Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdifflemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdifflemf 36206
Description: Lemma for irrdiff 36207. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
irrdifflemf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
irrdifflemf.irr (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.qr (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
irrdifflemf (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))

Proof of Theorem irrdifflemf
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
2 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
3 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
4 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
52, 3, 43eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
6 irrdifflemf.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 irrdifflemf.q . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
10 qre 12937 . . . . . . . . . . 11 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1211recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
14 irrdifflemf.r . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
15 qre 12937 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1716recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
1817adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
208, 13, 18, 19subcand 11612 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ = ๐‘…)
21 irrdifflemf.qr . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
2221adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
2320, 22pm2.21ddne 3027 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
241, 5, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
25 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
26 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
27 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
28 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
2926, 27, 283eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
30 2cnd 12290 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
317adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12316 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โ‰  0)
34312timesd 12455 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
3617adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3731, 36negsubdi2d 11587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐‘…) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
3835, 37eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
3912adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4039, 36, 31, 31addsubeq4d 11622 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) = (๐ด + ๐ด) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
4138, 40mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) = (๐ด + ๐ด))
4234, 41eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐‘„ + ๐‘…))
4330, 31, 33, 42mvllmuld 12046 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด = ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
449adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
4514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
46 qaddcl 12949 . . . . . . . . . 10 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘… โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
48 2z 12594 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
49 zq 12938 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
51 qdivcl 12954 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š โˆง 2 โˆˆ โ„š โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„š)
5247, 50, 33, 51syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„š)
5343, 52eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
54 irrdifflemf.irr . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
5554adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
5653, 55pm2.21fal 1564 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
5725, 29, 56syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
586, 16resubcld 11642 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
5958absord 15362 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6059ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6124, 57, 60mpjaodan 958 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ โŠฅ)
62 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
63 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
64 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
65 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
6663, 64, 653eqtr3rd 2782 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
6758recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
6867ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
696, 11resubcld 11642 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„)
7069recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
72 negcon2 11513 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
7368, 71, 72syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
7466, 73mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
7562, 74, 56syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
76 simplll 774 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
7770ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
7867ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
79 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
80 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
81 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
8279, 80, 813eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
8377, 78, 82neg11d 11583 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
8476, 83, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
8559ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
8675, 84, 85mpjaodan 958 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ โŠฅ)
8769absord 15362 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
8887adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
8961, 86, 88mpjaodan 958 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โ†’ โŠฅ)
9089ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
91 df-ne 2942 . . 3 ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ยฌ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
92 dfnot 1561 . . 3 (ยฌ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
9391, 92bitri 275 . 2 ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
9490, 93sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โŠฅwfal 1554   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„คcz 12558  โ„šcq 12932  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  irrdiff  36207
  Copyright terms: Public domain W3C validator