Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 24742
 Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (𝜑𝐴𝐵)
itgpowd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11966 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43nncnd 11683 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12854 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 588 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 ax-resscn 10625 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstrdi 3905 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
1110sselda 3893 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121adantr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12expcld 13553 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
1410resmptd 5881 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)))
15 expcncf 23620 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17 rescncf 23591 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1810, 16, 17sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1914, 18eqeltrrd 2854 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20 cnicciblnc 24535 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 24476 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
233nnne0d 11717 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
244, 13, 21itgmulc2 24526 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
25 eqidd 2760 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
26 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑁) = (𝑥𝑁))
2726oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
2827adantl 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
29 simpr 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
304adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31 ioossicc 12858 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332sselda 3893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433, 13syldan 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
3530, 34mulcld 10692 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
3625, 28, 29, 35fvmptd 6767 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
3736itgeq2dv 24474 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
39 reelprrecn 10660 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4241sselda 3893 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43 1nn0 11943 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
451, 44nn0addcld 11991 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4645adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4742, 46expcld 13553 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
481nn0cnd 11989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4948adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5149, 50addcld 10691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
521adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5342, 52expcld 13553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 10692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
55 simpr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5645adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5755, 56expcld 13553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5857fmpttd 6871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59 ssidd 3916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
604adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
611adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6255, 61expcld 13553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
6360, 62mulcld 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
6463fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65 dvexp 24645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67 1cnd 10667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6848, 67pncand 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6968oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡𝑁))
7069oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
7170mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7266, 71eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7372feq1d 6484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ))
7464, 73mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
7574fdmd 6509 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
769, 75sseqtrrid 3946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77 dvres3 24605 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
7840, 58, 59, 76, 77syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
7972reseq1d 5823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
8078, 79eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
81 resmpt 5878 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
829, 81mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
8382oveq2d 7167 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84 resmpt 5878 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
859, 84mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
8680, 83, 853eqtr3d 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
87 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8887tgioo2 23497 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iccntr 23515 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
905, 6, 89syl2anc 588 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9140, 47, 54, 86, 8, 88, 87, 90dvmptres2 24654 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
92 ioossre 12833 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9392, 9sstri 3902 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 cncfmptc 23606 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
964, 94, 59, 95syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97 resmpt 5878 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
9893, 97mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
99 expcncf 23620 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1001, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101 rescncf 23591 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
10294, 100, 101sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10398, 102eqeltrrd 2854 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10496, 103mulcncf 24139 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10591, 104eqeltrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106 ioombl 24258 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10848adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109 1cnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110108, 109addcld 10691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
11110sselda 3893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
1121adantr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113111, 112expcld 13553 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
114110, 113mulcld 10692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
115 cncfmptc 23606 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1164, 10, 59, 115syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11710resmptd 5881 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
118 rescncf 23591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
11910, 100, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120117, 119eqeltrrd 2854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121116, 120mulcncf 24139 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122 cnicciblnc 24535 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
1235, 6, 121, 122syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12432, 107, 114, 123iblss 24497 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12591, 124eqeltrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
12610resmptd 5881 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127 expcncf 23620 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12845, 127syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129 rescncf 23591 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
13010, 128, 129sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131126, 130eqeltrrd 2854 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1325, 6, 38, 105, 125, 131ftc2 24736 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
13391fveq1d 6661 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
134133ralrimivw 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
135 itgeq2 24470 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136134, 135syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137 eqidd 2760 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139138oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
1405rexrd 10722 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1416rexrd 10722 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
142 ubicc2 12890 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143140, 141, 38, 142syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1446recnd 10700 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
145144, 45expcld 13553 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146137, 139, 143, 145fvmptd 6767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148147oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149 lbicc2 12889 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150140, 141, 38, 149syl3anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1515recnd 10700 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
152151, 45expcld 13553 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153137, 148, 150, 152fvmptd 6767 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154146, 153oveq12d 7169 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155132, 136, 1543eqtr3d 2802 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1564adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157156, 13mulcld 10692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
1585, 6, 157itgioo 24508 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
15937, 155, 1583eqtr3rd 2803 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16024, 159eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1614, 22, 23, 160mvllmuld 11503 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   ⊆ wss 3859  {cpr 4525   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5525  ran crn 5526   ↾ cres 5527  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573  ℝ*cxr 10705   ≤ cle 10707   − cmin 10901   / cdiv 11328  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  (,)cioo 12772  [,]cicc 12775  ↑cexp 13472  TopOpenctopn 16746  topGenctg 16762  ℂfldccnfld 20159  intcnt 21710  –cn→ccncf 23570  volcvol 24156  𝐿1cibl 24310  ∫citg 24311   D cdv 24555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cc 9888  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-symdif 4148  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-ofr 7407  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-omul 8118  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-dju 9356  df-card 9394  df-acn 9397  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ioc 12777  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-haus 22008  df-cmp 22080  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cncf 23572  df-ovol 24157  df-vol 24158  df-mbf 24312  df-itg1 24313  df-itg2 24314  df-ibl 24315  df-itg 24316  df-0p 24363  df-limc 24558  df-dv 24559 This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  39591  areaquad  40532
 Copyright terms: Public domain W3C validator