Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrdifflemf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrdifflemf 36298
Description: Lemma for irrdiff 36299. The forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
irrdifflemf.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
irrdifflemf.irr (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
irrdifflemf.qr (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
irrdifflemf (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))

Proof of Theorem irrdifflemf
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
2 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
3 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
52, 3, 43eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
6 irrdifflemf.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
76recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 irrdifflemf.q . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
10 qre 12939 . . . . . . . . . . 11 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1211recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
14 irrdifflemf.r . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
15 qre 12939 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
1716recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
1817adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
208, 13, 18, 19subcand 11614 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ = ๐‘…)
21 irrdifflemf.qr . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โ‰  ๐‘…)
2320, 22pm2.21ddne 3026 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
241, 5, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
25 simplll 773 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
26 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
27 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„))
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
2926, 27, 283eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
30 2cnd 12292 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
317adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 2ne0 12318 . . . . . . . . . 10 2 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โ‰  0)
34312timesd 12457 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
3617adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3731, 36negsubdi2d 11589 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐‘…) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
3835, 37eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐‘… โˆ’ ๐ด))
3912adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
4039, 36, 31, 31addsubeq4d 11624 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) = (๐ด + ๐ด) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐‘… โˆ’ ๐ด)))
4138, 40mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) = (๐ด + ๐ด))
4234, 41eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐‘„ + ๐‘…))
4330, 31, 33, 42mvllmuld 12048 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด = ((๐‘„ + ๐‘…) / 2))
449adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„š)
4514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„š)
46 qaddcl 12951 . . . . . . . . . 10 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘… โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š)
48 2z 12596 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
49 zq 12940 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
51 qdivcl 12956 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ + ๐‘…) โˆˆ โ„š โˆง 2 โˆˆ โ„š โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„š)
5247, 50, 33, 51syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐‘„ + ๐‘…) / 2) โˆˆ โ„š)
5343, 52eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
54 irrdifflemf.irr . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
5554adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ โ„š)
5653, 55pm2.21fal 1563 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
5725, 29, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
586, 16resubcld 11644 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
5958absord 15364 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6059ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
6124, 57, 60mpjaodan 957 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ โŠฅ)
62 simplll 773 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
63 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
64 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
65 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
6663, 64, 653eqtr3rd 2781 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
6758recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
6867ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
696, 11resubcld 11644 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„)
7069recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
7170ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
72 negcon2 11515 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
7368, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘…) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„) โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
7466, 73mpbid 231 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
7562, 74, 56syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
76 simplll 773 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ๐œ‘)
7770ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
7867ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
79 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
80 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„))
81 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
8279, 80, 813eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐‘„) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…))
8377, 78, 82neg11d 11585 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘„) = (๐ด โˆ’ ๐‘…))
8476, 83, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ)
8559ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด โˆ’ ๐‘…) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
8675, 84, 85mpjaodan 957 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ†’ โŠฅ)
8769absord 15364 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
8887adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (๐ด โˆ’ ๐‘„) โˆจ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = -(๐ด โˆ’ ๐‘„)))
8961, 86, 88mpjaodan 957 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…))) โ†’ โŠฅ)
9089ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
91 df-ne 2941 . . 3 ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ยฌ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
92 dfnot 1560 . . 3 (ยฌ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
9391, 92bitri 274 . 2 ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†” ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) = (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)) โ†’ โŠฅ))
9490, 93sylibr 233 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘„)) โ‰  (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541  โŠฅwfal 1553   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„šcq 12934  abscabs 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  irrdiff  36299
  Copyright terms: Public domain W3C validator