Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumkthpow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumkthpow 15422
 Description: A closed-form expression for the sum of 𝐾-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumkthpow ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀

Proof of Theorem fsumkthpow
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 11942 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
32nncnd 11659 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4 fzfid 13356 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0...𝑀) ∈ Fin)
5 elfzelz 12922 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
65zcnd 12096 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 simpl 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 expcl 13463 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2anr 599 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
104, 9fsumcl 15102 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) ∈ ℂ)
112nnne0d 11693 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
124, 3, 9fsummulc2 15151 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
13 bpolydif 15421 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
142, 6, 13syl2an 598 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
15 nn0cn 11913 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10602 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
18 pncan 10899 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1916, 17, 18sylancl 589 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
2019oveq2d 7161 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1)) = (𝑛𝐾))
2120oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2214, 21eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2322sumeq2dv 15072 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
24 oveq2 7153 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛))
25 oveq2 7153 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)))
26 oveq2 7153 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 0))
27 oveq2 7153 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)))
28 nn0z 12013 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2928adantl 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 peano2nn0 11943 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
3130adantl 485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
32 nn0uz 12288 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3331, 32eleqtrdi 2900 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
34 peano2nn0 11943 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
3534ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36 elfznn0 13015 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 11965 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
39 bpolycl 15418 . . . . 5 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4035, 38, 39syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4124, 25, 26, 27, 29, 33, 40telfsum2 15172 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
4212, 23, 413eqtr2d 2839 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
433, 10, 11, 42mvllmuld 11479 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   · cmul 10549   − cmin 10877   / cdiv 11304  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  ↑cexp 13445  Σcsu 15054   BernPoly cbp 15412 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-fac 13650  df-bc 13679  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-bpoly 15413 This theorem is referenced by:  fsumcube  15426
 Copyright terms: Public domain W3C validator