MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fzgsumd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fzgsumd 20387
Description: Value of an evaluated coefficient in a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1fzgsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
coe1fzgsumd.m (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)
coe1fzgsumd.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumd (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem coe1fzgsumd
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fzgsumd.m . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)
2 coe1fzgsumd.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 raleq 3410 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵))
43anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵)))
5 mpteq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
65oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
76fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
87fveq1d 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾))
9 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
109oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
118, 10eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
124, 11imbi12d 346 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
13 raleq 3410 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵))
1413anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵)))
15 mpteq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑚𝑀))
1615oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))
1716fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))))
1817fveq1d 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾))
19 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
2019oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
2118, 20eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
2214, 21imbi12d 346 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
23 raleq 3410 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵))
2423anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵)))
25 mpteq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
2625oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
2726fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
2827fveq1d 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾))
29 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
3029oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
3128, 30eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
3224, 31imbi12d 346 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
33 raleq 3410 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵))
3433anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)))
35 mpteq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑁𝑀))
3635oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))
3736fveq2d 6670 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀))))
3837fveq1d 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾))
39 mpteq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
4039oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
4138, 40eqeq12d 2841 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
4234, 41imbi12d 346 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
43 mpt0 6486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
4443oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4645gsum0 17885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg ∅) = (0g𝑃)
4744, 46eqtri 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g𝑃)
4847fveq2i 6669 . . . . . . . . . 10 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g𝑃))
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g𝑃)))
5049fveq1d 6668 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(0g𝑃))‘𝐾))
51 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
52 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
53 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5452, 45, 53coe1z 20348 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘(0g𝑃)) = (ℕ0 × {(0g𝑅)}))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(0g𝑃)) = (ℕ0 × {(0g𝑅)}))
5655fveq1d 6668 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(0g𝑃))‘𝐾) = ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾))
57 fvex 6679 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
58 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
59 fvconst2g 6963 . . . . . . . . 9 (((0g𝑅) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾) = (0g𝑅))
6057, 58, 59sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾) = (0g𝑅))
6150, 56, 603eqtrd 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (0g𝑅))
62 mpt0 6486 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = ∅
6362oveq2i 7162 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg ∅)
6453gsum0 17885 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
6563, 64eqtri 2848 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (0g𝑅)
6661, 65syl6eqr 2878 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
6766adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
68 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
6952, 68, 51, 58coe1fzgsumdlem 20386 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
70693expia 1115 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
7170a2d 29 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
72 impexp 451 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
73 impexp 451 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
7471, 72, 733imtr4g 297 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
7512, 22, 32, 42, 67, 74findcard2s 8751 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
7675expd 416 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
772, 76mpcom 38 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
781, 77mpd 15 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  cun 3937  c0 4294  {csn 4563  cmpt 5142   × cxp 5551  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  0cn0 11889  Basecbs 16475  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Ringcrg 19219  Poly1cpl1 20262  coe1cco1 20263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-subrg 19455  df-psr 20057  df-mpl 20059  df-opsr 20061  df-psr1 20265  df-ply1 20267  df-coe1 20268
This theorem is referenced by:  gsummoncoe1  20389  cpmatmcllem  21242  decpmatmullem  21295  mp2pm2mplem4  21333
  Copyright terms: Public domain W3C validator