Theorem divalglem2 16453

Description: Lemma for divalg 16461. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem2	⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
2	1	ssrab3 4044	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
3		nn0uz 12900	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	sseqtri 3993	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
5		divalglem0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
6		divalglem0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
7		zmulcl 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9		nn0abscl 15363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12619	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12		zaddcl 12634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
13	5, 11, 12	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14		divalglem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ≠ 0
15	5, 6, 14	divalglem1 16452	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16		elnn0z 12604	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
17	13, 15, 16	mpbir2an 723	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18		iddvds 16327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
19		dvdsabsb 16333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
20	19	anidms 576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
21	18, 20	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23		nn0abscl 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
25	24	nn0negzi 12633	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26		nn0abscl 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
27	6, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
28	27	nn0zi 12619	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29		dvdsmultr2 16356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
30	6, 25, 28, 29	mp3an 1487	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
31	22, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32		zcn 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
33	5, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
34		zcn 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
35	6, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
36	33, 35	absmuli 15456	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
37	36	negeqi 11450	. . . . . 6 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38		df-neg 11444	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
39	33	subidi 11529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 𝑁) = 0
40	39	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
41	10	nn0cni 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42		subsub4 11491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
43	33, 33, 41, 42	mp3an 1487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
44	38, 40, 43	3eqtr2ri 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
45	33	abscli 15447	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℝ
46	45	recni 11223	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℂ
47	35	abscli 15447	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
48	47	recni 11223	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
49	46, 48	mulneg1i 11660	. . . . . 6 ⊢ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
50	37, 44, 49	3eqtr4i 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
51	31, 50	breqtrri 5142	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
53	52	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
54	53, 1	elrab2 3663	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
55	17, 51, 54	mpbir2an 723	. . 3 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
56	55	ne0ii 4305	. 2 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
57		infssuzcl 12956	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
58	4, 56, 57	mp2an 704	1 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  infcinf 9401  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  abscabs 15285   ∥ cdvds 16310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311

This theorem is referenced by:  divalglem5  16455  divalglem9  16459