MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumkthpow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumkthpow 16088
Description: A closed-form expression for the sum of 𝐾-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumkthpow ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀

Proof of Theorem fsumkthpow
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 12562 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
21adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
32nncnd 12279 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4 fzfid 14010 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0...𝑀) ∈ Fin)
5 elfzelz 13560 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
65zcnd 12720 . . . 4 (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8 expcl 14116 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2anr 597 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛𝐾) ∈ ℂ)
104, 9fsumcl 15765 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) ∈ ℂ)
112nnne0d 12313 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
124, 3, 9fsummulc2 15816 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
13 bpolydif 16087 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
142, 6, 13syl2an 596 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
15 nn0cn 12533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
1615ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
18 pncan 11511 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
2019oveq2d 7446 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1)) = (𝑛𝐾))
2120oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2214, 21eqtrd 2774 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
2322sumeq2dv 15734 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛𝐾)))
24 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛))
25 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)))
26 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = 0 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 0))
27 oveq2 7438 . . . 4 (𝑘 = (𝑀 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)))
28 nn0z 12635 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2928adantl 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 peano2nn0 12563 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
3130adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
32 nn0uz 12917 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
3331, 32eleqtrdi 2848 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
34 peano2nn0 12563 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
3534ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36 elfznn0 13656 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837nn0cnd 12586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
39 bpolycl 16084 . . . . 5 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4035, 38, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
4124, 25, 26, 27, 29, 33, 40telfsum2 15837 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
4212, 23, 413eqtr2d 2780 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
433, 10, 11, 42mvllmuld 12096 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  cexp 14098  Σcsu 15718   BernPoly cbp 16078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-bpoly 16079
This theorem is referenced by:  fsumcube  16092
  Copyright terms: Public domain W3C validator