Theorem decmul2c 12786

Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul1.p	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decmul1.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul1.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul1.n	⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
decmul1.0	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decmul1c.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
decmul2c.c	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
decmul2c.2	⊢ (𝑃 · 𝐵) = ;𝐸𝐷

Assertion

Ref	Expression
decmul2c	⊢ (𝑃 · 𝑁) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decmul2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12737	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decmul1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
3		decmul1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		decmul1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		decmul1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐴𝐵
6		dfdec10 12718	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7	5, 6	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		decmul1.0	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
9		decmul1c.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
10		decmul2c.c	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
11		decmul2c.2	. . . 4 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ;𝐸𝐷
12		dfdec10 12718	. . . 4 ⊢ ;𝐸𝐷 = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
13	11, 12	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝐵) = ((;10 · 𝐸) + 𝐷)
14	1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13	nummul2c 12770	. 2 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
15		dfdec10 12718	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
16	14, 15	eqtr4i 2789	1 ⊢ (𝑃 · 𝑁) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109  ℕ₀cn0 12508  ;cdc 12715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-dec 12716

This theorem is used by:  decmulnc  12787  2exp8  17152  2exp16  17154  prmlem2  17184  37prm  17185  1259lem2  17196  1259lem3  17197  1259lem4  17198  1259prm  17200  2503lem1  17201  2503lem2  17202  2503prm  17204  4001lem1  17205  4001lem2  17206  4001lem3  17207  4001prm  17209  log2ublem3  27122  log2ub  27123  birthday  27128  dpmul  33241  420gcd8e4  42801  420lcm8e840  42806  3exp7  42848  3lexlogpow5ineq1  42849  3lexlogpow5ineq5  42855  aks4d1p1  42871  decpmulnc  43076  235t711  43094  ex-decpmul  43095  resqrtvalex  44399  imsqrtvalex  44400  257prm  48341  fmtno4prmfac  48352  fmtno4prmfac193  48353  fmtno4nprmfac193  48354  m11nprm  48381  2exp340mod341  48526