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Theorem oacl2g 42637
Description: Closure law for ordinal addition. Here we show that ordinal addition is closed within the empty set or any ordinal power of omega. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oacl2g (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem oacl2g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2816 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶𝐴 ∈ ∅))
2 noel 4325 . . . . . . 7 ¬ 𝐴 ∈ ∅
32pm2.21i 119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
41, 3syl6bi 253 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
54com12 32 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
65adantr 480 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
7 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
8 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
9 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
10 omelon 9640 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
119, 10jctil 519 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
12 oecl 8535 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
148, 13eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
16 onelon 6382 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ On)
1716expcom 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
2015, 19jcai 516 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
2221adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵𝐶)
23 oaordi 8544 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2420, 22, 23sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
25 oveq1 7411 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +o 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
2625eliuni 4996 . . . . . 6 ((𝐴𝐶 ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
277, 24, 26syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
28 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
298adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
3028, 29eleqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷))
3114adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 ∈ On)
328eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) = 𝐶)
33 ssid 3999 . . . . . . . . . . . 12 𝐶𝐶
3432, 33eqsstrdi 4031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
3534adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
36 oaabs2 8647 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
3730, 31, 35, 36syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
3837, 33eqsstrdi 4031 . . . . . . . 8 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
3938iunssd 5046 . . . . . . 7 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
40 peano1 7875 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ ω
41 oen0 8584 . . . . . . . . . . 11 (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
4211, 40, 41sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
4342, 32eleqtrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
4544oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = (∅ +o 𝐶))
46 oa0r 8536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ On → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4945, 48eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5049sseq2d 4009 . . . . . . . . 9 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) ↔ 𝐶𝐶))
51 ssidd 4000 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶𝐶)
5243, 50, 51rspcedvd 3608 . . . . . . . 8 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶))
53 ssiun 5042 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
5539, 54eqssd 3994 . . . . . 6 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5655adantl 481 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5727, 56eleqtrd 2829 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
5857ex 412 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
596, 58jaod 856 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
6059imp 406 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  wss 3943  c0 4317   ciun 4990  Oncon0 6357  (class class class)co 7404  ωcom 7851   +o coa 8461  o coe 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-oexp 8470
This theorem is referenced by:  onmcl  42638
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