rmxyneg - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmxyneg 41649

Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain ℕ₀ or ℤ; we use ℤ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxyneg	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

**Proof of Theorem rmxyneg**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		rmxyval 41644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
4		rmxyval 41644	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
5	4	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
6		rmbaserp 41648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpcnd 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
9	6	rpne0d 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	expclzd 14115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ ℂ)
13	4, 12	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
14		frmx 41642	. . . . . . . 8 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
15	14	fovcl 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
16	15	nn0cnd 12533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
17		rmspecnonsq 41635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
18	17	eldifad 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
22		frmy 41643	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
23	22	fovcl 7536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
25	24	negcld 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
26	21, 25	mulcld 11233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
27	16, 26	addcld 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
28	8, 10, 11	expne0d 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ≠ 0)
29	4, 28	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ≠ 0)
30	21, 24	mulneg2d 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) = -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
31	30	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
32	21, 24	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
33	16, 32	negsubd 11576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
34	31, 33	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
35	34	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
36		subsq 14173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
37	16, 32, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
38	21, 24	sqmuld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
39	20	sqsqrtd 15385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
40	39	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
41	38, 40	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
42	41	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))))
43		rmxynorm 41647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))) = 1)
44	42, 43	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = 1)
45	35, 37, 44	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = 1)
46	13, 27, 29, 45	mvllmuld 12045	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
47	8, 10, 11	expnegd 14117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
48	5, 46, 47	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
49	3, 48	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
50		rmspecsqrtnq 41634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
51	50	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
52		nn0ssq 12940	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
53	14	fovcl 7536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
54	1, 53	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
55	52, 54	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ)
56		zssq 12939	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
57	22	fovcl 7536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
58	1, 57	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
59	56, 58	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ)
60	52, 15	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ)
61	56, 23	sselid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
62		qnegcl 12949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
63	61, 62	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
64		qirropth 41636	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ ∧ -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
65	51, 55, 59, 60, 63, 64	syl122anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	49, 65	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∖ cdif 3945 ‘cfv 6543 (class class class)co 7408 ℂcc 11107 0cc0 11109 1c1 11110 + caddc 11112 · cmul 11114 − cmin 11443 -cneg 11444 / cdiv 11870 ℕcn 12211 2c2 12266 ℕ₀cn0 12471 ℤcz 12557 ℤ_≥cuz 12821 ℚcq 12931 ↑cexp 14026 √csqrt 15179 ◻_NNcsquarenn 41564 X_rm crmx 41628 Y_rm crmy 41629

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 ax-addf 11188 ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-omul 8470 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-xnn0 12544 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12974 df-xneg 13091 df-xadd 13092 df-xmul 13093 df-ioo 13327 df-ioc 13328 df-ico 13329 df-icc 13330 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-fl 13756 df-mod 13834 df-seq 13966 df-exp 14027 df-fac 14233 df-bc 14262 df-hash 14290 df-shft 15013 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-limsup 15414 df-clim 15431 df-rlim 15432 df-sum 15632 df-ef 16010 df-sin 16012 df-cos 16013 df-pi 16015 df-dvds 16197 df-gcd 16435 df-numer 16670 df-denom 16671 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17367 df-topn 17368 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-topgen 17388 df-pt 17389 df-prds 17392 df-xrs 17447 df-qtop 17452 df-imas 17453 df-xps 17455 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-submnd 18671 df-mulg 18950 df-cntz 19180 df-cmn 19649 df-psmet 20935 df-xmet 20936 df-met 20937 df-bl 20938 df-mopn 20939 df-fbas 20940 df-fg 20941 df-cnfld 20944 df-top 22395 df-topon 22412 df-topsp 22434 df-bases 22448 df-cld 22522 df-ntr 22523 df-cls 22524 df-nei 22601 df-lp 22639 df-perf 22640 df-cn 22730 df-cnp 22731 df-haus 22818 df-tx 23065 df-hmeo 23258 df-fil 23349 df-fm 23441 df-flim 23442 df-flf 23443 df-xms 23825 df-ms 23826 df-tms 23827 df-cncf 24393 df-limc 25382 df-dv 25383 df-log 26064 df-squarenn 41569 df-pell1qr 41570 df-pell14qr 41571 df-pell1234qr 41572 df-pellfund 41573 df-rmx 41630 df-rmy 41631

This theorem is referenced by: rmxneg 41653 rmyneg 41657

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