Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem1 41200
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem1.1 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
lcmineqlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lcmineqlem1
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem1.1 . 2 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
2 elunitcn 13449 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
4 negsub 11512 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘ฅ))
53, 4mpan 686 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + -๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘ฅ))
65oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
76adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
8 negcl 11464 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10 lcmineqlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
11 lcmineqlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 lcmineqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1413nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
15 nn0sub 12526 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0))
1612, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0))
1710, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
18 binom 15780 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
19183com23 1124 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
20193expia 1119 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
219, 17, 20syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
228, 21syl5 34 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
2322imp 405 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
247, 23eqtr3d 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
25 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2613nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2711nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
28 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
30 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3129, 30sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3225, 31sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
35343adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
3635oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (1 ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
3783ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
38 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
39383ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
40 expcl 14049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4137, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4241mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1 ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
4336, 42eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
44 mulm1 11659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐‘ฅ) = -๐‘ฅ)
4544oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
46453ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
4743, 46eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜))
48 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„‚
49 mulexp 14071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5048, 49mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5138, 50sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
52513adant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5347, 52eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5453oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
55 bccl 14286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5617, 25, 55syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
57563adant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5857nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
59 expcl 14049 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6048, 39, 59sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 expcl 14049 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6238, 61sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
63623adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6458, 60, 63mulassd 11241 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
6554, 64eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
6658, 60mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)))
6766oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
6865, 67eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
69683expa 1116 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7069sumeq2dv 15653 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7124, 70eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
722, 71sylan2 591 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7372oveq2d 7427 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
7473itgeq2dv 25531 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
751, 74eqtrid 2782 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  Ccbc 14266  ฮฃcsu 15636  โˆซcitg 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-itg 25372
This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  41201
  Copyright terms: Public domain W3C validator