MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumkthpow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumkthpow 16036
Description: A closed-form expression for the sum of 𝐾-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumkthpow ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀

Proof of Theorem fsumkthpow
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 12544 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
32nncnd 12261 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4 fzfid 13974 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0...𝑀) ∈ Fin)
5 elfzelz 13536 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
65zcnd 12700 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 simpl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 expcl 14080 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2anr 595 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
104, 9fsumcl 15715 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) ∈ ℂ)
112nnne0d 12295 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
124, 3, 9fsummulc2 15766 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
13 bpolydif 16035 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
142, 6, 13syl2an 594 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
15 nn0cn 12515 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
1615ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11198 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
18 pncan 11498 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
2019oveq2d 7435 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1)) = (𝑛𝐾))
2120oveq2d 7435 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2214, 21eqtrd 2765 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2322sumeq2dv 15685 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
24 oveq2 7427 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛))
25 oveq2 7427 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)))
26 oveq2 7427 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 0))
27 oveq2 7427 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)))
28 nn0z 12616 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2928adantl 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 peano2nn0 12545 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
3130adantl 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
32 nn0uz 12897 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3331, 32eleqtrdi 2835 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
34 peano2nn0 12545 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
3534ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36 elfznn0 13629 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 12567 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
39 bpolycl 16032 . . . . 5 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4035, 38, 39syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4124, 25, 26, 27, 29, 33, 40telfsum2 15787 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
4212, 23, 413eqtr2d 2771 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
433, 10, 11, 42mvllmuld 12079 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  cexp 14062  Σcsu 15668   BernPoly cbp 16026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-bpoly 16027
This theorem is referenced by:  fsumcube  16040
  Copyright terms: Public domain W3C validator