Theorem irrdifflemf 35004

Description: Lemma for irrdiff 35005. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrdifflemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irrdifflemf	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

Proof of Theorem irrdifflemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
2		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
3		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
4		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
5	2, 3, 4	3eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
6		irrdifflemf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		irrdifflemf.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
10		qre 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
12	11	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14		irrdifflemf.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
15		qre 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
17	16	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
20	8, 13, 18, 19	subcand 11061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21		irrdifflemf.qr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
22	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
23	20, 22	pm2.21ddne 3033	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
24	1, 5, 23	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
25		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
26		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
27		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
28		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
29	26, 27, 28	3eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
30		2cnd 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
31	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		2ne0 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ≠ 0)
34	31	2timesd 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
36	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
37	31, 36	negsubdi2d 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑅) = (𝑅 − 𝐴))
38	35, 37	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴))
39	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39, 36, 31, 31	addsubeq4d 11071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴)))
41	38, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
42	34, 41	eqtr4d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
43	30, 31, 33, 42	mvllmuld 11495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
44	9	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
45	14	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46		qaddcl 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
47	44, 45, 46	syl2anc 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48		2z 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		zq 12379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
50	48, 49	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51		qdivcl 12395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
52	47, 50, 33, 51	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
53	43, 52	eqeltrd 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54		irrdifflemf.irr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
55	54	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
56	53, 55	pm2.21fal 1561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
57	25, 29, 56	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
58	6, 16	resubcld 11091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
59	58	absord 14808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
60	59	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
61	24, 57, 60	mpjaodan 957	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
62		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
63		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
64		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
65		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
66	63, 64, 65	3eqtr3rd 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄))
67	58	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
68	67	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
69	6, 11	resubcld 11091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℝ)
70	69	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
71	70	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
72		negcon2 10962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
73	68, 71, 72	syl2anc 588	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
74	66, 73	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
75	62, 74, 56	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
76		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
77	70	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
78	67	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
79		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
80		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
81		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
82	79, 80, 81	3eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
83	77, 78, 82	neg11d 11032	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
84	76, 83, 23	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
85	59	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
86	75, 84, 85	mpjaodan 957	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
87	69	absord 14808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
88	87	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
89	61, 86, 88	mpjaodan 957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ⊥)
90	89	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
91		df-ne 2950	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
92		dfnot 1558	. . 3 ⊢ (¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
93	91, 92	bitri 278	. 2 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
94	90, 93	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539  ⊥wfal 1551   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  ℝcr 10559  0cc0 10560   + caddc 10563   · cmul 10565   − cmin 10893  -cneg 10894   / cdiv 11320  2c2 11714  ℤcz 12005  ℚcq 12373  abscabs 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-sup 8924  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-q 12374  df-rp 12416  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628

This theorem is referenced by:  irrdiff  35005