MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 25905
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
itgpowd.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(π‘₯↑𝑁) dπ‘₯ = (((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0p1nn 12518 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
43nncnd 12235 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
7 iccssre 13413 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
85, 6, 7syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
9 ax-resscn 11173 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
108, 9sstrdi 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
1110sselda 3982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
121adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1311, 12expcld 14118 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
1410resmptd 6040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯↑𝑁)))
15 expcncf 24767 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17 rescncf 24737 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
1810, 16, 17sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1914, 18eqeltrrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
20 cnicciblnc 25692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (π‘₯↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 25633 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(π‘₯↑𝑁) dπ‘₯ ∈ β„‚)
233nnne0d 12269 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) β‰  0)
244, 13, 21itgmulc2 25683 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) Β· ∫(𝐴[,]𝐡)(π‘₯↑𝑁) dπ‘₯) = ∫(𝐴[,]𝐡)((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) dπ‘₯)
25 eqidd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
26 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘₯ β†’ (𝑑↑𝑁) = (π‘₯↑𝑁))
2726oveq2d 7428 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘₯ β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)))
2827adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) ∧ 𝑑 = π‘₯) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)))
29 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡))
304adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
31 ioossicc 13417 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3332sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3433, 13syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (π‘₯↑𝑁) ∈ β„‚)
3530, 34mulcld 11241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) ∈ β„‚)
3625, 28, 29, 35fvmptd 7005 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) = ((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)))
3736itgeq2dv 25631 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) dπ‘₯)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
39 reelprrecn 11208 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
4241sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
43 1nn0 12495 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„•0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
451, 44nn0addcld 12543 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
4742, 46expcld 14118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
481nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
50 1cnd 11216 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
5149, 50addcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
521adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5342, 52expcld 14118 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑↑𝑁) ∈ β„‚)
5451, 53mulcld 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)) ∈ β„‚)
55 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
5645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5755, 56expcld 14118 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ (𝑑↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
5857fmpttd 7116 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))):β„‚βŸΆβ„‚)
59 ssidd 4005 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
604adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
611adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6255, 61expcld 14118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ (𝑑↑𝑁) ∈ β„‚)
6360, 62mulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)) ∈ β„‚)
6463fmpttd 7116 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))):β„‚βŸΆβ„‚)
65 dvexp 25805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ β„• β†’ (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))))
663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))))
67 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
6848, 67pncand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
6968oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑑↑((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (𝑑↑𝑁))
7069oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) = ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))
7170mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))) = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
7266, 71eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
7372feq1d 6702 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))):β„‚βŸΆβ„‚ ↔ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))):β„‚βŸΆβ„‚))
7464, 73mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))):β„‚βŸΆβ„‚)
7574fdmd 6728 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = β„‚)
769, 75sseqtrrid 4035 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))))
77 dvres3 25762 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† dom (β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))))) β†’ (ℝ D ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) β†Ύ ℝ))
7840, 58, 59, 76, 77syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ)) = ((β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) β†Ύ ℝ))
7972reseq1d 5980 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) β†Ύ ℝ) = ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) β†Ύ ℝ))
8078, 79eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ)) = ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) β†Ύ ℝ))
81 resmpt 6037 . . . . . . . . . . 11 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))
829, 81mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))
8382oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ ℝ)) = (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))))
84 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) β†Ύ ℝ) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
859, 84mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) β†Ύ ℝ) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
8680, 83, 853eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ ℝ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
87 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
8887tgioo2 24639 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
89 iccntr 24657 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
905, 6, 89syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
9140, 47, 54, 86, 8, 88, 87, 90dvmptres2 25814 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))))
