irrdifflemf - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem irrdifflemf 38214

Description: Lemma for irrdiff 38215. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
irrdifflemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
irrdifflemf	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

**Proof of Theorem irrdifflemf**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
2		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
3		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
5	2, 3, 4	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
6		irrdifflemf.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		irrdifflemf.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ)
10		qre 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14		irrdifflemf.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ)
15		qre 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
20	8, 13, 18, 19	subcand 11691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21		irrdifflemf.qr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
23	20, 22	pm2.21ddne 3040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
24	1, 5, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
25		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
26		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
27		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄))
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
29	26, 27, 28	3eqtr3d 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
30		2cnd 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
31	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		2ne0 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ≠ 0)
34	31	2timesd 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
36	17	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
37	31, 36	negsubdi2d 11666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑅) = (𝑅 − 𝐴))
38	35, 37	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴))
39	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
40	39, 36, 31, 31	addsubeq4d 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴)))
41	38, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
42	34, 41	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
43	30, 31, 33, 42	mvllmuld 12130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
44	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
45	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46		qaddcl 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48		2z 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
49		zq 13062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
50	48, 49	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51		qdivcl 13079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
52	47, 50, 33, 51	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
53	43, 52	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54		irrdifflemf.irr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
55	54	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
56	53, 55	pm2.21fal 1592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
57	25, 29, 56	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
58	6, 16	resubcld 11725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
59	58	absord 15563	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
60	59	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
61	24, 57, 60	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
62		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
63		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
64		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
65		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅))
66	63, 64, 65	3eqtr3rd 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄))
67	58	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
68	67	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
69	6, 11	resubcld 11725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
71	70	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
72		negcon2 11592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
73	68, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)))
74	66, 73	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
75	62, 74, 56	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
76		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑)
77	70	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ)
78	67	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ)
79		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
80		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))
81		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))
82	79, 80, 81	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))
83	77, 78, 82	neg11d 11662	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅))
84	76, 83, 23	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)
85	59	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)))
86	75, 84, 85	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ⊥)
87	69	absord 15563	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
88	87	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)))
89	61, 86, 88	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ⊥)
90	89	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
91		df-ne 2957	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)))
92		dfnot 1589	. . 3 ⊢ (¬ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
93	91, 92	bitri 278	. 2 ⊢ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥))
94	90, 93	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ⊥wfal 1582 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 ℝcr 11180 0cc0 11181 + caddc 11184 · cmul 11186 − cmin 11522 -cneg 11523 / cdiv 11954 2c2 12378 ℤcz 12674 ℚcq 13056 abscabs 15381

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-er 8701 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9418 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-n0 12588 df-z 12675 df-uz 12947 df-q 13057 df-rp 13102 df-seq 14125 df-exp 14185 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383

This theorem is used by: irrdiff 38215

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