Theorem oacl2g 44524

Description: Closure law for ordinal addition. Here we show that ordinal addition is closed within the empty set or any ordinal power of omega. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oacl2g	⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem oacl2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
2		noel 4286	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
3	2	pm2.21i 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
4	1, 3	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
5	4	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 = ∅ → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
7		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
8		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
9		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐷 ∈ On)
10		omelon 9674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
11	9, 10	jctil 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On))
12		oecl 8573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ∈ On)
14	8, 13	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ∈ On)
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐶 ∈ On)
16		onelon 6405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ On)
17	16	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
18	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On → 𝐴 ∈ On))
20	15, 19	jcai 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
21		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
23		oaordi 8582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
24	20, 22, 23	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
25		oveq1 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 +o 𝐶) = (𝐴 +o 𝐶))
26	25	eliuni 4960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
27	7, 24, 26	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
28		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
29	8	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 = (ω ↑o 𝐷))
30	28, 29	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷))
31	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐶 ∈ On)
32	8	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) = 𝐶)
33		ssid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐶
34	32, 33	eqsstrdi 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶)
36		oaabs2 8686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ On) ∧ (ω ↑o 𝐷) ⊆ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
37	30, 31, 35, 36	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
38	37, 33	eqsstrdi 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
39	38	iunssd 5012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) ⊆ 𝐶)
40		peano1 7924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ ω
41		oen0 8623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ∈ On ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ ∅ ∈ ω) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
42	11, 40, 41	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ (ω ↑o 𝐷))
43	42, 32	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐶)
44		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = ∅)
45	44	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = (∅ +o 𝐶))
46		oa0r 8574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ On → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
47	14, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (∅ +o 𝐶) = 𝐶)
49	45, 48	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
50	49	sseq2d 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ 𝐶))
51		ssidd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ 𝐶)
52	43, 50, 51	rspcedvd 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶))
53		ssiun 5008	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐶 𝐶 ⊆ (𝑥 +o 𝐶) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → 𝐶 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶))
55	39, 54	eqssd 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
56	55	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐶 (𝑥 +o 𝐶) = 𝐶)
57	27, 56	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)
58	57	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
59	6, 58	jaod 873	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ((𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶))
60	59	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ (𝐶 = ∅ ∨ (𝐶 = (ω ↑o 𝐷) ∧ 𝐷 ∈ On))) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ ciun 4954  Oncon0 6380  (class class class)co 7443  ωcom 7901   +_o coa 8501   ↑_o coe 8503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510

This theorem is used by:  onmcl  44525