Theorem bccm1k 44583

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccm1k.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
bccm1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccm1k.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
2	1	eldifad 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		bccm1k.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		1cnd 11127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
8	3	nnne0d 12195	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
9	7, 4, 8	divcld 11917	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10		nnm1nn0 12442	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
12	2, 11	bcccl 44580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13		eldifsni 4746	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
15	2, 6, 14	subne0d 11501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
16	7, 4, 15, 8	divne0d 11933	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
17	2, 11	bccp1k 44582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
18	4, 5	npcand 11496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
20	18	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
21	20	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
22	17, 19, 21	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
23	12, 9	mulcomd 11153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
24	22, 23	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
25	9, 12, 16, 24	mvllmuld 11973	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898  {csn 4580  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  C_𝑐cbcc 44577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827  df-fallfac 15930  df-bcc 44578

This theorem is referenced by: (None)