Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem1 41201
Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem1.1 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
lcmineqlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lcmineqlem1
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem1.1 . 2 ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ
2 elunitcn 13450 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
4 negsub 11513 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘ฅ))
53, 4mpan 687 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + -๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘ฅ))
65oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
76adantl 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
8 negcl 11465 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 11214 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10 lcmineqlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
11 lcmineqlem1.3 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1211nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
13 lcmineqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1413nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
15 nn0sub 12527 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0))
1612, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0))
1710, 16mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
18 binom 15781 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
19183com23 1125 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
20193expia 1120 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
219, 17, 20syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
228, 21syl5 34 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))))
2322imp 406 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + -๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
247, 23eqtr3d 2773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
25 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2613nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2711nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
28 zsubcl 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2926, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
30 zsubcl 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3129, 30sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
3225, 31sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
33 1exp 14062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
35343adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) = 1)
3635oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (1 ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
3783ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ -๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
38 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
39383ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
40 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4137, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4241mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (1 ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
4336, 42eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
44 mulm1 11660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐‘ฅ) = -๐‘ฅ)
4544oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
46453ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))
4743, 46eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜))
48 neg1cn 12331 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โˆˆ โ„‚
49 mulexp 14072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5048, 49mp3an1 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5138, 50sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
52513adant1 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((-1 ยท ๐‘ฅ)โ†‘๐‘˜) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5347, 52eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
5453oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
55 bccl 14287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5617, 25, 55syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
57563adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
5857nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
59 expcl 14050 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6048, 39, 59sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (-1โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
61 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6238, 61sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
63623adant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6458, 60, 63mulassd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((-1โ†‘๐‘˜) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
6554, 64eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
6658, 60mulcomd 11240 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) = ((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)))
6766oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท (-1โ†‘๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
6865, 67eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
69683expa 1117 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โ†’ (((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = (((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7069sumeq2dv 15654 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜) ยท ((1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (-๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7124, 70eqtrd 2771 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
722, 71sylan2 592 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜)))
7372oveq2d 7428 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))))
7473itgeq2dv 25532 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
751, 74eqtrid 2783 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘€))(((-1โ†‘๐‘˜) ยท ((๐‘ โˆ’ ๐‘€)C๐‘˜)) ยท (๐‘ฅโ†‘๐‘˜))) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  Ccbc 14267  ฮฃcsu 15637  โˆซcitg 25368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-itg 25373
This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  41202
  Copyright terms: Public domain W3C validator