MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfval 18892
Description: Function definition of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfval.f 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
psgnfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnfval 𝑁 = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑝,𝑤,𝑥   𝐷,𝑠,𝑤,𝑥   𝑥,𝐹   𝑤,𝑇   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑤,𝑠)   𝐷(𝑝)   𝑇(𝑥,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑤,𝑠,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑠,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem psgnfval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnfval.n . 2 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
2 fveq2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (SymGrp‘𝑑) = (SymGrp‘𝐷))
3 psgnfval.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
42, 3eqtr4di 2796 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → (SymGrp‘𝑑) = 𝐺)
54fveq2d 6721 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (Base‘(SymGrp‘𝑑)) = (Base‘𝐺))
6 psgnfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
75, 6eqtr4di 2796 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (Base‘(SymGrp‘𝑑)) = 𝐵)
8 rabeq 3394 . . . . . . 7 ((Base‘(SymGrp‘𝑑)) = 𝐵 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
10 psgnfval.f . . . . . 6 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
119, 10eqtr4di 2796 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = 𝐹)
12 fveq2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 → (pmTrsp‘𝑑) = (pmTrsp‘𝐷))
1312rneqd 5807 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → ran (pmTrsp‘𝑑) = ran (pmTrsp‘𝐷))
14 psgnfval.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
1513, 14eqtr4di 2796 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → ran (pmTrsp‘𝑑) = 𝑇)
16 wrdeq 14091 . . . . . . . 8 (ran (pmTrsp‘𝑑) = 𝑇 → Word ran (pmTrsp‘𝑑) = Word 𝑇)
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → Word ran (pmTrsp‘𝑑) = Word 𝑇)
184oveq1d 7228 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 → ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑤))
1918eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ↔ 𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤)))
2019anbi1d 633 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2117, 20rexeqbidv 3314 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))) ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2221iotabidv 6364 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
2311, 22mpteq12dv 5140 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
24 df-psgn 18883 . . . 4 pmSgn = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ {𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑑)) ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑑)(𝑥 = ((SymGrp‘𝑑) Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
256fvexi 6731 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2610, 25rabex2 5227 . . . . 5 𝐹 ∈ V
2726mptex 7039 . . . 4 (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) ∈ V
2823, 24, 27fvmpt 6818 . . 3 (𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
29 fvprc 6709 . . . 4 𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = ∅)
30 fvprc 6709 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V → (SymGrp‘𝐷) = ∅)
313, 30syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 ∈ V → 𝐺 = ∅)
3231fveq2d 6721 . . . . . . . . . . 11 𝐷 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
33 base0 16765 . . . . . . . . . . 11 ∅ = (Base‘∅)
3432, 33eqtr4di 2796 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ V → (Base‘𝐺) = ∅)
356, 34syl5eq 2790 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V → 𝐵 = ∅)
36 rabeq 3394 . . . . . . . . 9 (𝐵 = ∅ → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin})
38 rab0 4297 . . . . . . . 8 {𝑝 ∈ ∅ ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ∅
3937, 38eqtrdi 2794 . . . . . . 7 𝐷 ∈ V → {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin} = ∅)
4010, 39syl5eq 2790 . . . . . 6 𝐷 ∈ V → 𝐹 = ∅)
4140mpteq1d 5144 . . . . 5 𝐷 ∈ V → (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
42 mpt0 6520 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = ∅
4341, 42eqtrdi 2794 . . . 4 𝐷 ∈ V → (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))) = ∅)
4429, 43eqtr4d 2780 . . 3 𝐷 ∈ V → (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))))
4528, 44pm2.61i 185 . 2 (pmSgn‘𝐷) = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
461, 45eqtri 2765 1 𝑁 = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  cdif 3863  c0 4237  cmpt 5135   I cid 5454  dom cdm 5551  ran crn 5552  cio 6336  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  1c1 10730  -cneg 11063  cexp 13635  chash 13896  Word cword 14069  Basecbs 16760   Σg cgsu 16945  SymGrpcsymg 18759  pmTrspcpmtr 18833  pmSgncpsgn 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-psgn 18883
This theorem is referenced by:  psgnfn  18893  psgnval  18899  psgnfvalfi  18905
  Copyright terms: Public domain W3C validator