MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosmpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosmpi 26540
Description: Cosine of a number less π. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
cosmpi (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosmpi
StepHypRef Expression
1 picn 26511 . . 3 π ∈ ℂ
2 cossub 16211 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 − π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))))
4 cospi 26524 . . . . . 6 (cos‘π) = -1
54oveq2i 7456 . . . . 5 ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = ((cos‘𝐴) · -1)
6 coscl 16169 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7 neg1cn 12403 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
8 mulcom 11266 . . . . . . . 8 (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
97, 8mpan2 690 . . . . . . 7 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = (-1 · (cos‘𝐴)))
10 mulm1 11727 . . . . . . 7 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (-1 · (cos‘𝐴)) = -(cos‘𝐴))
119, 10eqtrd 2774 . . . . . 6 ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
126, 11syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · -1) = -(cos‘𝐴))
135, 12eqtrid 2786 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘π)) = -(cos‘𝐴))
14 sinpi 26509 . . . . . 6 (sin‘π) = 0
1514oveq2i 7456 . . . . 5 ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = ((sin‘𝐴) · 0)
16 sincl 16168 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
1716mul01d 11485 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · 0) = 0)
1815, 17eqtrid 2786 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘π)) = 0)
1913, 18oveq12d 7463 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = (-(cos‘𝐴) + 0))
206negcld 11630 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2120addridd 11486 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-(cos‘𝐴) + 0) = -(cos‘𝐴))
2219, 21eqtrd 2774 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘π)) + ((sin‘𝐴) · (sin‘π))) = -(cos‘𝐴))
233, 22eqtrd 2774 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 − π)) = -(cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  0cc0 11180  1c1 11181   + caddc 11183   · cmul 11185  cmin 11516  -cneg 11517  sincsin 16105  cosccos 16106  πcpi 16108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-ixp 8952  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-ioc 13408  df-ico 13409  df-icc 13410  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14319  df-bc 14348  df-hash 14376  df-shft 15112  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-limsup 15513  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15731  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-lp 23158  df-perf 23159  df-cn 23249  df-cnp 23250  df-haus 23337  df-tx 23584  df-hmeo 23777  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-xms 24344  df-ms 24345  df-tms 24346  df-cncf 24916  df-limc 25913  df-dv 25914
This theorem is referenced by:  efimpi  26543  ptolemy  26548
  Copyright terms: Public domain W3C validator