rmxyneg - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmxyneg 41659

Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain ℕ₀ or ℤ; we use ℤ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxyneg	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

**Proof of Theorem rmxyneg**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12597	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		rmxyval 41654	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
3	1, 2	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
4		rmxyval 41654	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
5	4	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
6		rmbaserp 41658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpcnd 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
8	7	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
9	6	rpne0d 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
10	9	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
11		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	expclzd 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ ℂ)
13	4, 12	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
14		frmx 41652	. . . . . . . 8 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
15	14	fovcl 7537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
16	15	nn0cnd 12534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
17		rmspecnonsq 41645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
18	17	eldifad 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
22		frmy 41653	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
23	22	fovcl 7537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
25	24	negcld 11558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
26	21, 25	mulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
27	16, 26	addcld 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
28	8, 10, 11	expne0d 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ≠ 0)
29	4, 28	eqnetrd 3009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ≠ 0)
30	21, 24	mulneg2d 11668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) = -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
31	30	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
32	21, 24	mulcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
33	16, 32	negsubd 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
34	31, 33	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
35	34	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
36		subsq 14174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
37	16, 32, 36	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
38	21, 24	sqmuld 14123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
39	20	sqsqrtd 15386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
40	39	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
41	38, 40	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
42	41	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))))
43		rmxynorm 41657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))) = 1)
44	42, 43	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = 1)
45	35, 37, 44	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = 1)
46	13, 27, 29, 45	mvllmuld 12046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
47	8, 10, 11	expnegd 14118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
48	5, 46, 47	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
49	3, 48	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
50		rmspecsqrtnq 41644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
51	50	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
52		nn0ssq 12941	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
53	14	fovcl 7537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
54	1, 53	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
55	52, 54	sselid 3981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ)
56		zssq 12940	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
57	22	fovcl 7537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
58	1, 57	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
59	56, 58	sselid 3981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ)
60	52, 15	sselid 3981	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ)
61	56, 23	sselid 3981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
62		qnegcl 12950	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
63	61, 62	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
64		qirropth 41646	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ ∧ -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
65	51, 55, 59, 60, 63, 64	syl122anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	49, 65	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∖ cdif 3946 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 − cmin 11444 -cneg 11445 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 ℕ₀cn0 12472 ℤcz 12558 ℤ_≥cuz 12822 ℚcq 12932 ↑cexp 14027 √csqrt 15180 ◻_NNcsquarenn 41574 X_rm crmx 41638 Y_rm crmy 41639

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 ax-addf 11189 ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7670 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-oadd 8470 df-omul 8471 df-er 8703 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-fi 9406 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-card 9934 df-acn 9937 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-xneg 13092 df-xadd 13093 df-xmul 13094 df-ioo 13328 df-ioc 13329 df-ico 13330 df-icc 13331 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15014 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-limsup 15415 df-clim 15432 df-rlim 15433 df-sum 15633 df-ef 16011 df-sin 16013 df-cos 16014 df-pi 16016 df-dvds 16198 df-gcd 16436 df-numer 16671 df-denom 16672 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-rest 17368 df-topn 17369 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-topgen 17389 df-pt 17390 df-prds 17393 df-xrs 17448 df-qtop 17453 df-imas 17454 df-xps 17456 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-submnd 18672 df-mulg 18951 df-cntz 19181 df-cmn 19650 df-psmet 20936 df-xmet 20937 df-met 20938 df-bl 20939 df-mopn 20940 df-fbas 20941 df-fg 20942 df-cnfld 20945 df-top 22396 df-topon 22413 df-topsp 22435 df-bases 22449 df-cld 22523 df-ntr 22524 df-cls 22525 df-nei 22602 df-lp 22640 df-perf 22641 df-cn 22731 df-cnp 22732 df-haus 22819 df-tx 23066 df-hmeo 23259 df-fil 23350 df-fm 23442 df-flim 23443 df-flf 23444 df-xms 23826 df-ms 23827 df-tms 23828 df-cncf 24394 df-limc 25383 df-dv 25384 df-log 26065 df-squarenn 41579 df-pell1qr 41580 df-pell14qr 41581 df-pell1234qr 41582 df-pellfund 41583 df-rmx 41640 df-rmy 41641

This theorem is referenced by: rmxneg 41663 rmyneg 41667

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