MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem2 15325
Description: Lemma for divalg 15333. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem2 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2
StepHypRef Expression
1 divalglem2.4 . . . 4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
2 ssrab2 3836 . . . 4 {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)} ⊆ ℕ0
31, 2eqsstri 3784 . . 3 𝑆 ⊆ ℕ0
4 nn0uz 11923 . . 3 0 = (ℤ‘0)
53, 4sseqtri 3786 . 2 𝑆 ⊆ (ℤ‘0)
6 divalglem0.1 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℤ
7 divalglem0.2 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ ℤ
8 zmulcl 11627 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
96, 7, 8mp2an 664 . . . . . . . 8 (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
10 nn0abscl 14259 . . . . . . . 8 ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
1211nn0zi 11603 . . . . . 6 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
13 zaddcl 11618 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
146, 12, 13mp2an 664 . . . . 5 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
15 divalglem1.3 . . . . . 6 𝐷 ≠ 0
166, 7, 15divalglem1 15324 . . . . 5 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
17 elnn0z 11591 . . . . 5 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
1814, 16, 17mpbir2an 682 . . . 4 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
19 iddvds 15203 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
20 dvdsabsb 15209 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2120anidms 548 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
2219, 21mpbid 222 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
237, 22ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
24 nn0abscl 14259 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
256, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
2625nn0negzi 11617 . . . . . . 7 -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
27 nn0abscl 14259 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
287, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
2928nn0zi 11603 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
30 dvdsmultr2 15229 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
317, 26, 29, 30mp3an 1572 . . . . . 6 (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
3223, 31ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
33 zcn 11583 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
346, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℂ
35 zcn 11583 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
367, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
3734, 36absmuli 14350 . . . . . . 7 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
3837negeqi 10475 . . . . . 6 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
39 df-neg 10470 . . . . . . 7 -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4034subidi 10553 . . . . . . . 8 (𝑁𝑁) = 0
4140oveq1i 6802 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
4211nn0cni 11505 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
43 subsub4 10515 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
4434, 34, 42, 43mp3an 1572 . . . . . . 7 ((𝑁𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
4539, 41, 443eqtr2ri 2800 . . . . . 6 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
4634abscli 14341 . . . . . . . 8 (abs‘𝑁) ∈ ℝ
4746recni 10253 . . . . . . 7 (abs‘𝑁) ∈ ℂ
4836abscli 14341 . . . . . . . 8 (abs‘𝐷) ∈ ℝ
4948recni 10253 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
5047, 49mulneg1i 10677 . . . . . 6 (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5138, 45, 503eqtr4i 2803 . . . . 5 (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
5232, 51breqtrri 4813 . . . 4 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
53 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
5453breq2d 4798 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5554, 1elrab2 3518 . . . 4 ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
5618, 52, 55mpbir2an 682 . . 3 (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
5756ne0ii 4071 . 2 𝑆 ≠ ∅
58 infssuzcl 11974 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
595, 57, 58mp2an 664 1 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  infcinf 8502  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  -cneg 10468  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  abscabs 14181  cdvds 15188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189
This theorem is referenced by:  divalglem5  15327  divalglem9  15331
  Copyright terms: Public domain W3C validator