Theorem divalglem2 15325

Description: Lemma for divalg 15333. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem2	⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
2		ssrab2 3836	. . . 4 ⊢ {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)} ⊆ ℕ0
3	1, 2	eqsstri 3784	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
4		nn0uz 11923	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5	3, 4	sseqtri 3786	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
6		divalglem0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
7		divalglem0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
8		zmulcl 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	mp2an 664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
10		nn0abscl 14259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
12	11	nn0zi 11603	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
13		zaddcl 11618	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
14	6, 12, 13	mp2an 664	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
15		divalglem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ≠ 0
16	6, 7, 15	divalglem1 15324	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
17		elnn0z 11591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
18	14, 16, 17	mpbir2an 682	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
19		iddvds 15203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
20		dvdsabsb 15209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
21	20	anidms 548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
22	19, 21	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
23	7, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
24		nn0abscl 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
26	25	nn0negzi 11617	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
27		nn0abscl 14259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
28	7, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
29	28	nn0zi 11603	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
30		dvdsmultr2 15229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
31	7, 26, 29, 30	mp3an 1572	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
32	23, 31	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
33		zcn 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	6, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
35		zcn 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
36	7, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
37	34, 36	absmuli 14350	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38	37	negeqi 10475	. . . . . 6 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
39		df-neg 10470	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
40	34	subidi 10553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 𝑁) = 0
41	40	oveq1i 6802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
42	11	nn0cni 11505	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
43		subsub4 10515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
44	34, 34, 42, 43	mp3an 1572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
45	39, 41, 44	3eqtr2ri 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
46	34	abscli 14341	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℝ
47	46	recni 10253	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℂ
48	36	abscli 14341	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
49	48	recni 10253	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
50	47, 49	mulneg1i 10677	. . . . . 6 ⊢ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
51	38, 45, 50	3eqtr4i 2803	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
52	32, 51	breqtrri 4813	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
53		oveq2 6800	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
54	53	breq2d 4798	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
55	54, 1	elrab2 3518	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
56	18, 52, 55	mpbir2an 682	. . 3 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
57	56	ne0ii 4071	. 2 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
58		infssuzcl 11974	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
59	5, 57, 58	mp2an 664	1 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {crab 3065   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467  -cneg 10468  ℕ₀cn0 11493  ℤcz 11578  ℤ_≥cuz 11887  abscabs 14181   ∥ cdvds 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189

This theorem is referenced by:  divalglem5  15327  divalglem9  15331