Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem1 40299
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem1.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem1.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem1.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem1 (𝜑𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem lcmineqlem1
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem1.1 . 2 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 elunitcn 13301 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11030 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4 negsub 11370 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
53, 4mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (1 + -𝑥) = (1 − 𝑥))
65oveq1d 7352 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
76adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))
8 negcl 11322 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
9 1cnd 11071 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10 lcmineqlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀𝑁)
11 lcmineqlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnnn0d 12394 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
13 lcmineqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 12394 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
15 nn0sub 12384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
1612, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
1710, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
18 binom 15641 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
19183com23 1125 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
20193expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
219, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
228, 21syl5 34 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)))))
2322imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 + -𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
247, 23eqtr3d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))))
25 elfzelz 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2613nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2711nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
28 zsubcl 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
30 zsubcl 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
3129, 30sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
3225, 31sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ)
33 1exp 13913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁𝑀) − 𝑘) ∈ ℤ → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
35343adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) = 1)
3635oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = (1 · (-𝑥𝑘)))
3783ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → -𝑥 ∈ ℂ)
38 elfznn0 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39383ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
40 expcl 13901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-𝑥𝑘) ∈ ℂ)
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-𝑥𝑘) ∈ ℂ)
4241mulid2d 11094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (1 · (-𝑥𝑘)) = (-𝑥𝑘))
4336, 42eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = (-𝑥𝑘))
44 mulm1 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
4544oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥𝑘))
46453ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = (-𝑥𝑘))
4743, 46eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = ((-1 · 𝑥)↑𝑘))
48 neg1cn 12188 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
49 mulexp 13923 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5048, 49mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5138, 50sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
52513adant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1 · 𝑥)↑𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5347, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘)) = ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘)))
5453oveq2d 7353 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘))))
55 bccl 14137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
5617, 25, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
57563adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 12396 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
59 expcl 13901 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
6048, 39, 59sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
61 expcl 13901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6238, 61sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
63623adant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6458, 60, 63mulassd 11099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)) = (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((-1↑𝑘) · (𝑥𝑘))))
6554, 64eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)))
6658, 60mulcomd 11097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) = ((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)))
6766oveq1d 7352 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((((𝑁𝑀)C𝑘) · (-1↑𝑘)) · (𝑥𝑘)) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
6865, 67eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
69683expa 1117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = (((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7069sumeq2dv 15514 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((𝑁𝑀)C𝑘) · ((1↑((𝑁𝑀) − 𝑘)) · (-𝑥𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7124, 70eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
722, 71sylan2 593 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘)))
7372oveq2d 7353 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))))
7473itgeq2dv 25052 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
751, 74eqtrid 2788 1 (𝜑𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  cc 10970  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  cle 11111  cmin 11306  -cneg 11307  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  [,]cicc 13183  ...cfz 13340  cexp 13883  Ccbc 14117  Σcsu 15496  citg 24888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-fac 14089  df-bc 14118  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-itg 24893
This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  40300
  Copyright terms: Public domain W3C validator