Theorem fsumkthpow 15991

Description: A closed-form expression for the sum of 𝐾-th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fsumkthpow	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀

Proof of Theorem fsumkthpow

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0p1nn 12452	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12173	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
4		fzfid 13908	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0...𝑀) ∈ Fin)
5		elfzelz 13452	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12609	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑀) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8		expcl 14014	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2anr 598	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
10	4, 9	fsumcl 15668	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) ∈ ℂ)
11	2	nnne0d 12207	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 1) ≠ 0)
12	4, 3, 9	fsummulc2 15719	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
13		bpolydif 15990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
14	2, 6, 13	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))))
15		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
19	16, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
20	19	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1)) = (𝑛↑𝐾))
21	20	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐾 + 1) · (𝑛↑((𝐾 + 1) − 1))) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
22	14, 21	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = ((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
23	22	sumeq2dv 15637	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)((𝐾 + 1) · (𝑛↑𝐾)))
24		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛))
25		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)))
26		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly 0))
27		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 1) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) = ((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)))
28		nn0z 12524	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		peano2nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
32		nn0uz 12801	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
33	31, 32	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
34		peano2nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
35	34	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
36		elfznn0 13548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37	nn0cnd 12476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
39		bpolycl 15987	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
40	35, 38, 39	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 1))) → ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑘) ∈ ℂ)
41	24, 25, 26, 27, 29, 33, 40	telfsum2 15740	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(((𝐾 + 1) BernPoly (𝑛 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 𝑛)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
42	12, 23, 41	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 + 1) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾)) = (((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)))
43	3, 10, 11, 42	mvllmuld 11985	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑀)(𝑛↑𝐾) = ((((𝐾 + 1) BernPoly (𝑀 + 1)) − ((𝐾 + 1) BernPoly 0)) / (𝐾 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  Σcsu 15621   BernPoly cbp 15981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-bpoly 15982

This theorem is referenced by:  fsumcube  15995