Theorem coe1fzgsumd 22561

Description: Value of an evaluated coefficient in a finite group sum of polynomials. (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1fzgsumd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
coe1fzgsumd.m	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵)
coe1fzgsumd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumd	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem coe1fzgsumd

Dummy variables 𝑎 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fzgsumd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵)
2		coe1fzgsumd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝐵))
4	3	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝐵)))
5		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))
6	5	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))
7	6	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))))
8	7	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾))
9		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
10	9	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
11	8, 10	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
12	4, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
13		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵))
14	13	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵)))
15		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))
16	15	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))
17	16	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀))))
18	17	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾))
19		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
20	19	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
21	18, 20	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
22	14, 21	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
23		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵))
24	23	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵)))
25		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))
26	25	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))
27	26	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))))
28	27	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾))
29		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
30	29	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
31	28, 30	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
32	24, 31	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 ∪ {𝑎}) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
33		raleq 3316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵))
34	33	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵)))
35		mpteq1 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))
36	35	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))
37	36	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀))))
38	37	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾))
39		mpteq1 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))
40	39	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
41	38, 40	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) ↔ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
42	34, 41	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑛 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑛 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
43		mpt0 6677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀) = ∅
44	43	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg ∅)
45		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
46	45	gsum0 18812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 Σg ∅) = (0g‘𝑃)
47	44, 46	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)) = (0g‘𝑃)
48	47	fveq2i 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g‘𝑃))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀))) = (coe1‘(0g‘𝑃)))
50	49	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘(0g‘𝑃))‘𝐾))
51		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
54	52, 45, 53	coe1z 22521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘(0g‘𝑃)) = (ℕ0 × {(0g‘𝑅)}))
55	51, 54	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(0g‘𝑃)) = (ℕ0 × {(0g‘𝑅)}))
56	55	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(0g‘𝑃))‘𝐾) = ((ℕ0 × {(0g‘𝑅)})‘𝐾))
57		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
58		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
59		fvconst2g 7204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0g‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(0g‘𝑅)})‘𝐾) = (0g‘𝑅))
60	57, 58, 59	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℕ0 × {(0g‘𝑅)})‘𝐾) = (0g‘𝑅))
61	50, 56, 60	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (0g‘𝑅))
62		mpt0 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)) = ∅
63	62	oveq2i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg ∅)
64	53	gsum0 18812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
65	63, 64	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))) = (0g‘𝑅)
66	61, 65	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
67	66	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))
68		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
69	52, 68, 51, 58	coe1fzgsumdlem 22560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚 ∧ 𝜑) → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
70	69	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (𝜑 → ((∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
71	70	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → ((𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))) → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))))
72		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
73		impexp 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) ↔ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
74	71, 72, 73	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎 ∈ 𝑚) → (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑚 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑚 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
75	12, 22, 32, 42, 67, 74	findcard2s 9167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
76	75	expd 421	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))))
77	2, 76	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑁 𝑀 ∈ 𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾)))))
78	1, 77	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘𝑀)‘𝐾))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Fincfn 8959  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17326  0_gc0g 17549   Σ_g cgsu 17550  Ringcrg 20398  Poly₁cpl1 22434  coe₁cco1 22435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-hash 14420  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-psr 22156  df-mpl 22158  df-opsr 22160  df-psr1 22437  df-ply1 22439  df-coe1 22440

This theorem is used by:  gsummoncoe1  22565  cpmatmcllem  22975  decpmatmullem  23028  mp2pm2mplem4  23066