HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssvsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhssvsf 30043
Description: Mapping of the vector subtraction operation on a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsssh2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssba.2 𝐻S
Assertion
Ref Expression
hhssvsf ( − ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻

Proof of Theorem hhssvsf
StepHypRef Expression
1 hhsssh2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
2 hhssba.2 . . 3 𝐻S
31, 2hhssnv 30034 . 2 𝑊 ∈ NrmCVec
41, 2hhssba 30041 . . 3 𝐻 = (BaseSet‘𝑊)
51, 2hhssvs 30042 . . 3 ( − ↾ (𝐻 × 𝐻)) = ( −𝑣𝑊)
64, 5nvmf 29415 . 2 (𝑊 ∈ NrmCVec → ( − ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻)
73, 6ax-mp 5 1 ( − ↾ (𝐻 × 𝐻)):(𝐻 × 𝐻)⟶𝐻
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4590   × cxp 5629  cres 5633  wf 6489  cc 11007  NrmCVeccnv 29354   + cva 29690   · csm 29691  normcno 29693   cmv 29695   S csh 29698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-hilex 29769  ax-hfvadd 29770  ax-hvcom 29771  ax-hvass 29772  ax-hv0cl 29773  ax-hvaddid 29774  ax-hfvmul 29775  ax-hvmulid 29776  ax-hvmulass 29777  ax-hvdistr1 29778  ax-hvdistr2 29779  ax-hvmul0 29780  ax-hfi 29849  ax-his1 29852  ax-his2 29853  ax-his3 29854  ax-his4 29855
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-icc 13225  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-topgen 17284  df-psmet 20740  df-xmet 20741  df-met 20742  df-bl 20743  df-mopn 20744  df-top 22194  df-topon 22211  df-bases 22247  df-lm 22531  df-haus 22617  df-grpo 29263  df-gid 29264  df-ginv 29265  df-gdiv 29266  df-ablo 29315  df-vc 29329  df-nv 29362  df-va 29365  df-ba 29366  df-sm 29367  df-0v 29368  df-vs 29369  df-nmcv 29370  df-ims 29371  df-ssp 29492  df-hnorm 29738  df-hba 29739  df-hvsub 29741  df-hlim 29742  df-sh 29977  df-ch 29991  df-ch0 30023
This theorem is referenced by:  hhssims  30044
  Copyright terms: Public domain W3C validator