Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem1 39278
 Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem1.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem1.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem1 (𝜑𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem1
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem1.1 . 2 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 elunitcn 12846 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4 negsub 10923 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
53, 4mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
65oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
76adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
8 negcl 10875 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9 1cnd 10625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10 lcmineqlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑁)
11 lcmineqlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
13 lcmineqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
15 nn0sub 11935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
1612, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
1710, 16mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 binom 15176 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
19183com23 1123 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
20193expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
219, 17, 20syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
228, 21syl5 34 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
2322imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
247, 23eqtr3d 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
25 elfzelz 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2613nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2711nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
28 zsubcl 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
2926, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
30 zsubcl 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
3129, 30sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
3225, 31sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
33 1exp 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
35343adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
3635oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = (1 · (-𝑥𝑘)))
3783ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → -𝑥 ∈ ℂ)
38 elfznn0 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39383ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 expcl 13443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑥𝑘) ∈ ℂ)
4137, 39, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-𝑥𝑘) ∈ ℂ)
4241mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1 · (-𝑥𝑘)) = (-𝑥𝑘))
4336, 42eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = (-𝑥𝑘))
44 mulm1 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
4544oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥𝑘))
46453ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥𝑘))
4743, 46eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = ((-1 · 𝑥)↑𝑘))
48 neg1cn 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
49 mulexp 13464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5048, 49mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5138, 50sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
52513adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5347, 52eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5453oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘))))
55 bccl 13678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
5617, 25, 55syl2an 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
57563adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
59 expcl 13443 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6048, 39, 59sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
61 expcl 13443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6238, 61sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
63623adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6458, 60, 63mulassd 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)) = (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘))))
6554, 64eqtr4d 2860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)))
6658, 60mulcomd 10651 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)))
6766oveq1d 7155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
6865, 67eqtrd 2857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
69683expa 1115 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7069sumeq2dv 15051 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7124, 70eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
722, 71sylan2 595 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7372oveq2d 7156 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))))
7473itgeq2dv 24383 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
751, 74syl5eq 2869 1 (𝜑𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  Ccbc 13658  Σcsu 15033  ∫citg 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-itg 24225 This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  39279
 Copyright terms: Public domain W3C validator