Theorem h0elch 31862

Description: The zero subspace is a closed subspace. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem h0elch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ch0 31860	. 2 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
2		hsn0elch 31855	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ
3	1, 2	eqeltri 2856	1 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  {csn 4584  0_ℎc0v 31531   C_ℋ cch 31536  0_ℋc0h 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-lm 23552  df-haus 23638  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-hnorm 31575  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-sh 31814  df-ch 31828  df-ch0 31860

This theorem is used by:  h0elsh  31863  chintcl  31939  omlsi  32011  pjoml  32043  pjoc2  32046  chj0i  32062  chj00i  32094  chm0  32098  chne0  32101  chocin  32102  chj0  32104  chlejb1  32119  chnle  32121  ledi  32147  chsup0  32155  h1datom  32189  cmbr3  32215  cm0  32216  pjoml2  32218  cmcm  32221  cmcm3  32222  lecm  32224  qlaxr3i  32243  nonbooli  32258  pjige0  32298  pjhfo  32313  pj11  32321  ho0f  32358  pjhmop  32757  pjidmco  32788  hst0  32840  largei  32874  mdslmd1lem3  32934  mdslmd1lem4  32935  csmdsymi  32941  elat2  32947  atcveq0  32955  hatomic  32967  atcv0eq  32986  atoml2i  32990  atordi  32991  atord  32995  atcvat2  32996  chirred  33002