MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div0d 11400
Description: Division into zero is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
reccld.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
div0d (𝜑 → (0 / 𝐴) = 0)

Proof of Theorem div0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 reccld.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 div0 11313 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 / 𝐴) = 0)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (0 / 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  (class class class)co 7138  cc 10520  0cc0 10522   / cdiv 11282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  12477  bcval5  13672  ef0lem  15421  phiprmpw  16100  pceulem  16169  pcqmul  16177  pcqcl  16180  pcaddlem  16211  pcadd  16212  prmreclem4  16242  nmoleub2lem2  23710  mbfi1fseqlem3  24310  itgz  24373  ibl0  24379  iblss2  24398  itgss  24404  dvconst  24509  dvcobr  24538  plyeq0lem  24796  elqaalem3  24906  aareccl  24911  logb1  25344  birthdaylem3  25528  basellem4  25658  logexprlim  25798  chpo1ubb  26054  rpvmasumlem  26060  cndprobnul  31713  cvmliftlem7  32556  cvmliftlem10  32559  cvmliftlem13  32561  faclim  32996  poimirlem29  34986  poimirlem31  34988  areacirclem4  35048  pellexlem6  39607  reglog1  39669  stoweidlem36  42520  fourierdlem30  42621  fourierdlem103  42693  fourierdlem104  42694  sqwvfoura  42712  sqwvfourb  42713  elaa2lem  42717  etransclem24  42742
  Copyright terms: Public domain W3C validator