MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem2 16433
Description: Lemma for divalg 16441. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
21ssrab3 4081 . . 3 𝑆 ⊆ ℕ0
3 nn0uz 12921 . . 3 0 = (ℤ‘0)
42, 3sseqtri 4031 . 2 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
5 divalglem0.1 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℤ
6 divalglem0.2 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
7 zmulcl 12668 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9 nn0abscl 15352 . . . . . . . 8 ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
1110nn0zi 12644 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12 zaddcl 12659 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
135, 11, 12mp2an 692 . . . . 5 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14 divalglem1.3 . . . . . 6 𝐷 ≠ 0
155, 6, 14divalglem1 16432 . . . . 5 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16 elnn0z 12628 . . . . 5 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
1713, 15, 16mpbir2an 711 . . . 4 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18 iddvds 16308 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
19 dvdsabsb 16314 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2019anidms 566 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2118, 20mpbid 232 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
226, 21ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23 nn0abscl 15352 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
2524nn0negzi 12658 . . . . . . 7 -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26 nn0abscl 15352 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
276, 26ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
2827nn0zi 12644 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29 dvdsmultr2 16336 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
306, 25, 28, 29mp3an 1462 . . . . . 6 (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
3122, 30ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32 zcn 12620 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
335, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
34 zcn 12620 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
356, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3633, 35absmuli 15444 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
3736negeqi 11502 . . . . . 6 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38 df-neg 11496 . . . . . . 7 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
3933subidi 11581 . . . . . . . 8 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 7442 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4110nn0cni 12540 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42 subsub4 11543 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
4333, 33, 41, 42mp3an 1462 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4438, 40, 433eqtr2ri 2771 . . . . . 6 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
4533abscli 15435 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℝ
4645recni 11276 . . . . . . 7 (abs‘𝑁) ∈ ℂ
4735abscli 15435 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
4847recni 11276 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
4946, 48mulneg1i 11710 . . . . . 6 (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5037, 44, 493eqtr4i 2774 . . . . 5 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5131, 50breqtrri 5169 . . . 4 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
5352breq2d 5154 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5453, 1elrab2 3694 . . . 4 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5517, 51, 54mpbir2an 711 . . 3 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
5655ne0ii 4343 . 2 𝑆 ≠ ∅
57 infssuzcl 12975 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
584, 56, 57mp2an 692 1 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  wss 3950  c0 4332   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  infcinf 9482  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  abscabs 15274  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  divalglem5  16435  divalglem9  16439
  Copyright terms: Public domain W3C validator