Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxyneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxyneg 41291
Description: Negation law for X and Y sequences. JonesMatijasevic is inconsistent on whether the X and Y sequences have domain β„•0 or β„€; we use β„€ consistently to avoid the need for a separate subtraction law. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxyneg ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxyneg
StepHypRef Expression
1 znegcl 12546 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ -𝑁 ∈ β„€)
2 rmxyval 41286 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑-𝑁))
31, 2sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑-𝑁))
4 rmxyval 41286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁))
54oveq2d 7377 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (1 / ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (1 / ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
6 rmbaserp 41290 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ+)
76rpcnd 12967 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
96rpne0d 12970 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) β‰  0)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) β‰  0)
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
128, 10, 11expclzd 14065 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) ∈ β„‚)
134, 12eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„‚)
14 frmx 41284 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1514fovcl 7488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
1615nn0cnd 12483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
17 rmspecnonsq 41277 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
1817eldifad 3926 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1918nncnd 12177 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2019adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2120sqrtcld 15331 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
22 frmy 41285 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2322fovcl 7488 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2423zcnd 12616 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
2524negcld 11507 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
2621, 25mulcld 11183 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
2716, 26addcld 11182 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ β„‚)
288, 10, 11expne0d 14066 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁) β‰  0)
294, 28eqnetrd 3008 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) β‰  0)
3021, 24mulneg2d 11617 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
3130oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + -((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
3221, 24mulcld 11183 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
3316, 32negsubd 11526 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + -((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
3431, 33eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
3534oveq2d 7377 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
36 subsq 14123 . . . . . . 7 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
3716, 32, 36syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
3821, 24sqmuld 14072 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2) = (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑2) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
3920sqsqrtd 15333 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑2) = ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
4039oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))↑2) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4138, 40eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4241oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
43 rmxynorm 41289 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
4442, 43eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))↑2)) = 1)
4535, 37, 443eqtr2d 2779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) Β· ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)))) = 1)
4613, 27, 29, 45mvllmuld 11995 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) = (1 / ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
478, 10, 11expnegd 14067 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑𝑁)))
485, 46, 473eqtr4rd 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑-𝑁) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))))
493, 48eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm -𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))))
50 rmspecsqrtnq 41276 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
5150adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
52 nn0ssq 12890 . . . 4 β„•0 βŠ† β„š
5314fovcl 7488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•0)
541, 53sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•0)
5552, 54sselid 3946 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„š)
56 zssq 12889 . . . 4 β„€ βŠ† β„š
5722fovcl 7488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ β„€)
581, 57sylan2 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ β„€)
5956, 58sselid 3946 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ β„š)
6052, 15sselid 3946 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„š)
6156, 23sselid 3946 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š)
62 qnegcl 12899 . . . 4 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š β†’ -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š)
6361, 62syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š)
64 qirropth 41278 . . 3 (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š) ∧ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) ∈ β„š) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„š ∧ -(𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„š)) β†’ (((𝐴 Xrm -𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))))
6551, 55, 59, 60, 63, 64syl122anc 1380 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm -𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm -𝑁))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁))) ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁))))
6649, 65mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm -𝑁) = -(𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„šcq 12881  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  β—»NNcsquarenn 41206   Xrm crmx 41270   Yrm crmy 41271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-gcd 16383  df-numer 16618  df-denom 16619  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-squarenn 41211  df-pell1qr 41212  df-pell14qr 41213  df-pell1234qr 41214  df-pellfund 41215  df-rmx 41272  df-rmy 41273
This theorem is referenced by:  rmxneg  41295  rmyneg  41299
  Copyright terms: Public domain W3C validator