Theorem dprd0 19970

Description: The empty family is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprd0	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Proof of Theorem dprd0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		dprd0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	dprdz 19969	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∅ ∈ V) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
4	1, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }))
5		mpt0 6663	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) = ∅
6	5	breq2i 5118	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ↔ 𝐺dom DProd ∅)
7	5	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = (𝐺 DProd ∅)
8	7	eqeq1i 2735	. . 3 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 } ↔ (𝐺 DProd ∅) = { 0 })
9	6, 8	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝐺dom DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ ∅ ↦ { 0 })) = { 0 }) ↔ (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))
10	4, 9	sylib 218	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872   DProd cdprd 19932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-cmn 19719  df-dprd 19934

This theorem is referenced by:  ablfac1eulem  20011  ablfac1eu  20012  pgpfaclem3  20022