Theorem dihlspsnssN 41824

Description: A subspace included in a 1-dim subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 26-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dor0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dor0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihldor0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dor0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dor0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dor0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnssN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Proof of Theorem dihlspsnssN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 = (𝑁‘{𝑋}))
2		dih1dor0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1dor0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihldor0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dih1dor0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dih1dor0.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dihlsprn 41823	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
8	7	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
9	8	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
10	1, 9	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = {(0g‘𝑈)})
12		simpll1 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15	13, 2, 6, 3, 14	dih0 41772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
17	11, 16	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
18		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 2, 6	dihfn 41760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
20	12, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
21		simp1l 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlop 39854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
24	18, 13	op0cl 39676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
26		fnfvelrn 7021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
27	20, 25, 26	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
28	17, 27	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
29		simpl1 1198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	2, 3, 29	dvhlvec 41601	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LVec)
31		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
32		simpl2 1199	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpl3 1200	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34		dih1dor0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
35	4, 14, 34, 5	lspsnat 21138	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
36	30, 31, 32, 33, 35	syl31anc 1381	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
37	10, 28, 36	mpjaodan 966	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
38	37	ex 413	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ∈ ran 𝐼))
39	2, 3, 6, 34	dihsslss 41768	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
40	39	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
41	40	sseld 3914	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ ran 𝐼 → 𝑇 ∈ 𝑆))
42	38, 41	impbid 213	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ran crn 5619   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  0.cp0 18378  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LVecclvec 21092  OPcops 39664  HLchlt 39842  LHypclh 40476  DVecHcdvh 41570  DIsoHcdih 41720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39445

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21093  df-lsatoms 39468  df-oposet 39668  df-ol 39670  df-oml 39671  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790  df-cvlat 39814  df-hlat 39843  df-llines 39990  df-lplanes 39991  df-lvols 39992  df-lines 39993  df-psubsp 39995  df-pmap 39996  df-padd 40288  df-lhyp 40480  df-laut 40481  df-ldil 40596  df-ltrn 40597  df-trl 40651  df-tendo 41247  df-edring 41249  df-disoa 41521  df-dvech 41571  df-dib 41631  df-dic 41665  df-dih 41721

This theorem is referenced by: (None)