MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fzgsumd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fzgsumd 21689
Description: Value of an evaluated coefficient in a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1fzgsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
coe1fzgsumd.m (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)
coe1fzgsumd.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumd (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem coe1fzgsumd
Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fzgsumd.m . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)
2 coe1fzgsumd.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 raleq 3308 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵))
43anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵)))
5 mpteq1 5199 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
65oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
76fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
87fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾))
9 mpteq1 5199 . . . . . . . 8 (𝑛 = ∅ → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
109oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
118, 10eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
124, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
13 raleq 3308 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵))
1413anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵)))
15 mpteq1 5199 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑚𝑀))
1615oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))
1716fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))))
1817fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾))
19 mpteq1 5199 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
2019oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
2118, 20eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
2214, 21imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
23 raleq 3308 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵))
2423anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵)))
25 mpteq1 5199 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
2625oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
2726fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
2827fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾))
29 mpteq1 5199 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
3029oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
3128, 30eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
3224, 31imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
33 raleq 3308 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥𝑛 𝑀𝐵 ↔ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵))
3433anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵)))
35 mpteq1 5199 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛𝑀) = (𝑥𝑁𝑀))
3635oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))
3736fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀))))
3837fveq1d 6845 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾))
39 mpteq1 5199 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
4039oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
4138, 40eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
4234, 41imbi12d 345 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑛 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑛𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑛 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
43 mpt0 6644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
4443oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4645gsum0 18544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 Σg ∅) = (0g𝑃)
4744, 46eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g𝑃)
4847fveq2i 6846 . . . . . . . . . 10 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g𝑃))
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g𝑃)))
5049fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(0g𝑃))‘𝐾))
51 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
52 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5452, 45, 53coe1z 21650 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘(0g𝑃)) = (ℕ0 × {(0g𝑅)}))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (coe1‘(0g𝑃)) = (ℕ0 × {(0g𝑅)}))
5655fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(0g𝑃))‘𝐾) = ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾))
57 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
58 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
59 fvconst2g 7152 . . . . . . . . 9 (((0g𝑅) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾) = (0g𝑅))
6057, 58, 59sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℕ0 × {(0g𝑅)})‘𝐾) = (0g𝑅))
6150, 56, 603eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (0g𝑅))
62 mpt0 6644 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = ∅
6362oveq2i 7369 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg ∅)
6453gsum0 18544 . . . . . . . 8 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
6563, 64eqtri 2761 . . . . . . 7 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (0g𝑅)
6661, 65eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
6766adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
68 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
6952, 68, 51, 58coe1fzgsumdlem 21688 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
70693expia 1122 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
7170a2d 29 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
72 impexp 452 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
73 impexp 452 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
7471, 72, 733imtr4g 296 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
7512, 22, 32, 42, 67, 74findcard2s 9112 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑁 𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
7675expd 417 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
772, 76mpcom 38 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑁 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
781, 77mpd 15 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑁𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑁 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444  cun 3909  c0 4283  {csn 4587  cmpt 5189   × cxp 5632  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  0cn0 12418  Basecbs 17088  0gc0g 17326   Σg cgsu 17327  Ringcrg 19969  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569  df-coe1 21570
This theorem is referenced by:  gsummoncoe1  21691  cpmatmcllem  22083  decpmatmullem  22136  mp2pm2mplem4  22174
  Copyright terms: Public domain W3C validator