Theorem irrdifflemf 37655

Description: Lemma for irrdiff 37656. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
irrdifflemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
irrdifflemf	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

Proof of Theorem irrdifflemf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
2		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
3		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
5	2, 3, 4	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
6		irrdifflemf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		irrdifflemf.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
10		qre 12894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14		irrdifflemf.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
15		qre 12894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
20	8, 13, 18, 19	subcand 11537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21		irrdifflemf.qr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
23	20, 22	pm2.21ddne 3017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
24	1, 5, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
25		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
26		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
27		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
29	26, 27, 28	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
30		2cnd 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
31	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		2ne0 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ≠ 0)
34	31	2timesd 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
36	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
37	31, 36	negsubdi2d 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑅) = (𝑅 − 𝐴))
38	35, 37	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴))
39	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39, 36, 31, 31	addsubeq4d 11547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴)))
41	38, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
42	34, 41	eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
43	30, 31, 33, 42	mvllmuld 11978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
44	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
45	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46		qaddcl 12906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48		2z 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		zq 12895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
50	48, 49	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51		qdivcl 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
52	47, 50, 33, 51	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
53	43, 52	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54		irrdifflemf.irr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
55	54	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
56	53, 55	pm2.21fal 1564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
57	25, 29, 56	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
58	6, 16	resubcld 11569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
59	58	absord 15369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
60	59	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
61	24, 57, 60	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
62		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
63		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
64		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
65		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
66	63, 64, 65	3eqtr3rd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄))
67	58	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
68	67	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
69	6, 11	resubcld 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
71	70	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
72		negcon2 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
73	68, 71, 72	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
74	66, 73	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
75	62, 74, 56	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
76		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
77	70	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
78	67	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
79		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
80		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
81		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
82	79, 80, 81	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
83	77, 78, 82	neg11d 11508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
84	76, 83, 23	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
85	59	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
86	75, 84, 85	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
87	69	absord 15369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
88	87	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
89	61, 86, 88	mpjaodan 961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ⊥)
90	89	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
91		df-ne 2934	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
92		dfnot 1561	. . 3 ⊢ (¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
93	91, 92	bitri 275	. 2 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
94	90, 93	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ⊥wfal 1554   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℚcq 12889  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  irrdiff  37656