Theorem hhssvsf 30950

Description: Mapping of the vector subtraction operation on a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhsssh2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssba.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
hhssvsf	⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻

Proof of Theorem hhssvsf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hhsssh2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
2		hhssba.2	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
3	1, 2	hhssnv 30941	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
4	1, 2	hhssba 30948	. . 3 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
5	1, 2	hhssvs 30949	. . 3 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣 ‘𝑊)
6	4, 5	nvmf 30322	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻)
7	3, 6	ax-mp 5	1 ⊢ ( −ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4626   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ⟶wf 6529  ℂcc 11103  NrmCVeccnv 30261   +_ℎ cva 30597   ·_ℎ csm 30598  norm_ℎcno 30600   −_ℎ cmv 30602   S_ℋ csh 30605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30676  ax-hfvadd 30677  ax-hvcom 30678  ax-hvass 30679  ax-hv0cl 30680  ax-hvaddid 30681  ax-hfvmul 30682  ax-hvmulid 30683  ax-hvmulass 30684  ax-hvdistr1 30685  ax-hvdistr2 30686  ax-hvmul0 30687  ax-hfi 30756  ax-his1 30759  ax-his2 30760  ax-his3 30761  ax-his4 30762

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 21215  df-xmet 21216  df-met 21217  df-bl 21218  df-mopn 21219  df-top 22706  df-topon 22723  df-bases 22759  df-lm 23043  df-haus 23129  df-grpo 30170  df-gid 30171  df-ginv 30172  df-gdiv 30173  df-ablo 30222  df-vc 30236  df-nv 30269  df-va 30272  df-ba 30273  df-sm 30274  df-0v 30275  df-vs 30276  df-nmcv 30277  df-ims 30278  df-ssp 30399  df-hnorm 30645  df-hba 30646  df-hvsub 30648  df-hlim 30649  df-sh 30884  df-ch 30898  df-ch0 30930

This theorem is referenced by:  hhssims  30951