Theorem lcmineqlem1 43047

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem1.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem1.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		elunitcn 13580	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		negsub 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
5	3, 4	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
6	5	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
8		negcl 11538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10		lcmineqlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		lcmineqlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		lcmineqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nn0sub 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
17	10, 16	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		binom 15979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
19	18	3com23 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
20	19	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
21	9, 17, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
22	8, 21	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
23	22	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
24	7, 23	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
25		elfzelz 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	13	nnzd 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	11	nnzd 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28		zsubcl 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
29	26, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
30		zsubcl 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
32	25, 31	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
33		1exp 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
35	34	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
36	35	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = (1 · (-𝑥↑𝑘)))
37	8	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → -𝑥 ∈ ℂ)
38		elfznn0 13734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		expcl 14202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 · (-𝑥↑𝑘)) = (-𝑥↑𝑘))
43	36, 42	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = (-𝑥↑𝑘))
44		mulm1 11738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥↑𝑘))
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥↑𝑘))
47	43, 46	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = ((-1 · 𝑥)↑𝑘))
48		neg1cn 12286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
49		mulexp 14224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
50	48, 49	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
51	38, 50	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
52	51	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
53	47, 52	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
55		bccl 14446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
56	17, 25, 55	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
58	57	nn0cnd 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
59		expcl 14202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
60	48, 39, 59	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
61		expcl 14202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
62	38, 61	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
63	62	3adant1 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
64	58, 60, 63	mulassd 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
65	54, 64	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
66	58, 60	mulcomd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)))
67	66	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
69	68	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
70	69	sumeq2dv 15849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
71	24, 70	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
72	2, 71	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
73	72	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))))
74	73	itgeq2dv 26082	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
75	1, 74	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  ↑cexp 14184  Ccbc 14426  Σcsu 15833  ∫citg 25919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834  df-itg 25924

This theorem is used by:  lcmineqlem2  43048