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Theorem irrdifflemf 35475
Description: Lemma for irrdiff 35476. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
irrdifflemf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr (𝜑𝑄𝑅)
Assertion
Ref Expression
irrdifflemf (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))

Proof of Theorem irrdifflemf
StepHypRef Expression
1 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
2 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
3 simplr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
52, 3, 43eqtr3d 2787 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
6 irrdifflemf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 irrdifflemf.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
10 qre 12675 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1211recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14 irrdifflemf.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
15 qre 12675 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
208, 13, 18, 19subcand 11356 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21 irrdifflemf.qr . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑅)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄𝑅)
2320, 22pm2.21ddne 3030 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
241, 5, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
25 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
26 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
27 simplr 765 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
2926, 27, 283eqtr3d 2787 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
30 2cnd 12034 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
317adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 2ne0 12060 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ≠ 0)
34312timesd 12199 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
3617adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
3731, 36negsubdi2d 11331 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑅) = (𝑅𝐴))
3835, 37eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴))
3912adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
4039, 36, 31, 31addsubeq4d 11366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴)))
4138, 40mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
4234, 41eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
4330, 31, 33, 42mvllmuld 11790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
449adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
4514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46 qaddcl 12687 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48 2z 12335 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
49 zq 12676 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51 qdivcl 12692 . . . . . . . . 9 (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5247, 50, 33, 51syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5343, 52eqeltrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54 irrdifflemf.irr . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5653, 55pm2.21fal 1563 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
5725, 29, 56syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
586, 16resubcld 11386 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
5958absord 15108 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6059ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6124, 57, 60mpjaodan 955 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ⊥)
62 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
63 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
64 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
65 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
6663, 64, 653eqtr3rd 2788 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄))
6758recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
6867ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
696, 11resubcld 11386 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℝ)
7069recnd 10987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7170ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
72 negcon2 11257 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7368, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7466, 73mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
7562, 74, 56syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
76 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
7770ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7867ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
79 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
80 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
81 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
8279, 80, 813eqtr3d 2787 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
8377, 78, 82neg11d 11327 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
8476, 83, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
8559ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
8675, 84, 85mpjaodan 955 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ⊥)
8769absord 15108 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8887adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8961, 86, 88mpjaodan 955 . . 3 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ⊥)
9089ex 412 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
91 df-ne 2945 . . 3 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
92 dfnot 1560 . . 3 (¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9391, 92bitri 274 . 2 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9490, 93sylibr 233 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 843   = wceq 1541  wfal 1553  wcel 2109  wne 2944  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853  cr 10854  0cc0 10855   + caddc 10858   · cmul 10860  cmin 11188  -cneg 11189   / cdiv 11615  2c2 12011  cz 12302  cq 12670  abscabs 14926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928
This theorem is referenced by:  irrdiff  35476
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