Theorem itgpowd 25982

Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgpowd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
itgpowd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itgpowd	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgpowd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5		itgpowd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		itgpowd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		iccssre 13326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		ax-resscn 11060	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstrdi 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	expcld 14050	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	resmptd 5989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)))
15		expcncf 24845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17		rescncf 24815	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
18	10, 16, 17	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19	14, 18	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20		cnicciblnc 25769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
21	5, 6, 19, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
22	13, 21	itgcl 25710	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
23	3	nnne0d 12172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24	4, 13, 21	itgmulc2 25760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
25		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
26		oveq1 7353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡↑𝑁) = (𝑥↑𝑁))
27	26	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31		ioossicc 13330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33	32	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	33, 13	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
35	30, 34	mulcld 11129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
36	25, 28, 29, 35	fvmptd 6936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
37	36	itgeq2dv 25708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
38		itgpowd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
39		reelprrecn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	41	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43		1nn0 12394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
45	1, 44	nn0addcld 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
47	42, 46	expcld 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
48	1	nn0cnd 12441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		1cnd 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
51	49, 50	addcld 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	42, 52	expcld 14050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
56	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
57	55, 56	expcld 14050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	fmpttd 7048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59		ssidd 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
60	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
61	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	55, 61	expcld 14050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
64	63	fmpttd 7048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65		dvexp 25882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
66	3, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67		1cnd 11104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
68	48, 67	pncand 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
69	68	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡↑𝑁))
70	69	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))
71	70	mpteq2dv 5185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
72	66, 71	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
73	72	feq1d 6633	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ))
74	64, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
75	74	fdmd 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
76	9, 75	sseqtrrid 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77		dvres3 25839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
78	40, 58, 59, 76, 77	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
79	72	reseq1d 5927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
80	78, 79	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
81		resmpt 5986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
82	9, 81	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
83	82	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84		resmpt 5986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
85	9, 84	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
86	80, 83, 85	3eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
87		tgioo4 24718	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
88		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
89		iccntr 24735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
90	5, 6, 89	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
91	40, 47, 54, 86, 8, 87, 88, 90	dvmptres2 25891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
92		ioossre 13304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
93	92, 9	sstri 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95		cncfmptc 24830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	4, 94, 59, 95	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97		resmpt 5986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
98	93, 97	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
99		expcncf 24845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
100	1, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101		rescncf 24815	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
102	94, 100, 101	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
103	98, 102	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
104	96, 103	mulcncf 25371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
105	91, 104	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106		ioombl 25491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
108	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109		1cnd 11104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110	108, 109	addcld 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
111	10	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
112	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113	111, 112	expcld 14050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
114	110, 113	mulcld 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
115		cncfmptc 24830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
116	4, 10, 59, 115	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
117	10	resmptd 5989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
118		rescncf 24815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
119	10, 100, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120	117, 119	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121	116, 120	mulcncf 25371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122		cnicciblnc 25769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
123	5, 6, 121, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
124	32, 107, 114, 123	iblss 25731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
125	91, 124	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
126	10	resmptd 5989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127		expcncf 24845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
128	45, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129		rescncf 24815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
130	10, 128, 129	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131	126, 130	eqeltrrd 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
132	5, 6, 38, 105, 125, 131	ftc2 25976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
133	91	fveq1d 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
134	133	ralrimivw 3128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
135		itgeq2 25704	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139	138	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
140	5	rexrd 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
141	6	rexrd 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
142		ubicc2 13362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143	140, 141, 38, 142	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
144	6	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
145	144, 45	expcld 14050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146	137, 139, 143, 145	fvmptd 6936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148	147	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149		lbicc2 13361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150	140, 141, 38, 149	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
151	5	recnd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
152	151, 45	expcld 14050	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153	137, 148, 150, 152	fvmptd 6936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154	146, 153	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155	132, 136, 154	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
156	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157	156, 13	mulcld 11129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
158	5, 6, 157	itgioo 25742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
159	37, 155, 158	3eqtr3rd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
160	24, 159	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
161	4, 22, 23, 160	mvllmuld 11950	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  {cpr 4578   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ran crn 5617   ↾ cres 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  (,)cioo 13242  [,]cicc 13245  ↑cexp 13965  TopOpenctopn 17322  topGenctg 17338  ℂ_fldccnfld 21289  intcnt 22930  –cn→ccncf 24794  volcvol 25389  𝐿¹cibl 25543  ∫citg 25544   D cdv 25789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546  df-itg2 25547  df-ibl 25548  df-itg 25549  df-0p 25596  df-limc 25792  df-dv 25793

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  42063  areaquad  43248