MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem2 15529
Description: Lemma for divalg 15537. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
21ssrab3 3909 . . 3 𝑆 ⊆ ℕ0
3 nn0uz 12032 . . 3 0 = (ℤ‘0)
42, 3sseqtri 3856 . 2 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
5 divalglem0.1 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℤ
6 divalglem0.2 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
7 zmulcl 11782 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
85, 6, 7mp2an 682 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9 nn0abscl 14463 . . . . . . . 8 ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
1110nn0zi 11758 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12 zaddcl 11773 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
135, 11, 12mp2an 682 . . . . 5 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14 divalglem1.3 . . . . . 6 𝐷 ≠ 0
155, 6, 14divalglem1 15528 . . . . 5 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16 elnn0z 11745 . . . . 5 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
1713, 15, 16mpbir2an 701 . . . 4 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18 iddvds 15406 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
19 dvdsabsb 15412 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2019anidms 562 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2118, 20mpbid 224 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
226, 21ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23 nn0abscl 14463 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
2524nn0negzi 11772 . . . . . . 7 -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26 nn0abscl 14463 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
276, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
2827nn0zi 11758 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29 dvdsmultr2 15432 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
306, 25, 28, 29mp3an 1534 . . . . . 6 (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
3122, 30ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32 zcn 11737 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
335, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
34 zcn 11737 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
356, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3633, 35absmuli 14555 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
3736negeqi 10617 . . . . . 6 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38 df-neg 10611 . . . . . . 7 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3933subidi 10696 . . . . . . . 8 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 6934 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4110nn0cni 11659 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42 subsub4 10658 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
4333, 33, 41, 42mp3an 1534 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4438, 40, 433eqtr2ri 2809 . . . . . 6 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
4533abscli 14546 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℝ
4645recni 10393 . . . . . . 7 (abs‘𝑁) ∈ ℂ
4735abscli 14546 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
4847recni 10393 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4946, 48mulneg1i 10823 . . . . . 6 (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5037, 44, 493eqtr4i 2812 . . . . 5 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5131, 50breqtrri 4915 . . . 4 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52 oveq2 6932 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
5352breq2d 4900 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5453, 1elrab2 3576 . . . 4 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5517, 51, 54mpbir2an 701 . . 3 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
5655ne0ii 4152 . 2 𝑆 ≠ ∅
57 infssuzcl 12083 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
584, 56, 57mp2an 682 1 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  {crab 3094  wss 3792  c0 4141   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  infcinf 8637  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609  0cn0 11646  cz 11732  cuz 11996  abscabs 14385  cdvds 15391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-seq 13124  df-exp 13183  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-dvds 15392
This theorem is referenced by:  divalglem5  15531  divalglem9  15535
  Copyright terms: Public domain W3C validator