Theorem dihlspsnssN 42496

Description: A subspace included in a 1-dim subspace belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 26-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1dor0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1dor0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihldor0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dih1dor0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dih1dor0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dih1dor0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlspsnssN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

Proof of Theorem dihlspsnssN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 = (𝑁‘{𝑋}))
2		dih1dor0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1dor0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihldor0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dih1dor0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dih1dor0.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	dihlsprn 42495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
8	7	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
9	8	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
10	1, 9	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = {(0g‘𝑈)})
12		simpll1 1231	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
15	13, 2, 6, 3, 14	dih0 42444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
16	12, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = {(0g‘𝑈)})
17	11, 16	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19	18, 2, 6	dihfn 42432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
20	12, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
21		simp1l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝐾 ∈ HL)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlop 40526	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
24	18, 13	op0cl 40348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
25	22, 23, 24	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
26		fnfvelrn 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 Fn (Base‘𝐾) ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
27	20, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
28	17, 27	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) ∧ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
29		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	2, 3, 29	dvhlvec 42273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ LVec)
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑆)
32		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑉)
33		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
34		dih1dor0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
35	4, 14, 34, 5	lspsnat 21430	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
36	30, 31, 32, 33, 35	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (𝑇 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑇 = {(0g‘𝑈)}))
37	10, 28, 36	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → 𝑇 ∈ ran 𝐼)
38	37	ex 418	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 → 𝑇 ∈ ran 𝐼))
39	2, 3, 6, 34	dihsslss 42440	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
40	39	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ran 𝐼 ⊆ 𝑆)
41	40	sseld 3908	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ ran 𝐼 → 𝑇 ∈ 𝑆))
42	38, 41	impbid 215	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑇 ∈ 𝑆 ↔ 𝑇 ∈ ran 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584  ran crn 5651   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  0_gc0g 17617  0.cp0 18602  LSubSpclss 21213  LSpanclspn 21253  LVecclvec 21384  OPcops 40336  HLchlt 40514  LHypclh 41148  DVecHcdvh 42242  DIsoHcdih 42392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-riotaBAD 40117

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-undef 8295  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-0g 17619  df-proset 18475  df-poset 18494  df-plt 18509  df-lub 18525  df-glb 18526  df-join 18527  df-meet 18528  df-p0 18604  df-p1 18605  df-lat 18613  df-clat 18680  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-cntz 19538  df-lsm 19857  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-dvr 20638  df-drng 20989  df-lmod 21144  df-lss 21214  df-lsp 21254  df-lvec 21385  df-lsatoms 40140  df-oposet 40340  df-ol 40342  df-oml 40343  df-covers 40430  df-ats 40431  df-atl 40462  df-cvlat 40486  df-hlat 40515  df-llines 40662  df-lplanes 40663  df-lvols 40664  df-lines 40665  df-psubsp 40667  df-pmap 40668  df-padd 40960  df-lhyp 41152  df-laut 41153  df-ldil 41268  df-ltrn 41269  df-trl 41323  df-tendo 41919  df-edring 41921  df-disoa 42193  df-dvech 42243  df-dib 42303  df-dic 42337  df-dih 42393

This theorem is used by: (None)