Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccm1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccm1k 42714
Description: Generalized binomial coefficient: ๐ถ choose (๐พ โˆ’ 1), when ๐ถ is not (๐พ โˆ’ 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccm1k.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {(๐พ โˆ’ 1)}))
bccm1k.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
bccm1k (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถC๐‘๐พ) / ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))

Proof of Theorem bccm1k
StepHypRef Expression
1 bccm1k.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {(๐พ โˆ’ 1)}))
21eldifad 3926 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 bccm1k.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11158 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
64, 5subcld 11520 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
72, 6subcld 11520 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
83nnne0d 12211 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
97, 4, 8divcld 11939 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) โˆˆ โ„‚)
10 nnm1nn0 12462 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
113, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
122, 11bcccl 42711 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
13 eldifsni 4754 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {(๐พ โˆ’ 1)}) โ†’ ๐ถ โ‰  (๐พ โˆ’ 1))
141, 13syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  (๐พ โˆ’ 1))
152, 6, 14subne0d 11529 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) โ‰  0)
167, 4, 15, 8divne0d 11955 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) โ‰  0)
172, 11bccp1k 42713 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ((๐พ โˆ’ 1) + 1))))
184, 5npcand 11524 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ โˆ’ 1) + 1) = ๐พ)
1918oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = (๐ถC๐‘๐พ))
2018oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ((๐พ โˆ’ 1) + 1)) = ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ))
2120oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ((๐พ โˆ’ 1) + 1))) = ((๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
2217, 19, 213eqtr3d 2781 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘๐พ) = ((๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
2312, 9mulcomd 11184 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) ยท ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)) = (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))))
2422, 23eqtr2d 2774 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ) ยท (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1))) = (๐ถC๐‘๐พ))
259, 12, 16, 24mvllmuld 11995 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถC๐‘(๐พ โˆ’ 1)) = ((๐ถC๐‘๐พ) / ((๐ถ โˆ’ (๐พ โˆ’ 1)) / ๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆ– cdif 3911  {csn 4590  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  C๐‘cbcc 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-prod 15797  df-fallfac 15898  df-bcc 42709
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator