MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 25414
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (𝜑𝐴𝐵)
itgpowd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 12452 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43nncnd 12169 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 13346 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 ax-resscn 11108 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstrdi 3956 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
1110sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12expcld 14051 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
1410resmptd 5994 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)))
15 expcncf 24289 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17 rescncf 24260 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1810, 16, 17sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1914, 18eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20 cnicciblnc 25207 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 25148 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
233nnne0d 12203 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
244, 13, 21itgmulc2 25198 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
25 eqidd 2737 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
26 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑁) = (𝑥𝑁))
2726oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
2827adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
29 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
304adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31 ioossicc 13350 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332sselda 3944 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433, 13syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
3530, 34mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
3625, 28, 29, 35fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
3736itgeq2dv 25146 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
39 reelprrecn 11143 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4241sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
451, 44nn0addcld 12477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4742, 46expcld 14051 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
481nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5149, 50addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
521adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5342, 52expcld 14051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5755, 56expcld 14051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5857fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59 ssidd 3967 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
604adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6255, 61expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
6360, 62mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
6463fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65 dvexp 25317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6848, 67pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6968oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡𝑁))
7069oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
7170mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7266, 71eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7372feq1d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ))
7464, 73mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
7574fdmd 6679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
769, 75sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77 dvres3 25277 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
7840, 58, 59, 76, 77syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
7972reseq1d 5936 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
8078, 79eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
81 resmpt 5991 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
829, 81mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
8382oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84 resmpt 5991 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
859, 84mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
8680, 83, 853eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
87 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
8887tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iccntr 24184 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
905, 6, 89syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9140, 47, 54, 86, 8, 88, 87, 90dvmptres2 25326 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
92 ioossre 13325 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9392, 9sstri 3953 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95 cncfmptc 24275 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
964, 94, 59, 95syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97 resmpt 5991 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
9893, 97mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
99 expcncf 24289 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1001, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101 rescncf 24260 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
10294, 100, 101sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10398, 102eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10496, 103mulcncf 24810 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10591, 104eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106 ioombl 24929 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
10848adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109 1cnd 11150 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110108, 109addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
11110sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
1121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113111, 112expcld 14051 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
114110, 113mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
115 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1164, 10, 59, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11710resmptd 5994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
118 rescncf 24260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
11910, 100, 118sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120117, 119eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121116, 120mulcncf 24810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
1235, 6, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12432, 107, 114, 123iblss 25169 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12591, 124eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
12610resmptd 5994 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127 expcncf 24289 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12845, 127syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129 rescncf 24260 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
13010, 128, 129sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131126, 130eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1325, 6, 38, 105, 125, 131ftc2 25408 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
13391fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
134133ralrimivw 3147 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
135 itgeq2 25142 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136134, 135syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139138oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
1405rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1416rexrd 11205 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
142 ubicc2 13382 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143140, 141, 38, 142syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1446recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
145144, 45expcld 14051 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146137, 139, 143, 145fvmptd 6955 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148147oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149 lbicc2 13381 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150140, 141, 38, 149syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1515recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
152151, 45expcld 14051 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153137, 148, 150, 152fvmptd 6955 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154146, 153oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155132, 136, 1543eqtr3d 2784 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1564adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157156, 13mulcld 11175 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
1585, 6, 157itgioo 25180 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
15937, 155, 1583eqtr3rd 2785 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16024, 159eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1614, 22, 23, 160mvllmuld 11987 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  intcnt 22368  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  40488  areaquad  41536
  Copyright terms: Public domain W3C validator