MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efneg 15443
Description: The exponential of the opposite is the inverse of the exponential. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
efneg (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) = (1 / (exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efneg
StepHypRef Expression
1 efcl 15428 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2 negcl 10878 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3 efcl 15428 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
5 efne0 15442 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ≠ 0)
6 efcan 15441 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐴)) = 1)
71, 4, 5, 6mvllmuld 11464 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) = (1 / (exp‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  1c1 10530  -cneg 10863   / cdiv 11289  expce 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413
This theorem is referenced by:  efexp  15446  logrec  25254  asinneg  25377  birthdaylem3  25445  birthday  25446  igamlgam  25541  subfaclim  32320  expgrowth  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator