Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxyneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxyneg 38011
Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain 0 or ; we use consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyneg ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxyneg
StepHypRef Expression
1 znegcl 11618 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2 rmxyval 38006 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
31, 2sylan2 580 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁))
4 rmxyval 38006 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁))
54oveq2d 6811 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
6 rmbaserp 38010 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
76rpcnd 12076 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
87adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
96rpne0d 12079 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
109adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≠ 0)
11 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128, 10, 11expclzd 13219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ∈ ℂ)
134, 12eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
14 frmx 38004 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1514fovcl 6915 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 11559 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
17 rmspecnonsq 37998 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
1817eldifad 3735 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
1918nncnd 11241 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
2019adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
2120sqrtcld 14383 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
22 frmy 38005 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2322fovcl 6915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2423zcnd 11689 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
2524negcld 10584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
2621, 25mulcld 10265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
2716, 26addcld 10264 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℂ)
288, 10, 11expne0d 13220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁) ≠ 0)
294, 28eqnetrd 3010 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ≠ 0)
3021, 24mulneg2d 10689 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
3130oveq2d 6811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
3221, 24mulcld 10265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
3316, 32negsubd 10603 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + -((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
3431, 33eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
3534oveq2d 6811 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
36 subsq 13178 . . . . . . 7 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
3716, 32, 36syl2anc 573 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
3821, 24sqmuld 13226 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
3920sqsqrtd 14385 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
4039oveq1d 6810 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4138, 40eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4241oveq2d 6811 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
43 rmxynorm 38009 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
4442, 43eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = 1)
4535, 37, 443eqtr2d 2811 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) · ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁)))) = 1)
4613, 27, 29, 45mvllmuld 11062 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) = (1 / ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
478, 10, 11expnegd 13221 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑𝑁)))
485, 46, 473eqtr4rd 2816 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑-𝑁) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))))
493, 48eqtrd 2805 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))))
50 rmspecsqrtnq 37996 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
5150adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
52 nn0ssq 12003 . . . 4 0 ⊆ ℚ
5314fovcl 6915 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
541, 53sylan2 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
5552, 54sseldi 3750 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℚ)
56 zssq 12002 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
5722fovcl 6915 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
581, 57sylan2 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℤ)
5956, 58sseldi 3750 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℚ)
6052, 15sseldi 3750 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ)
6156, 23sseldi 3750 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
62 qnegcl 12012 . . . 4 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ → -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
6361, 62syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)
64 qirropth 37999 . . 3 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℚ ∧ -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))))
6551, 55, 59, 60, 63, 64syl122anc 1485 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm -𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · -(𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))))
6649, 65mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  cfv 6030  (class class class)co 6795  cc 10139  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  cz 11583  cuz 11892  cq 11995  cexp 13066  csqrt 14180  NNcsquarenn 37926   Xrm crmx 37990   Yrm crmy 37991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-omul 7721  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-acn 8971  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-numer 15649  df-denom 15650  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-squarenn 37931  df-pell1qr 37932  df-pell14qr 37933  df-pell1234qr 37934  df-pellfund 37935  df-rmx 37992  df-rmy 37993
This theorem is referenced by:  rmxneg  38015  rmyneg  38019
  Copyright terms: Public domain W3C validator