Theorem oacl2g 43437

Description: Closure law for ordinal addition. Here we show that ordinal addition is closed within the empty set or any ordinal power of omega. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oacl2g	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem oacl2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		noel 4289	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
3	2	pm2.21i 119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
4	1, 3	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
5	4	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
9		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
10		omelon 9546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
11	9, 10	jctil 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
12		oecl 8461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
14	8, 13	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
16		onelon 6339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
17	16	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
18	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
20	15, 19	jcai 516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
23		oaordi 8470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
24	20, 22, 23	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
25		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +o 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
26	25	eliuni 4949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
27	7, 24, 26	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
28		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
30	28, 29	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷))
31	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
32	8	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) = 𝐶)
33		ssid 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
34	32, 33	eqsstrdi 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
36		oaabs2 8573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
37	30, 31, 35, 36	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
38	37, 33	eqsstrdi 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
39	38	iunssd 5003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
40		peano1 7828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ ω
41		oen0 8510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
42	11, 40, 41	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
43	42, 32	eleqtrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
45	44	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = (∅ +o 𝐶))
46		oa0r 8462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ On → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
47	14, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
49	45, 48	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
50	49	sseq2d 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ 𝐶))
51		ssidd 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
52	43, 50, 51	rspcedvd 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶))
53		ssiun 4999	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
55	39, 54	eqssd 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
56	55	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
57	27, 56	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
58	57	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
59	6, 58	jaod 859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
60	59	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  ∪ ciun 4943  Oncon0 6314  (class class class)co 7355  ωcom 7805   +_o coa 8391   ↑_o coe 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-oexp 8400

This theorem is referenced by:  onmcl  43438