Theorem decmul2c 12742

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
decmul2c.c	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
decmul2c.2	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ;𝐸𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12694	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12679	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		decmul1c.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
10		decmul2c.c	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
11		decmul2c.2	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ;𝐸𝐷
12		dfdec10 12679	. . . 4 ⊢ ;𝐸𝐷 = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
13	11, 12	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 12726	. 2 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
15		dfdec10 12679	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
16	14, 15	eqtr4i 2763	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677

This theorem is referenced by:  decmulnc  12743  2exp8  17021  2exp16  17023  prmlem2  17052  37prm  17053  1259lem2  17064  1259lem3  17065  1259lem4  17066  1259prm  17068  2503lem1  17069  2503lem2  17070  2503prm  17072  4001lem1  17073  4001lem2  17074  4001lem3  17075  4001prm  17077  log2ublem3  26450  log2ub  26451  birthday  26456  dpmul  32074  420gcd8e4  40866  420lcm8e840  40871  3exp7  40913  3lexlogpow5ineq1  40914  3lexlogpow5ineq5  40920  aks4d1p1  40936  decpmulnc  41201  235t711  41205  ex-decpmul  41206  resqrtvalex  42386  imsqrtvalex  42387  257prm  46219  fmtno4prmfac  46230  fmtno4prmfac193  46231  fmtno4nprmfac193  46232  m11nprm  46259  2exp340mod341  46391