Theorem bccm1k 45402

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccm1k.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
bccm1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccm1k.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
2	1	eldifad 4051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		bccm1k.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		1cnd 11303	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11670	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
8	3	nnne0d 12389	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
9	7, 4, 8	divcld 12094	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10		nnm1nn0 12648	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
12	2, 11	bcccl 45399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13		eldifsni 4752	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
14	1, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
15	2, 6, 14	subne0d 11680	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
16	7, 4, 15, 8	divne0d 12110	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
17	2, 11	bccp1k 45401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
18	4, 5	npcand 11674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
20	18	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
21	20	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
22	17, 19, 21	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
23	12, 9	mulcomd 11331	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
24	22, 23	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
25	9, 12, 16, 24	mvllmuld 12150	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {csn 4583  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   − cmin 11542   / cdiv 11974  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  C_𝑐cbcc 45396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-prod 16074  df-fallfac 16175  df-bcc 45397

This theorem is used by: (None)