Theorem oacl2g 43919

Description: Closure law for ordinal addition. Here we show that ordinal addition is closed within the empty set or any ordinal power of omega. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oacl2g	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem oacl2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		noel 4293	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
3	2	pm2.21i 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
4	1, 3	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
5	4	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
7		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
9		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
10		omelon 9603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
11	9, 10	jctil 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
12		oecl 8510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
14	8, 13	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15	14	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
16		onelon 6375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
17	16	expcom 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
18	17	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
19	18	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
20	15, 19	jcai 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
21		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
22	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
23		oaordi 8519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
24	20, 22, 23	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
25		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +o 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
26	25	eliuni 4958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
27	7, 24, 26	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
28		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
30	28, 29	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷))
31	14	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
32	8	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) = 𝐶)
33		ssid 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
34	32, 33	eqsstrdi 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
36		oaabs2 8623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
37	30, 31, 35, 36	syl21anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
38	37, 33	eqsstrdi 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
39	38	iunssd 5011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
40		peano1 7873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ ω
41		oen0 8560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
42	11, 40, 41	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
43	42, 32	eleqtrd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
45	44	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = (∅ +o 𝐶))
46		oa0r 8511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ On → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
47	14, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
48	47	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
49	45, 48	eqtrd 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
50	49	sseq2d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ 𝐶))
51		ssidd 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
52	43, 50, 51	rspcedvd 3586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶))
53		ssiun 5007	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
55	39, 54	eqssd 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
56	55	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
57	27, 56	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
58	57	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
59	6, 58	jaod 872	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
60	59	imp 411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ∪ ciun 4952  Oncon0 6350  (class class class)co 7400  ωcom 7850   +_o coa 8438   ↑_o coe 8440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-oexp 8447

This theorem is referenced by:  onmcl  43920