Theorem h0elch 31644

Description: The zero subspace is a closed subspace. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 30-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

Proof of Theorem h0elch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ch0 31642	. 2 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
2		hsn0elch 31637	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ
3	1, 2	eqeltri 2862	1 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  {csn 4594  0_ℎc0v 31313   C_ℋ cch 31318  0_ℋc0h 31324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hvcom 31390  ax-hvass 31391  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395  ax-hvmulass 31396  ax-hvdistr1 31397  ax-hvdistr2 31398  ax-hvmul0 31399  ax-hfi 31468  ax-his1 31471  ax-his2 31472  ax-his3 31473  ax-his4 31474

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-lm 23423  df-haus 23509  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-gdiv 30885  df-ablo 30934  df-vc 30948  df-nv 30981  df-va 30984  df-ba 30985  df-sm 30986  df-0v 30987  df-vs 30988  df-nmcv 30989  df-ims 30990  df-hnorm 31357  df-hvsub 31360  df-hlim 31361  df-sh 31596  df-ch 31610  df-ch0 31642

This theorem is used by:  h0elsh  31645  chintcl  31721  omlsi  31793  pjoml  31825  pjoc2  31828  chj0i  31844  chj00i  31876  chm0  31880  chne0  31883  chocin  31884  chj0  31886  chlejb1  31901  chnle  31903  ledi  31929  chsup0  31937  h1datom  31971  cmbr3  31997  cm0  31998  pjoml2  32000  cmcm  32003  cmcm3  32004  lecm  32006  qlaxr3i  32025  nonbooli  32040  pjige0  32080  pjhfo  32095  pj11  32103  ho0f  32140  pjhmop  32539  pjidmco  32570  hst0  32622  largei  32656  mdslmd1lem3  32716  mdslmd1lem4  32717  csmdsymi  32723  elat2  32729  atcveq0  32737  hatomic  32749  atcv0eq  32768  atoml2i  32772  atordi  32773  atord  32777  atcvat2  32778  chirred  32784