Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccm1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccm1k 42527
Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccm1k.c (𝜑𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
bccm1k (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k
StepHypRef Expression
1 bccm1k.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
21eldifad 3921 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 bccm1k.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
43nncnd 12128 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5 1cnd 11109 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64, 5subcld 11471 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
72, 6subcld 11471 . . 3 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
83nnne0d 12162 . . 3 (𝜑𝐾 ≠ 0)
97, 4, 8divcld 11890 . 2 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10 nnm1nn0 12413 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
113, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
122, 11bcccl 42524 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13 eldifsni 4749 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
141, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
152, 6, 14subne0d 11480 . . 3 (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
167, 4, 15, 8divne0d 11906 . 2 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
172, 11bccp1k 42526 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
184, 5npcand 11475 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
1918oveq2d 7368 . . . 4 (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
2018oveq2d 7368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
2120oveq2d 7368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
2217, 19, 213eqtr3d 2786 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
2312, 9mulcomd 11135 . . 3 (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
2422, 23eqtr2d 2779 . 2 (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
259, 12, 16, 24mvllmuld 11946 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cdif 3906  {csn 4585  (class class class)co 7352  cc 11008  1c1 11011   + caddc 11013   · cmul 11015  cmin 11344   / cdiv 11771  cn 12112  0cn0 12372  C𝑐cbcc 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-fac 14128  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-prod 15749  df-fallfac 15850  df-bcc 42522
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator