Theorem sinmpi 26554

Description: Sine of a number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinmpi	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26523	. . 3 ⊢ π ∈ ℂ
2		sinsub 16202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (sin‘(𝐴 − π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))))
4		cospi 26539	. . . . . 6 ⊢ (cos‘π) = -1
5	4	oveq2i 7409	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = ((sin‘𝐴) · -1)
6		sincl 16160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12182	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		mulcom 11161	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
9	7, 8	mpan2 701	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = (-1 · (sin‘𝐴)))
10		mulm1 11630	. . . . . . 7 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (sin‘𝐴)) = -(sin‘𝐴))
11	9, 10	eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -1) = -(sin‘𝐴))
13	5, 12	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘π)) = -(sin‘𝐴))
14		sinpi 26520	. . . . . 6 ⊢ (sin‘π) = 0
15	14	oveq2i 7409	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = ((cos‘𝐴) · 0)
16		coscl 16161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	mul01d 11384	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 0) = 0)
18	15, 17	eqtrid 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
19	13, 18	oveq12d 7416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(sin‘𝐴) − 0))
20	6	negcld 11531	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	subid1d 11533	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(sin‘𝐴) − 0) = -(sin‘𝐴))
22	19, 21	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘π)) − ((cos‘𝐴) · (sin‘π))) = -(sin‘𝐴))
23	3, 22	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 − π)) = -(sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   − cmin 11416  -cneg 11417  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-bc 14318  df-hash 14346  df-shft 15082  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-limsup 15500  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-pt 17475  df-prds 17478  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-xps 17542  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cn 23289  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-tx 23624  df-hmeo 23817  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-xms 24382  df-ms 24383  df-tms 24384  df-cncf 24942  df-limc 25930  df-dv 25931

This theorem is referenced by:  efimpi  26558  sinq34lt0t  26576  abssinper  26588  sinpim  42964