Theorem divalglem2 16365

Description: Lemma for divalg 16373. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem2	⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
2	1	ssrab3 4045	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
3		nn0uz 12835	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	sseqtri 3995	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
5		divalglem0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
6		divalglem0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
7		zmulcl 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9		nn0abscl 15278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12558	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12		zaddcl 12573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
13	5, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14		divalglem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ≠ 0
15	5, 6, 14	divalglem1 16364	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16		elnn0z 12542	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
17	13, 15, 16	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18		iddvds 16239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
19		dvdsabsb 16245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
20	19	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
21	18, 20	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23		nn0abscl 15278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
25	24	nn0negzi 12572	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26		nn0abscl 15278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
27	6, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
28	27	nn0zi 12558	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29		dvdsmultr2 16268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
30	6, 25, 28, 29	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
31	22, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32		zcn 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
33	5, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
34		zcn 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
35	6, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
36	33, 35	absmuli 15371	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
37	36	negeqi 11414	. . . . . 6 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38		df-neg 11408	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
39	33	subidi 11493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 𝑁) = 0
40	39	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
41	10	nn0cni 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42		subsub4 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
43	33, 33, 41, 42	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
44	38, 40, 43	3eqtr2ri 2759	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
45	33	abscli 15362	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℝ
46	45	recni 11188	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℂ
47	35	abscli 15362	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
48	47	recni 11188	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
49	46, 48	mulneg1i 11624	. . . . . 6 ⊢ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
50	37, 44, 49	3eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
51	31, 50	breqtrri 5134	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
53	52	breq2d 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
54	53, 1	elrab2 3662	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
55	17, 51, 54	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
56	55	ne0ii 4307	. 2 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
57		infssuzcl 12891	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
58	4, 56, 57	mp2an 692	1 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  abscabs 15200   ∥ cdvds 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223

This theorem is referenced by:  divalglem5  16367  divalglem9  16371