Proof of Theorem irrdifflemf
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simplll 775 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
| 2 | | simpllr 776 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
| 3 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) |
| 4 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) |
| 5 | 2, 3, 4 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
| 6 | | irrdifflemf.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 7 | 6 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 9 | | irrdifflemf.q |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℚ) |
| 10 | | qre 12995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑄 ∈ ℚ → 𝑄 ∈
ℝ) |
| 11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) |
| 12 | 11 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ) |
| 14 | | irrdifflemf.r |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℚ) |
| 15 | | qre 12995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∈ ℚ → 𝑅 ∈
ℝ) |
| 16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 17 | 16 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 19 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
| 20 | 8, 13, 18, 19 | subcand 11661 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 = 𝑅) |
| 21 | | irrdifflemf.qr |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑅) |
| 22 | 21 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅) |
| 23 | 20, 22 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 24 | 1, 5, 23 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 25 | | simplll 775 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
| 26 | | simpllr 776 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
| 27 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) |
| 28 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 29 | 26, 27, 28 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 30 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℂ) |
| 31 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 32 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ≠
0 |
| 33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ≠ 0) |
| 34 | 31 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴)) |
| 35 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 36 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 37 | 31, 36 | negsubdi2d 11636 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑅) = (𝑅 − 𝐴)) |
| 38 | 35, 37 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴)) |
| 39 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℂ) |
| 40 | 39, 36, 31, 31 | addsubeq4d 11671 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴) ↔ (𝐴 − 𝑄) = (𝑅 − 𝐴))) |
| 41 | 38, 40 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) = (𝐴 + 𝐴)) |
| 42 | 34, 41 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (2 · 𝐴) = (𝑄 + 𝑅)) |
| 43 | 30, 31, 33, 42 | mvllmuld 12099 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 = ((𝑄 + 𝑅) / 2)) |
| 44 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℚ) |
| 45 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℚ) |
| 46 | | qaddcl 13007 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ 𝑅 ∈ ℚ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ) |
| 47 | 44, 45, 46 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ) |
| 48 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 49 | | zq 12996 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2 ∈
ℤ → 2 ∈ ℚ) |
| 50 | 48, 49 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 2 ∈ ℚ) |
| 51 | | qdivcl 13012 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑄 + 𝑅) ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℚ
∧ 2 ≠ 0) → ((𝑄
+ 𝑅) / 2) ∈
ℚ) |
| 52 | 47, 50, 33, 51 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ((𝑄 + 𝑅) / 2) ∈ ℚ) |
| 53 | 43, 52 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℚ) |
| 54 | | irrdifflemf.irr |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℚ) |
| 55 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ¬ 𝐴 ∈ ℚ) |
| 56 | 53, 55 | pm2.21fal 1562 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 57 | 25, 29, 56 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 58 | 6, 16 | resubcld 11691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ) |
| 59 | 58 | absord 15454 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
| 60 | 59 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
| 61 | 24, 57, 60 | mpjaodan 961 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄)) → ⊥) |
| 62 | | simplll 775 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
| 63 | | simpllr 776 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
| 64 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) |
| 65 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) |
| 66 | 63, 64, 65 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄)) |
| 67 | 58 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
| 68 | 67 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
| 69 | 6, 11 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℝ) |
| 70 | 69 | recnd 11289 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
| 71 | 70 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
| 72 | | negcon2 11562 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))) |
| 73 | 68, 71, 72 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑅) = -(𝐴 − 𝑄) ↔ (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅))) |
| 74 | 66, 73 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 75 | 62, 74, 56 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 76 | | simplll 775 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → 𝜑) |
| 77 | 70 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) ∈ ℂ) |
| 78 | 67 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℂ) |
| 79 | | simpllr 776 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
| 80 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) |
| 81 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 82 | 79, 80, 81 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → -(𝐴 − 𝑄) = -(𝐴 − 𝑅)) |
| 83 | 77, 78, 82 | neg11d 11632 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → (𝐴 − 𝑄) = (𝐴 − 𝑅)) |
| 84 | 76, 83, 23 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅)) → ⊥) |
| 85 | 59 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ((abs‘(𝐴 − 𝑅)) = (𝐴 − 𝑅) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑅)) = -(𝐴 − 𝑅))) |
| 86 | 75, 84, 85 | mpjaodan 961 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄)) → ⊥) |
| 87 | 69 | absord 15454 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))) |
| 88 | 87 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (𝐴 − 𝑄) ∨ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = -(𝐴 − 𝑄))) |
| 89 | 61, 86, 88 | mpjaodan 961 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) → ⊥) |
| 90 | 89 | ex 412 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
| 91 | | df-ne 2941 |
. . 3
⊢
((abs‘(𝐴
− 𝑄)) ≠
(abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ¬
(abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |
| 92 | | dfnot 1559 |
. . 3
⊢ (¬
(abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
| 93 | 91, 92 | bitri 275 |
. 2
⊢
((abs‘(𝐴
− 𝑄)) ≠
(abs‘(𝐴 − 𝑅)) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝑄)) = (abs‘(𝐴 − 𝑅)) → ⊥)) |
| 94 | 90, 93 | sylibr 234 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝑄)) ≠ (abs‘(𝐴 − 𝑅))) |