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Theorem oacl2g 42762
Description: Closure law for ordinal addition. Here we show that ordinal addition is closed within the empty set or any ordinal power of omega. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oacl2g (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem oacl2g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2817 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶𝐴 ∈ ∅))
2 noel 4332 . . . . . . 7 ¬ 𝐴 ∈ ∅
32pm2.21i 119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
41, 3biimtrdi 252 . . . . 5 (𝐶 = ∅ → (𝐴𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
54com12 32 . . . 4 (𝐴𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
65adantr 479 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
7 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
8 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
9 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
10 omelon 9675 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
119, 10jctil 518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
12 oecl 8562 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
148, 13eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
1514adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
16 onelon 6397 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ On)
1716expcom 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
1817adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
2015, 19jcai 515 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
21 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
2221adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵𝐶)
23 oaordi 8571 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
2420, 22, 23sylc 65 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
25 oveq1 7431 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +o 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
2625eliuni 5004 . . . . . 6 ((𝐴𝐶 ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
277, 24, 26syl2an2r 683 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
28 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
298adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
3028, 29eleqtrd 2830 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷))
3114adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐶 ∈ On)
328eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) = 𝐶)
33 ssid 4002 . . . . . . . . . . . 12 𝐶𝐶
3432, 33eqsstrdi 4034 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
3534adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
36 oaabs2 8674 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
3730, 31, 35, 36syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
3837, 33eqsstrdi 4034 . . . . . . . 8 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
3938iunssd 5055 . . . . . . 7 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
40 peano1 7898 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ ω
41 oen0 8611 . . . . . . . . . . 11 (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
4211, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
4342, 32eleqtrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
44 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
4544oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = (∅ +o 𝐶))
46 oa0r 8563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ On → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4714, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
4945, 48eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5049sseq2d 4012 . . . . . . . . 9 (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) ↔ 𝐶𝐶))
51 ssidd 4003 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶𝐶)
5243, 50, 51rspcedvd 3611 . . . . . . . 8 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶))
53 ssiun 5051 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
5539, 54eqssd 3997 . . . . . 6 ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5655adantl 480 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝑥𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
5727, 56eleqtrd 2830 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
5857ex 411 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
596, 58jaod 857 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
6059imp 405 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3066  wss 3947  c0 4324   ciun 4998  Oncon0 6372  (class class class)co 7424  ωcom 7874   +o coa 8488  o coe 8490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-oexp 8497
This theorem is referenced by:  onmcl  42763
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