Theorem fsumkthpow 16092

Description: A closed-form expression for the sum of 𝐾-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumkthpow	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀

Proof of Theorem fsumkthpow

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12565	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4		fzfid 14014	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0...𝑀) ∈ Fin)
5		elfzelz 13564	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12723	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		expcl 14120	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2anr 597	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 15769	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
11	2	nnne0d 12316	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
12	4, 3, 9	fsummulc2 15820	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
13		bpolydif 16091	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
14	2, 6, 13	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
15		nn0cn 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
20	19	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1)) = (𝑛↑𝐾))
21	20	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
22	14, 21	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
23	22	sumeq2dv 15738	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
24		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛))
25		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)))
26		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 0))
27		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)))
28		nn0z 12638	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		peano2nn0 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
32		nn0uz 12920	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
33	31, 32	eleqtrdi 2851	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
34		peano2nn0 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
35	34	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36		elfznn0 13660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12589	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
39		bpolycl 16088	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
40	35, 38, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
41	24, 25, 26, 27, 29, 33, 40	telfsum2 15841	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
42	12, 23, 41	3eqtr2d 2783	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
43	3, 10, 11, 42	mvllmuld 12099	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722   BernPoly cbp 16082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-bpoly 16083

This theorem is referenced by:  fsumcube  16096