MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfval 19361
Description: Function definition of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfval.f 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
psgnfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnfval 𝑁 = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑤,𝑥   𝐷,𝑠,𝑤,𝑥   𝑥,𝐹   𝑤,𝑇   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑤,𝑠)   𝐷(𝑝)   𝑇(𝑥,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑤,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑠,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem psgnfval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnfval.n . 2 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
2 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (SymGrp‘𝑑) = (SymGrp‘𝐷))
3 psgnfval.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → (SymGrp‘𝑑) = 𝐺)
54fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (Base‘(SymGrp‘𝑑)) = (Base‘𝐺))
6 psgnfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (Base‘(SymGrp‘𝑑)) = 𝐵)
8 rabeq 3447 . . . . . . 7 ((Base‘(SymGrp‘𝑑)) = 𝐵 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
10 psgnfval.f . . . . . 6 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
119, 10eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = 𝐹)
12 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (pmTrsp‘𝑑) = (pmTrsp‘𝐷))
1312rneqd 5935 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → ran (pmTrsp‘𝑑) = ran (pmTrsp‘𝐷))
14 psgnfval.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1513, 14eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → ran (pmTrsp‘𝑑) = 𝑇)
16 wrdeq 14482 . . . . . . . 8 (ran (pmTrsp‘𝑑) = 𝑇 → Word ran (pmTrsp‘𝑑) = Word 𝑇)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → Word ran (pmTrsp‘𝑑) = Word 𝑇)
184oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑤))
1918eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ↔ 𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤)))
2019anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2117, 20rexeqbidv 3344 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2221iotabidv 6524 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2311, 22mpteq12dv 5238 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
24 df-psgn 19352 . . . 4 pmSgn = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
256fvexi 6902 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2610, 25rabex2 5333 . . . . 5 𝐹 ∈ V
2726mptex 7220 . . . 4 (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6994 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
29 fvprc 6880 . . . 4 𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = ∅)
30 fvprc 6880 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V → (SymGrp‘𝐷) = ∅)
313, 30eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V → 𝐺 = ∅)
3231fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
33 base0 17145 . . . . . . . . . . 11 ∅ = (Base‘∅)
3432, 33eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ V → (Base‘𝐺) = ∅)
356, 34eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V → 𝐵 = ∅)
36 rabeq 3447 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
38 rab0 4381 . . . . . . . 8 {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ∅
3937, 38eqtrdi 2789 . . . . . . 7 𝐷 ∈ V → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ∅)
4010, 39eqtrid 2785 . . . . . 6 𝐷 ∈ V → 𝐹 = ∅)
4140mpteq1d 5242 . . . . 5 𝐷 ∈ V → (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
42 mpt0 6689 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = ∅
4341, 42eqtrdi 2789 . . . 4 𝐷 ∈ V → (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = ∅)
4429, 43eqtr4d 2776 . . 3 𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
4528, 44pm2.61i 182 . 2 (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
461, 45eqtri 2761 1 𝑁 = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3944  c0 4321  cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675  ran crn 5676  cio 6490  cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  1c1 11107  -cneg 11441  cexp 14023  chash 14286  Word cword 14460  Basecbs 17140   Σg cgsu 17382  SymGrpcsymg 19227  pmTrspcpmtr 19302  pmSgncpsgn 19350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-psgn 19352
This theorem is referenced by:  psgnfn  19362  psgnval  19368  psgnfvalfi  19374
  Copyright terms: Public domain W3C validator