Theorem dihlspsnssN 40716

Description: A subspace included in a 1-dim subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 26-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dor0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dor0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihldor0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dor0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dor0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dor0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnssN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Proof of Theorem dihlspsnssN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 = (𝑁‘{𝑋}))
2		dih1dor0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1dor0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihldor0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dih1dor0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dih1dor0.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dihlsprn 40715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
8	7	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
9	8	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
10	1, 9	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = {(0g‘𝑈)})
12		simpll1 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15	13, 2, 6, 3, 14	dih0 40664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
16	12, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
17	11, 16	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
18		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 2, 6	dihfn 40652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
20	12, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
21		simp1l 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlop 38745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
24	18, 13	op0cl 38567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
26		fnfvelrn 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
27	20, 25, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
28	17, 27	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
29		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	2, 3, 29	dvhlvec 40493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LVec)
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
32		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34		dih1dor0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
35	4, 14, 34, 5	lspsnat 20996	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
36	30, 31, 32, 33, 35	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
37	10, 28, 36	mpjaodan 955	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
38	37	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ∈ ran 𝐼))
39	2, 3, 6, 34	dihsslss 40660	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
40	39	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
41	40	sseld 3976	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ ran 𝐼 → 𝑇 ∈ 𝑆))
42	38, 41	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ran crn 5670   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  0.cp0 18388  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  OPcops 38555  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  DIsoHcdih 40612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613

This theorem is referenced by: (None)