Theorem exprec 14140

Description: Integer exponentiation of a reciprocal. (Contributed by NM, 2-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
exprec	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem exprec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expclz 14121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
2		reccl 11926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
4		recne0 11932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
6		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		expclz 14121	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
9		expne0i 14131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
10		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
12	10, 11	recidd 12035	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
13	12	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = (1↑𝑁))
14		mulexpz 14139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
15	10, 11, 3, 5, 6, 14	syl221anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴))↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)))
16		1exp 14128	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
17	6, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) = 1)
18	13, 15, 17	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) · ((1 / 𝐴)↑𝑁)) = 1)
19	1, 8, 9, 18	mvllmuld 12096	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / 𝐴)↑𝑁) = (1 / (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   / cdiv 11917  ℤcz 12610  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  expmulz  14145  expdiv  14150  sqrecd  14186  exprecd  14190  ltexp2r  14209  expcnv  15896  geo2lim  15907