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Theorem irrdifflemf 37307
Description: Lemma for irrdiff 37308. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
irrdifflemf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr (𝜑𝑄𝑅)
Assertion
Ref Expression
irrdifflemf (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))

Proof of Theorem irrdifflemf
StepHypRef Expression
1 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
2 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
3 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
52, 3, 43eqtr3d 2782 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
6 irrdifflemf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 irrdifflemf.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
10 qre 12992 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1211recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14 irrdifflemf.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
15 qre 12992 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
208, 13, 18, 19subcand 11658 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21 irrdifflemf.qr . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑅)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄𝑅)
2320, 22pm2.21ddne 3023 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
241, 5, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
25 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
26 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
27 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
2926, 27, 283eqtr3d 2782 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
30 2cnd 12341 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
317adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 2ne0 12367 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ≠ 0)
34312timesd 12506 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
3617adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
3731, 36negsubdi2d 11633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑅) = (𝑅𝐴))
3835, 37eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴))
3912adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
4039, 36, 31, 31addsubeq4d 11668 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴)))
4138, 40mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
4234, 41eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
4330, 31, 33, 42mvllmuld 12096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
449adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
4514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46 qaddcl 13004 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48 2z 12646 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
49 zq 12993 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51 qdivcl 13009 . . . . . . . . 9 (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5247, 50, 33, 51syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5343, 52eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54 irrdifflemf.irr . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5653, 55pm2.21fal 1558 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
5725, 29, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
586, 16resubcld 11688 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
5958absord 15450 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6059ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6124, 57, 60mpjaodan 960 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ⊥)
62 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
63 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
64 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
65 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
6663, 64, 653eqtr3rd 2783 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄))
6758recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
6867ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
696, 11resubcld 11688 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℝ)
7069recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7170ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
72 negcon2 11559 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7368, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7466, 73mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
7562, 74, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
76 simplll 775 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
7770ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7867ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
79 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
80 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
81 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
8279, 80, 813eqtr3d 2782 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
8377, 78, 82neg11d 11629 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
8476, 83, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
8559ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
8675, 84, 85mpjaodan 960 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ⊥)
8769absord 15450 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8887adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8961, 86, 88mpjaodan 960 . . 3 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ⊥)
9089ex 412 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
91 df-ne 2938 . . 3 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
92 dfnot 1555 . . 3 (¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9391, 92bitri 275 . 2 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9490, 93sylibr 234 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wfal 1548  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  cq 12987  abscabs 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by:  irrdiff  37308
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