Theorem bccm1k 44619

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccm1k.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
bccm1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccm1k.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
2	1	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		bccm1k.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		1cnd 11131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
8	3	nnne0d 12199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
9	7, 4, 8	divcld 11921	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10		nnm1nn0 12446	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
12	2, 11	bcccl 44616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13		eldifsni 4747	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
15	2, 6, 14	subne0d 11505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
16	7, 4, 15, 8	divne0d 11937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
17	2, 11	bccp1k 44618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
18	4, 5	npcand 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
20	18	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
21	20	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
22	17, 19, 21	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
23	12, 9	mulcomd 11157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
24	22, 23	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
25	9, 12, 16, 24	mvllmuld 11977	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  {csn 4581  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  C_𝑐cbcc 44613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-prod 15831  df-fallfac 15934  df-bcc 44614

This theorem is referenced by: (None)