Theorem divalglem2 16032

Description: Lemma for divalg 16040. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ
divalglem1.3	⊢ 𝐷 ≠ 0
divalglem2.4	⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}

Assertion

Ref	Expression
divalglem2	⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)}
2	1	ssrab3 4011	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℕ0
3		nn0uz 12549	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	sseqtri 3953	. 2 ⊢ 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0)
5		divalglem0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
6		divalglem0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
7		zmulcl 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ
9		nn0abscl 14952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 · 𝐷) ∈ ℤ → (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 12275	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ
12		zaddcl 12290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ)
13	5, 11, 12	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ
14		divalglem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ≠ 0
15	5, 6, 14	divalglem1 16031	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
16		elnn0z 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
17	13, 15, 16	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0
18		iddvds 15907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
19		dvdsabsb 15913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
20	19	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
21	18, 20	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
22	6, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
23		nn0abscl 14952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0
25	24	nn0negzi 12289	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ
26		nn0abscl 14952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
27	6, 26	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
28	27	nn0zi 12275	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
29		dvdsmultr2 15935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ -(abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))))
30	6, 25, 28, 29	mp3an 1459	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)))
31	22, 30	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
32		zcn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
33	5, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
34		zcn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
35	6, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
36	33, 35	absmuli 15044	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) = ((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
37	36	negeqi 11144	. . . . . 6 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
38		df-neg 11138	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘(𝑁 · 𝐷)) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
39	33	subidi 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 − 𝑁) = 0
40	39	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (0 − (abs‘(𝑁 · 𝐷)))
41	10	nn0cni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ
42		subsub4 11184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝑁 · 𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
43	33, 33, 41, 42	mp3an 1459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑁) − (abs‘(𝑁 · 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
44	38, 40, 43	3eqtr2ri 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = -(abs‘(𝑁 · 𝐷))
45	33	abscli 15035	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℝ
46	45	recni 10920	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝑁) ∈ ℂ
47	35	abscli 15035	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℝ
48	47	recni 10920	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℂ
49	46, 48	mulneg1i 11351	. . . . . 6 ⊢ (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷)) = -((abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
50	37, 44, 49	3eqtr4i 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))) = (-(abs‘𝑁) · (abs‘𝐷))
51	31, 50	breqtrri 5097	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))
52		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝑁 − 𝑟) = (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷)))))
53	52	breq2d 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
54	53, 1	elrab2 3620	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))))))
55	17, 51, 54	mpbir2an 707	. . 3 ⊢ (𝑁 + (abs‘(𝑁 · 𝐷))) ∈ 𝑆
56	55	ne0ii 4268	. 2 ⊢ 𝑆 ≠ ∅
57		infssuzcl 12601	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
58	4, 56, 57	mp2an 688	1 ⊢ inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  infcinf 9130  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  divalglem5  16034  divalglem9  16038