MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem2 16375
Description: Lemma for divalg 16383. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
21ssrab3 4076 . . 3 𝑆 ⊆ ℕ0
3 nn0uz 12897 . . 3 0 = (ℤ‘0)
42, 3sseqtri 4013 . 2 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
5 divalglem0.1 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℤ
6 divalglem0.2 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
7 zmulcl 12644 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9 nn0abscl 15295 . . . . . . . 8 ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
1110nn0zi 12620 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12 zaddcl 12635 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
135, 11, 12mp2an 690 . . . . 5 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14 divalglem1.3 . . . . . 6 𝐷 ≠ 0
155, 6, 14divalglem1 16374 . . . . 5 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16 elnn0z 12604 . . . . 5 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
1713, 15, 16mpbir2an 709 . . . 4 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18 iddvds 16250 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
19 dvdsabsb 16256 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2019anidms 565 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2118, 20mpbid 231 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
226, 21ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23 nn0abscl 15295 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
2524nn0negzi 12634 . . . . . . 7 -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26 nn0abscl 15295 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
276, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
2827nn0zi 12620 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29 dvdsmultr2 16278 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
306, 25, 28, 29mp3an 1457 . . . . . 6 (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
3122, 30ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32 zcn 12596 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
335, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
34 zcn 12596 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
356, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3633, 35absmuli 15387 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
3736negeqi 11485 . . . . . 6 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38 df-neg 11479 . . . . . . 7 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3933subidi 11563 . . . . . . . 8 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 7429 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4110nn0cni 12517 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42 subsub4 11525 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
4333, 33, 41, 42mp3an 1457 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4438, 40, 433eqtr2ri 2760 . . . . . 6 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
4533abscli 15378 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℝ
4645recni 11260 . . . . . . 7 (abs‘𝑁) ∈ ℂ
4735abscli 15378 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
4847recni 11260 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4946, 48mulneg1i 11692 . . . . . 6 (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5037, 44, 493eqtr4i 2763 . . . . 5 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5131, 50breqtrri 5176 . . . 4 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
5352breq2d 5161 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5453, 1elrab2 3682 . . . 4 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5517, 51, 54mpbir2an 709 . . 3 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
5655ne0ii 4337 . 2 𝑆 ≠ ∅
57 infssuzcl 12949 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
584, 56, 57mp2an 690 1 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  abscabs 15217  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  divalglem5  16377  divalglem9  16381
  Copyright terms: Public domain W3C validator