Theorem dihlspsnssN 40860

Description: A subspace included in a 1-dim subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 26-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dor0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dor0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihldor0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dor0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dor0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dor0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnssN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Proof of Theorem dihlspsnssN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 = (𝑁‘{𝑋}))
2		dih1dor0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1dor0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihldor0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dih1dor0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dih1dor0.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dihlsprn 40859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
8	7	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
9	8	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
10	1, 9	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
11		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = {(0g‘𝑈)})
12		simpll1 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15	13, 2, 6, 3, 14	dih0 40808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
17	11, 16	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
18		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 2, 6	dihfn 40796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
20	12, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
21		simp1l 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlop 38889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
24	18, 13	op0cl 38711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
26		fnfvelrn 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
27	20, 25, 26	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
28	17, 27	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
29		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	2, 3, 29	dvhlvec 40637	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LVec)
31		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
32		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34		dih1dor0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
35	4, 14, 34, 5	lspsnat 21035	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
36	30, 31, 32, 33, 35	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
37	10, 28, 36	mpjaodan 956	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
38	37	ex 411	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ∈ ran 𝐼))
39	2, 3, 6, 34	dihsslss 40804	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
40	39	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
41	40	sseld 3971	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ ran 𝐼 → 𝑇 ∈ 𝑆))
42	38, 41	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  {csn 4624  ran crn 5673   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  Basecbs 17177  0_gc0g 17418  0.cp0 18412  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989  OPcops 38699  HLchlt 38877  LHypclh 39512  DVecHcdvh 40606  DIsoHcdih 40756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-riotaBAD 38480

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-0g 17420  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990  df-lsatoms 38503  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687  df-tendo 40283  df-edring 40285  df-disoa 40557  df-dvech 40607  df-dib 40667  df-dic 40701  df-dih 40757

This theorem is referenced by: (None)