Theorem lcmineqlem1 43271

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem1.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem1.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		elunitcn 13626	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		negsub 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
5	3, 4	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
6	5	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
8		negcl 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10		lcmineqlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		lcmineqlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		lcmineqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nn0sub 12683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
17	10, 16	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		binom 16028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))))
19	18	3com23 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))))
20	19	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ( -𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)))))
21	9, 17, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)))))
22	8, 21	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)))))
23	22	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))))
24	7, 23	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))))
25		elfzelz 13683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	13	nnzd 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	11	nnzd 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28		zsubcl 12765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
30		zsubcl 12765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
32	25, 31	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
33		1exp 14261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
35	34	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
36	35	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)) = (1 · ( -𝑥↑𝑘)))
37	8	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → -𝑥 ∈ ℂ)
38		elfznn0 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		expcl 14249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( -𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( -𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ( -𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 · ( -𝑥↑𝑘)) = ( -𝑥↑𝑘))
43	36, 42	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)) = ( -𝑥↑𝑘))
44		mulm1 11784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ( -1 · 𝑥) = -𝑥)
45	44	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = ( -𝑥↑𝑘))
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = ( -𝑥↑𝑘))
47	43, 46	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)) = (( -1 · 𝑥)↑𝑘))
48		neg1cn 12332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
49		mulexp 14271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
50	48, 49	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
51	38, 50	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
52	51	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (( -1 · 𝑥)↑𝑘) = (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
53	47, 52	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘)) = (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
54	53	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
55		bccl 14493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
56	17, 25, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
58	57	nn0cnd 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
59		expcl 14249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑘) ∈ ℂ)
60	48, 39, 59	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ( -1↑𝑘) ∈ ℂ)
61		expcl 14249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
62	38, 61	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
63	62	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
64	58, 60, 63	mulassd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ( -1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (( -1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
65	54, 64	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))) = ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ( -1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
66	58, 60	mulcomd 11357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ( -1↑𝑘)) = (( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)))
67	66	oveq1d 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ( -1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = ((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))) = ((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
69	68	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))) = ((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
70	69	sumeq2dv 15898	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · ( -𝑥↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
71	24, 70	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
72	2, 71	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
73	72	oveq2d 7459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))))
74	73	itgeq2dv 26132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
75	1, 74	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))((( -1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   ≤ cle 11371   − cmin 11568   -cneg 11569  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  [,]cicc 13506  ...cfz 13666  ↑cexp 14231  Ccbc 14473  Σcsu 15882  ∫citg 25969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-itg 25974

This theorem is used by:  lcmineqlem2  43272