Theorem itgpowd 25973

Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgpowd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
itgpowd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itgpowd	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgpowd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12441	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5		itgpowd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		itgpowd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		iccssre 13350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		ax-resscn 11085	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstrdi 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3937	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	expcld 14071	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	resmptd 5995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)))
15		expcncf 24836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17		rescncf 24806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
18	10, 16, 17	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19	14, 18	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20		cnicciblnc 25760	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
21	5, 6, 19, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
22	13, 21	itgcl 25701	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
23	3	nnne0d 12196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24	4, 13, 21	itgmulc2 25751	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
25		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
26		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡↑𝑁) = (𝑥↑𝑁))
27	26	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31		ioossicc 13354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33	32	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	33, 13	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
35	30, 34	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
36	25, 28, 29, 35	fvmptd 6941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
37	36	itgeq2dv 25699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
38		itgpowd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
39		reelprrecn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	41	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43		1nn0 12418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
45	1, 44	nn0addcld 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
47	42, 46	expcld 14071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
48	1	nn0cnd 12465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		1cnd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
51	49, 50	addcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	42, 52	expcld 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
55		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
56	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
57	55, 56	expcld 14071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	fmpttd 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59		ssidd 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
60	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
61	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	55, 61	expcld 14071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
64	63	fmpttd 7053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65		dvexp 25873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
66	3, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
68	48, 67	pncand 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
69	68	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡↑𝑁))
70	69	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))
71	70	mpteq2dv 5189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
72	66, 71	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
73	72	feq1d 6638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ))
74	64, 73	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
75	74	fdmd 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
76	9, 75	sseqtrrid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77		dvres3 25830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
78	40, 58, 59, 76, 77	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
79	72	reseq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
80	78, 79	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
81		resmpt 5992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
82	9, 81	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
83	82	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84		resmpt 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
85	9, 84	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
86	80, 83, 85	3eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
87		tgioo4 24709	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
88		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
89		iccntr 24726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
90	5, 6, 89	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
91	40, 47, 54, 86, 8, 87, 88, 90	dvmptres2 25882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
92		ioossre 13328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
93	92, 9	sstri 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95		cncfmptc 24821	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	4, 94, 59, 95	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97		resmpt 5992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
98	93, 97	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
99		expcncf 24836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
100	1, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101		rescncf 24806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
102	94, 100, 101	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
103	98, 102	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
104	96, 103	mulcncf 25362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
105	91, 104	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106		ioombl 25482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
108	48	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109		1cnd 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110	108, 109	addcld 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
111	10	sselda 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
112	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113	111, 112	expcld 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
114	110, 113	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
115		cncfmptc 24821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
116	4, 10, 59, 115	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
117	10	resmptd 5995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
118		rescncf 24806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
119	10, 100, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120	117, 119	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121	116, 120	mulcncf 25362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122		cnicciblnc 25760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
123	5, 6, 121, 122	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
124	32, 107, 114, 123	iblss 25722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
125	91, 124	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
126	10	resmptd 5995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127		expcncf 24836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
128	45, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129		rescncf 24806	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
130	10, 128, 129	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131	126, 130	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
132	5, 6, 38, 105, 125, 131	ftc2 25967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
133	91	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
134	133	ralrimivw 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
135		itgeq2 25695	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139	138	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
140	5	rexrd 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
141	6	rexrd 11184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
142		ubicc2 13386	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143	140, 141, 38, 142	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
144	6	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
145	144, 45	expcld 14071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146	137, 139, 143, 145	fvmptd 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148	147	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149		lbicc2 13385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150	140, 141, 38, 149	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
151	5	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
152	151, 45	expcld 14071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153	137, 148, 150, 152	fvmptd 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154	146, 153	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155	132, 136, 154	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
156	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157	156, 13	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
158	5, 6, 157	itgioo 25733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
159	37, 155, 158	3eqtr3rd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
160	24, 159	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
161	4, 22, 23, 160	mvllmuld 11974	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  {cpr 4581   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269  ↑cexp 13986  TopOpenctopn 17343  topGenctg 17359  ℂ_fldccnfld 21279  intcnt 22920  –cn→ccncf 24785  volcvol 25380  𝐿¹cibl 25534  ∫citg 25535   D cdv 25780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  42004  areaquad  43189