Proof of Theorem irrdifflemf
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simplll 771 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
2 | | simpllr 772 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
3 | | simplr 765 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) |
4 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) |
5 | 2, 3, 4 | 3eqtr3d 2787 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
6 | | irrdifflemf.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
7 | 6 | recnd 10987 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
9 | | irrdifflemf.q |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ) |
10 | | qre 12675 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈
ℝ) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) |
12 | 11 | recnd 10987 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ) |
13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ) |
14 | | irrdifflemf.r |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ) |
15 | | qre 12675 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈
ℝ) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
17 | 16 | recnd 10987 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) |
18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
19 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
20 | 8, 13, 18, 19 | subcand 11356 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 = 𝑅) |
21 | | irrdifflemf.qr |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅) |
22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅) |
23 | 20, 22 | pm2.21ddne 3030 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
24 | 1, 5, 23 | syl2anc 583 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
25 | | simplll 771 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
26 | | simpllr 772 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
27 | | simplr 765 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) |
28 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) |
29 | 26, 27, 28 | 3eqtr3d 2787 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
30 | | 2cnd 12034 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℂ) |
31 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
32 | | 2ne0 12060 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ≠
0 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ≠ 0) |
34 | 31 | 2timesd 12199 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴)) |
35 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
36 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
37 | 31, 36 | negsubdi2d 11331 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑅) = (𝑅 − 𝐴)) |
38 | 35, 37 | eqtrd 2779 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴)) |
39 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ) |
40 | 39, 36, 31, 31 | addsubeq4d 11366 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴))) |
41 | 38, 40 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴)) |
42 | 34, 41 | eqtr4d 2782 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅)) |
43 | 30, 31, 33, 42 | mvllmuld 11790 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2)) |
44 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ) |
45 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ) |
46 | | qaddcl 12687 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ) |
47 | 44, 45, 46 | syl2anc 583 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ) |
48 | | 2z 12335 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℤ |
49 | | zq 12676 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2 ∈
ℤ → 2 ∈ ℚ) |
50 | 48, 49 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℚ) |
51 | | qdivcl 12692 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ
∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄
+ 𝑅) / 2) ∈
ℚ) |
52 | 47, 50, 33, 51 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ) |
53 | 43, 52 | eqeltrd 2840 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ) |
54 | | irrdifflemf.irr |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ) |
55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ) |
56 | 53, 55 | pm2.21fal 1563 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
57 | 25, 29, 56 | syl2anc 583 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
58 | 6, 16 | resubcld 11386 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ) |
59 | 58 | absord 15108 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
60 | 59 | ad2antrr 722 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
61 | 24, 57, 60 | mpjaodan 955 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ⊥) |
62 | | simplll 771 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
63 | | simpllr 772 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
64 | | simplr 765 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) |
65 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) |
66 | 63, 64, 65 | 3eqtr3rd 2788 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄)) |
67 | 58 | recnd 10987 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
68 | 67 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
69 | 6, 11 | resubcld 11386 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℝ) |
70 | 69 | recnd 10987 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
71 | 70 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
72 | | negcon2 11257 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))) |
73 | 68, 71, 72 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))) |
74 | 66, 73 | mpbid 231 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
75 | 62, 74, 56 | syl2anc 583 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
76 | | simplll 771 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
77 | 70 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
78 | 67 | ad3antrrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
79 | | simpllr 772 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
80 | | simplr 765 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) |
81 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) |
82 | 79, 80, 81 | 3eqtr3d 2787 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
83 | 77, 78, 82 | neg11d 11327 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
84 | 76, 83, 23 | syl2anc 583 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
85 | 59 | ad2antrr 722 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
86 | 75, 84, 85 | mpjaodan 955 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ⊥) |
87 | 69 | absord 15108 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))) |
88 | 87 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))) |
89 | 61, 86, 88 | mpjaodan 955 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ⊥) |
90 | 89 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
91 | | df-ne 2945 |
. . 3
⊢
((abs‘(𝐴
− 𝑄)) ≠
(abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ¬
(abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
92 | | dfnot 1560 |
. . 3
⊢ (¬
(abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
93 | 91, 92 | bitri 274 |
. 2
⊢
((abs‘(𝐴
− 𝑄)) ≠
(abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
94 | 90, 93 | sylibr 233 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |