rmxyneg - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmxyneg 41961

Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain ℕ₀ or ℤ; we use ℤ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmxyneg	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

**Proof of Theorem rmxyneg**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 12601	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		rmxyval 41956	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
4		rmxyval 41956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
5	4	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
6		rmbaserp 41960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpcnd 13022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
9	6	rpne0d 13025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	8, 10, 11	expclzd 14120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ ℂ)
13	4, 12	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
14		frmx 41954	. . . . . . . 8 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
15	14	fovcl 7539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
16	15	nn0cnd 12538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ)
17		rmspecnonsq 41947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻_NN))
18	17	eldifad 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
19	18	nncnd 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
21	20	sqrtcld 15388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
22		frmy 41955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
23	22	fovcl 7539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
25	24	negcld 11562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℂ)
26	21, 25	mulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
27	16, 26	addcld 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ∈ ℂ)
28	8, 10, 11	expne0d 14121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ≠ 0)
29	4, 28	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) ≠ 0)
30	21, 24	mulneg2d 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)) = -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))
31	30	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
32	21, 24	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ)
33	16, 32	negsubd 11581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
34	31, 33	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))))
35	34	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
36		subsq 14178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
37	16, 32, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
38	21, 24	sqmuld 14127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
39	20	sqsqrtd 15390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
40	39	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
41	38, 40	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2)))
42	41	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))))
43		rmxynorm 41959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Y_rm 𝑁)↑2))) = 1)
44	42, 43	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))↑2)) = 1)
45	35, 37, 44	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁))) · ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁)))) = 1)
46	13, 27, 29, 45	mvllmuld 12050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) = (1 / ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm 𝑁)))))
47	8, 10, 11	expnegd 14122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
48	5, 46, 47	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
49	3, 48	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
50		rmspecsqrtnq 41946	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
51	50	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
52		nn0ssq 12945	. . . 4 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℚ
53	14	fovcl 7539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
54	1, 53	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℕ₀)
55	52, 54	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ)
56		zssq 12944	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
57	22	fovcl 7539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
58	1, 57	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℤ)
59	56, 58	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ)
60	52, 15	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ)
61	56, 23	sselid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
62		qnegcl 12954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
63	61, 62	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)
64		qirropth 41948	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm -𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℚ ∧ -(𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℚ)) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
65	51, 55, 59, 60, 63, 64	syl122anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 X_rm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Y_rm -𝑁))) = ((𝐴 X_rm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Y_rm 𝑁))) ↔ ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	49, 65	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 X_rm -𝑁) = (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm -𝑁) = -(𝐴 Y_rm 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∖ cdif 3945 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 ℕcn 12216 2c2 12271 ℕ₀cn0 12476 ℤcz 12562 ℤ_≥cuz 12826 ℚcq 12936 ↑cexp 14031 √csqrt 15184 ◻_NNcsquarenn 41876 X_rm crmx 41940 Y_rm crmy 41941

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-supp 8149 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-2o 8469 df-oadd 8472 df-omul 8473 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-acn 9939 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-xnn0 12549 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ioo 13332 df-ioc 13333 df-ico 13334 df-icc 13335 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-bc 14267 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-sin 16017 df-cos 16018 df-pi 16020 df-dvds 16202 df-gcd 16440 df-numer 16675 df-denom 16676 df-struct 17084 df-sets 17101 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-ress 17178 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-sca 17217 df-vsca 17218 df-ip 17219 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-hom 17225 df-cco 17226 df-rest 17372 df-topn 17373 df-0g 17391 df-gsum 17392 df-topgen 17393 df-pt 17394 df-prds 17397 df-xrs 17452 df-qtop 17457 df-imas 17458 df-xps 17460 df-mre 17534 df-mrc 17535 df-acs 17537 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18987 df-cntz 19222 df-cmn 19691 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-fbas 21141 df-fg 21142 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-cld 22743 df-ntr 22744 df-cls 22745 df-nei 22822 df-lp 22860 df-perf 22861 df-cn 22951 df-cnp 22952 df-haus 23039 df-tx 23286 df-hmeo 23479 df-fil 23570 df-fm 23662 df-flim 23663 df-flf 23664 df-xms 24046 df-ms 24047 df-tms 24048 df-cncf 24618 df-limc 25607 df-dv 25608 df-log 26289 df-squarenn 41881 df-pell1qr 41882 df-pell14qr 41883 df-pell1234qr 41884 df-pellfund 41885 df-rmx 41942 df-rmy 41943

This theorem is referenced by: rmxneg 41965 rmyneg 41969

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