Theorem bccm1k 45168

Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 − 1), when 𝐶 is not (𝐾 − 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccm1k.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
bccm1k.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
bccm1k	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

Proof of Theorem bccm1k

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccm1k.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}))
2	1	eldifad 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		bccm1k.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
5		1cnd 11229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	subcld 11596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	subcld 11596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
8	3	nnne0d 12313	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
9	7, 4, 8	divcld 12018	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10		nnm1nn0 12572	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
11	3, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
12	2, 11	bcccl 45165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
13		eldifsni 4756	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {(𝐾 − 1)}) → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
14	1, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝐾 − 1))
15	2, 6, 14	subne0d 11605	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐾 − 1)) ≠ 0)
16	7, 4, 15, 8	divne0d 12034	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) ≠ 0)
17	2, 11	bccp1k 45167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))))
18	4, 5	npcand 11600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
19	18	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐((𝐾 − 1) + 1)) = (𝐶C𝑐𝐾))
20	18	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1)) = ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾))
21	20	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / ((𝐾 − 1) + 1))) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
22	17, 19, 21	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
23	12, 9	mulcomd 11257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) · ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))))
24	22, 23	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) · (𝐶C𝑐(𝐾 − 1))) = (𝐶C𝑐𝐾))
25	9, 12, 16, 24	mvllmuld 12074	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 − 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) / ((𝐶 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  C_𝑐cbcc 45162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-prod 15995  df-fallfac 16098  df-bcc 45163

This theorem is used by: (None)