Theorem lcmineqlem1 41986

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem1.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem1.1	. 2 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		elunitcn 13528	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		negsub 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
5	3, 4	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
6	5	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
8		negcl 11536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9		1cnd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10		lcmineqlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		lcmineqlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
13		lcmineqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nn0sub 12603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
16	12, 14, 15	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
17	10, 16	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
18		binom 15878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
19	18	3com23 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
20	19	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0) → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
21	9, 17, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
22	8, 21	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)))))
23	22	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
24	7, 23	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))))
25		elfzelz 13584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26	13	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	11	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
28		zsubcl 12685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
29	26, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
30		zsubcl 12685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
32	25, 31	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
33		1exp 14142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
35	34	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) = 1)
36	35	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = (1 · (-𝑥↑𝑘)))
37	8	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → -𝑥 ∈ ℂ)
38		elfznn0 13677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40		expcl 14130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (1 · (-𝑥↑𝑘)) = (-𝑥↑𝑘))
43	36, 42	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = (-𝑥↑𝑘))
44		mulm1 11731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
45	44	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥↑𝑘))
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥↑𝑘))
47	43, 46	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = ((-1 · 𝑥)↑𝑘))
48		neg1cn 12407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
49		mulexp 14152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
50	48, 49	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
51	38, 50	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
52	51	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
53	47, 52	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
54	53	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
55		bccl 14371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
56	17, 25, 55	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
57	56	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
58	57	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
59		expcl 14130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
60	48, 39, 59	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
61		expcl 14130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
62	38, 61	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
63	62	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℂ)
64	58, 60, 63	mulassd 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
65	54, 64	eqtr4d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
66	58, 60	mulcomd 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)))
67	66	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥↑𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
68	65, 67	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
69	68	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
70	69	sumeq2dv 15750	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((𝑁 − 𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁 − 𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
71	24, 70	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
72	2, 71	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘)))
73	72	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))))
74	73	itgeq2dv 25837	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
75	1, 74	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Ccbc 14351  Σcsu 15734  ∫citg 25672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-itg 25677

This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  41987