19993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-gim 19253  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-cmn 19780  df-dprd 19995

This theorem is referenced by:  ablfac1eulem  20072  ablfac1eu  20073  pgpfaclem3  20083