Theorem itgpowd 25548

Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgpowd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
itgpowd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itgpowd	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgpowd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12506	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12223	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5		itgpowd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		itgpowd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		iccssre 13401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		ax-resscn 11162	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstrdi 3992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	expcld 14106	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	resmptd 6037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)))
15		expcncf 24423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17		rescncf 24394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
18	10, 16, 17	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19	14, 18	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20		cnicciblnc 25341	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
21	5, 6, 19, 20	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
22	13, 21	itgcl 25282	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
23	3	nnne0d 12257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24	4, 13, 21	itgmulc2 25332	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
25		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
26		oveq1 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡↑𝑁) = (𝑥↑𝑁))
27	26	oveq2d 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
28	27	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
29		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	4	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31		ioossicc 13405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33	32	sselda 3980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	33, 13	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
35	30, 34	mulcld 11229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
36	25, 28, 29, 35	fvmptd 7000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
37	36	itgeq2dv 25280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
38		itgpowd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
39		reelprrecn 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	41	sselda 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43		1nn0 12483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
45	1, 44	nn0addcld 12531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
47	42, 46	expcld 14106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
48	1	nn0cnd 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		1cnd 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
51	49, 50	addcld 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	1	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	42, 52	expcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
55		simpr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
56	45	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
57	55, 56	expcld 14106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	fmpttd 7109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59		ssidd 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
60	4	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
61	1	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	55, 61	expcld 14106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
64	63	fmpttd 7109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65		dvexp 25451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
66	3, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67		1cnd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
68	48, 67	pncand 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
69	68	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡↑𝑁))
70	69	oveq2d 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))
71	70	mpteq2dv 5248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
72	66, 71	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
73	72	feq1d 6698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ))
74	64, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
75	74	fdmd 6724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
76	9, 75	sseqtrrid 4033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77		dvres3 25411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
78	40, 58, 59, 76, 77	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
79	72	reseq1d 5977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
80	78, 79	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
81		resmpt 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
82	9, 81	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
83	82	oveq2d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84		resmpt 6034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
85	9, 84	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
86	80, 83, 85	3eqtr3d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
87		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
88	87	tgioo2 24300	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89		iccntr 24318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
90	5, 6, 89	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
91	40, 47, 54, 86, 8, 88, 87, 90	dvmptres2 25460	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
92		ioossre 13380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
93	92, 9	sstri 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95		cncfmptc 24409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	4, 94, 59, 95	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97		resmpt 6034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
98	93, 97	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
99		expcncf 24423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
100	1, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101		rescncf 24394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
102	94, 100, 101	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
103	98, 102	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
104	96, 103	mulcncf 24944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
105	91, 104	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106		ioombl 25063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
108	48	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109		1cnd 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110	108, 109	addcld 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
111	10	sselda 3980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
112	1	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113	111, 112	expcld 14106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
114	110, 113	mulcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
115		cncfmptc 24409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
116	4, 10, 59, 115	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
117	10	resmptd 6037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
118		rescncf 24394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
119	10, 100, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120	117, 119	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121	116, 120	mulcncf 24944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122		cnicciblnc 25341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
123	5, 6, 121, 122	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
124	32, 107, 114, 123	iblss 25303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
125	91, 124	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
126	10	resmptd 6037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127		expcncf 24423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
128	45, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129		rescncf 24394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
130	10, 128, 129	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131	126, 130	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
132	5, 6, 38, 105, 125, 131	ftc2 25542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
133	91	fveq1d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
134	133	ralrimivw 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
135		itgeq2 25276	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139	138	oveq1d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
140	5	rexrd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
141	6	rexrd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
142		ubicc2 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143	140, 141, 38, 142	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
144	6	recnd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
145	144, 45	expcld 14106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146	137, 139, 143, 145	fvmptd 7000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148	147	oveq1d 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149		lbicc2 13436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150	140, 141, 38, 149	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
151	5	recnd 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
152	151, 45	expcld 14106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153	137, 148, 150, 152	fvmptd 7000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154	146, 153	oveq12d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155	132, 136, 154	3eqtr3d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
156	4	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157	156, 13	mulcld 11229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
158	5, 6, 157	itgioo 25314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
159	37, 155, 158	3eqtr3rd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
160	24, 159	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
161	4, 22, 23, 160	mvllmuld 12041	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3946  {cpr 4628   class class class wbr 5146   ↦ cmpt 5229  dom cdm 5674  ran crn 5675   ↾ cres 5676  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244   − cmin 11439   / cdiv 11866  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12467  (,)cioo 13319  [,]cicc 13322  ↑cexp 14022  TopOpenctopn 17362  topGenctg 17378  ℂ_fldccnfld 20928  intcnt 22502  –cn→ccncf 24373  volcvol 24961  𝐿¹cibl 25115  ∫citg 25116   D cdv 25361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-symdif 4240  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5112  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-lp 22621  df-perf 22622  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-haus 22800  df-cmp 22872  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-ovol 24962  df-vol 24963  df-mbf 25117  df-itg1 25118  df-itg2 25119  df-ibl 25120  df-itg 25121  df-0p 25168  df-limc 25364  df-dv 25365

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  40833  areaquad  41897