92 ioossre 13392 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
9392, 9sstri 3991 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
95 cncfmptc 24752 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ β„‚ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
964, 94, 59, 95syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
97 resmpt 6037 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑↑𝑁)))
9893, 97mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑↑𝑁)))
99 expcncf 24767 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
1001, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
101 rescncf 24737 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚)))
10294, 100, 101sylc 65 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10398, 102eqeltrrd 2833 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10496, 103mulcncf 25294 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
10591, 104eqeltrd 2832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
106 ioombl 25414 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ dom vol)
10848adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
109 1cnd 11216 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
110108, 109addcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
11110sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
1121adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
113111, 112expcld 14118 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑↑𝑁) ∈ β„‚)
114110, 113mulcld 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)) ∈ β„‚)
115 cncfmptc 24752 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ β„‚ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1164, 10, 59, 115syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
11710resmptd 6040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑𝑁)))
118 rescncf 24737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
11910, 100, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑𝑁)) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
120117, 119eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
121116, 120mulcncf 25294 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
122 cnicciblnc 25692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
1235, 6, 121, 122syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
12432, 107, 114, 123iblss 25654 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
12591, 124eqeltrd 2832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
12610resmptd 6040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))
127 expcncf 24767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
12845, 127syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
129 rescncf 24737 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
13010, 128, 129sylc 65 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
131126, 130eqeltrrd 2833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
1325, 6, 38, 105, 125, 131ftc2 25899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = (((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΅) βˆ’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΄)))
13391fveq1d 6893 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) = ((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯))
134133ralrimivw 3149 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) = ((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯))
135 itgeq2 25627 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) = ((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
136134, 135syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) dπ‘₯)
137 eqidd 2732 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))) = (𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1))))
138 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐡) β†’ 𝑑 = 𝐡)
139138oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐡) β†’ (𝑑↑(𝑁 + 1)) = (𝐡↑(𝑁 + 1)))
1405rexrd 11271 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1416rexrd 11271 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
142 ubicc2 13449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
143140, 141, 38, 142syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1446recnd 11249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
145144, 45expcld 14118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
146137, 139, 143, 145fvmptd 7005 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΅) = (𝐡↑(𝑁 + 1)))
147 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐴) β†’ 𝑑 = 𝐴)
148147oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 = 𝐴) β†’ (𝑑↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149 lbicc2 13448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
150140, 141, 38, 149syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1515recnd 11249 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
152151, 45expcld 14118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
153137, 148, 150, 152fvmptd 7005 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΄) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154146, 153oveq12d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΅) βˆ’ ((𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (𝑑↑(𝑁 + 1)))β€˜π΄)) = ((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155132, 136, 1543eqtr3d 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑑 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑁 + 1) Β· (𝑑↑𝑁)))β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1564adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
157156, 13mulcld 11241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) ∈ β„‚)
1585, 6, 157itgioo 25665 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝐡)((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) dπ‘₯ = ∫(𝐴[,]𝐡)((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) dπ‘₯)
15937, 155, 1583eqtr3rd 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)((𝑁 + 1) Β· (π‘₯↑𝑁)) dπ‘₯ = ((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16024, 159eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 + 1) Β· ∫(𝐴[,]𝐡)(π‘₯↑𝑁) dπ‘₯) = ((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1614, 22, 23, 160mvllmuld 12053 1 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴[,]𝐡)(π‘₯↑𝑁) dπ‘₯ = (((𝐡↑(𝑁 + 1)) βˆ’ (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  1c1 11117   + caddc 11119   Β· cmul 11121  β„*cxr 11254   ≀ cle 11256   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  β„•cn 12219  β„•0cn0 12479  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334  β†‘cexp 14034  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  β„‚fldccnfld 21233  intcnt 22841  β€“cnβ†’ccncf 24716  volcvol 25312  πΏ1cibl 25466  βˆ«citg 25467   D cdv 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-cmp 23211  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-ovol 25313  df-vol 25314  df-mbf 25468  df-itg1 25469  df-itg2 25470  df-ibl 25471  df-itg 25472  df-0p 25519  df-limc 25715  df-dv 25716
This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  41363  areaquad  42428
  Copyright terms: Public domain W3C validator