Theorem bccm1k 45022

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccm1k.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
bccm1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccm1k.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
2	1	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		bccm1k.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		1cnd 11201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11568	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
8	3	nnne0d 12285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
9	7, 4, 8	divcld 11990	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10		nnm1nn0 12544	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
12	2, 11	bcccl 45019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13		eldifsni 4757	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
14	1, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
15	2, 6, 14	subne0d 11577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
16	7, 4, 15, 8	divne0d 12006	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
17	2, 11	bccp1k 45021	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
18	4, 5	npcand 11572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
20	18	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
21	20	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
22	17, 19, 21	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
23	12, 9	mulcomd 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
24	22, 23	eqtr2d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
25	9, 12, 16, 24	mvllmuld 12046	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {csn 4588  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  C_𝑐cbcc 45016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-prod 15958  df-fallfac 16061  df-bcc 45017

This theorem is referenced by: (None)