Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdifflemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdifflemf 34687
 Description: Lemma for irrdiff 34688. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
irrdifflemf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
irrdifflemf.irr (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
irrdifflemf.q (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
irrdifflemf.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
irrdifflemf.qr (𝜑𝑄𝑅)
Assertion
Ref Expression
irrdifflemf (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))

Proof of Theorem irrdifflemf
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
2 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
3 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
52, 3, 43eqtr3d 2867 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
6 irrdifflemf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 irrdifflemf.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℚ)
10 qre 12353 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1211recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
14 irrdifflemf.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
15 qre 12353 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
1716recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
1817adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
208, 13, 18, 19subcand 11037 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄 = 𝑅)
21 irrdifflemf.qr . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑅)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → 𝑄𝑅)
2320, 22pm2.21ddne 3098 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
241, 5, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
25 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
26 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
27 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄))
28 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
2926, 27, 283eqtr3d 2867 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
30 2cnd 11715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
317adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 2ne0 11741 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ≠ 0)
34312timesd 11880 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
35 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
3617adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
3731, 36negsubdi2d 11012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑅) = (𝑅𝐴))
3835, 37eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴))
3912adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ)
4039, 36, 31, 31addsubeq4d 11047 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴𝑄) = (𝑅𝐴)))
4138, 40mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴))
4234, 41eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅))
4330, 31, 33, 42mvllmuld 11471 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2))
449adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ)
4514adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ)
46 qaddcl 12364 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
4744, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ)
48 2z 12014 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
49 zq 12354 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 2 ∈ ℚ)
51 qdivcl 12369 . . . . . . . . 9 (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5247, 50, 33, 51syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ)
5343, 52eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ)
54 irrdifflemf.irr . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5554adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ)
5653, 55pm2.21fal 1560 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
5725, 29, 56syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
586, 16resubcld 11067 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℝ)
5958absord 14778 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6059ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
6124, 57, 60mpjaodan 956 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄)) → ⊥)
62 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → 𝜑)
63 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
64 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
65 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅))
6663, 64, 653eqtr3rd 2868 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄))
6758recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
6867ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
696, 11resubcld 11067 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℝ)
7069recnd 10668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7170ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
72 negcon2 10938 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7368, 71, 72syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ((𝐴𝑅) = -(𝐴𝑄) ↔ (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅)))
7466, 73mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
7562, 74, 56syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅)) → ⊥)
76 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → 𝜑)
7770ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) ∈ ℂ)
7867ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑅) ∈ ℂ)
79 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
80 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄))
81 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅))
8279, 80, 813eqtr3d 2867 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → -(𝐴𝑄) = -(𝐴𝑅))
8377, 78, 82neg11d 11008 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → (𝐴𝑄) = (𝐴𝑅))
8476, 83, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)) → ⊥)
8559ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ((abs‘(𝐴𝑅)) = (𝐴𝑅) ∨ (abs‘(𝐴𝑅)) = -(𝐴𝑅)))
8675, 84, 85mpjaodan 956 . . . 4 (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)) → ⊥)
8769absord 14778 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8887adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (𝐴𝑄) ∨ (abs‘(𝐴𝑄)) = -(𝐴𝑄)))
8961, 86, 88mpjaodan 956 . . 3 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅))) → ⊥)
9089ex 416 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
91 df-ne 3015 . . 3 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)))
92 dfnot 1557 . . 3 (¬ (abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9391, 92bitri 278 . 2 ((abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴𝑄)) = (abs‘(𝐴𝑅)) → ⊥))
9490, 93sylibr 237 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ⊥wfal 1550   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541   − cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11692  ℤcz 11981  ℚcq 12348  abscabs 14596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598 This theorem is referenced by:  irrdiff  34688
 Copyright terms: Public domain W3C validator